2022年年上海市春季高考数学试卷答案与解析 .pdf

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1、2012 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，要求直接填写结果，每题答对得4 分，否则一律得零分。1 （ 4 分） （2012?上海）已知集合A=1 ，2，k ，B=2 ，5若 AB=1 ，2，3，5，则k=3考点 ：并集及其运算专题 ：计算题分析：根据集合的并集运算定义即可得k 的值解答：解： A=1 ，2，k ，B=2 ，5，且 AB=1 ，2，3，5 3 A k=3 故答案为： 3 点评：本题考查集合的并集运算首先要求掌握并集的定义，注意并集中的元素与原集合的关系属简单题2 （ 4 分） （2012?上海）函数y=的定义域是2，+

2、）考点 ：函数的定义域及其求法专题 ：计算题分析：根据根号有意义的条件的条件进行求解；解答：解：函数y=，x+2 0，x 2，故答案为： 2，+） ；点评：此题主要考查函数的定义域及其求法，是一道基础题；3 （ 4 分） （2012?上海）抛物线y2=8x 的焦点坐标是（2，0）考点 ：抛物线的简单性质专题 ：计算题分析：根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标解答：解：抛物线 y2=8x，所以 p=4，所以焦点（ 2，0） ，故答案为（ 2，0） 点评：本题考查抛物线的交点，部分学生因不会求p，或求出 p 后，误认为焦点（p，0） ，还有没有弄清楚焦点位置，从而得

3、出错误结论4 （ 4 分） （2012?上海）若复数z 满足 iz=1+i （i 为虚数单位） ，则 z=1i名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 考点 ：复数代数形式的乘除运算专题 ：计算题分析：由 iz=1+i ，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算解答：解：由 iz=1+i ，得 z=1i 故答案为： 1i点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念属于基础题5 （ 4 分） （2012?上海）函数

4、f（x）=sin（2x+）的最小正周期为 考点 ：三角函数的周期性及其求法专题 ：计算题分析：由函数解析式找出的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期解答：解： f（x）=sin（2x+） ， =2，T= ，则函数的最小正周期为 故答案为： 点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键6 （ 4 分） （2012?上海）方程4x2x+1=0 的解为x=1考点 ：有理数指数幂的运算性质专题 ：计算题分析：由于 4x=22x，代入方程关系式即可解答：解： 4x=22x，方程 4x2x+1=0 可化为： 22x=2x+1，2x=x+1，x=1故答案为： 1点评：

5、本题考查有理数指数幂的运算性质，熟练掌握数指数幂的运算性质是解题的基础，属于基础题7 （ 4 分） （2012?上海）若，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=1考点 ：二项式定理的应用专题 ：计算题分析：直接令变量为1 即可求出所有项的系数之和，即为结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解答：解：令 x=1 可得，（21）5=1=a0+a1+a2+a3+a4+a5，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，故

6、答案为： 1点评：本题考查二项式定理的运用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入8 （ 4 分） （2012?上海）若 f（x）=为奇函数，则实数m=2考点 ：函数奇偶性的性质分析：由 f（x）=为奇函数，可得f（ 1）=f（1） ，代入可求解答：解： f（x）=为奇函数，f（ 1）=f（1）即 m1=3（1+m）m=2 故答案为： 2 点评：本题主要考查了奇函数的性质的简单应用，属于基础试题9 （ 4 分） （2012?上海）函数y=的最大值为5考点 ：复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义专题 ：计算题分析：利用换元法，设t=log2x，则 t 1，2，将问题转化

7、为求函数y=t+在1，2上的最大值问题，利用导数证明此函数为减函数，利用单调性求最值即可解答：解：设 t=log2x，x 2，4， t 1，2y=t+的导函数y=10 t 1，2y=t+在1，2上为减函数，y=t+的最大值为1+=5 y=的最大值为5 故答案为5 点评：本题主要考查了复合函数的最值的求法，换元法求函数的值域，利用导数求函数在闭区间上的最值问题的解法，转化化归的思想方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - -

8、- 10 （4 分） （2012?上海）若复数z 满足|zi|（i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为2考点 ：复数的代数表示法及其几何意义专题 ：计算题；数系的扩充和复数分析：由|z i|的几何意义可知， 点 Z 的轨迹是以 （0， 1）为圆心，为半径的实心圆 由圆的面积公式可得答案解答：解： |zi|，z 在复平面内所对应的点Z 的轨迹是以（ 0，1）为圆心，为半径的实心圆，该圆的面积为：=2 故答案为： 2点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，理解 “ 点 Z 的轨迹是以 （0，1）为圆心，为半径的实心圆” 是解题的关键11 （4 分） （2012?上海）某校要

9、从2 名男生和 4 名女生中选出4 人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为 （结果用数值表示）考点 ：等可能事件的概率专题 ：计算题分析：根据题意， 首先计算从2 名男生和 4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案解答：解：根据题意，从2 名男生和 4 名女生中选出4 人，有 C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有151=14 种，则其概率为；故答案为点评：本题考查等可能

10、事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得12 （4 分） （2012?上海）若不等式x2kx+k 10 对 x （1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是（ ，2考点 ：一元二次不等式的应用专题 ：综合题分析：根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k 的取值范围解答：解：不等式 x2kx+k10 可化为（ 1x）k1x2x （1，2）k=1+x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共

11、14 页 - - - - - - - - - y=1+x 是一个增函数k 1+1=2 实数 k 取值范围是（，2故答案为：（ ，2点评：本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是分离参数，利用函数的单调性确定参数的范围13 （4 分） （2012?上海）已知等差数列an的首项及公差均为正数，令当 bk是数列 bn的最大项时， k=1006考点 ：数列与不等式的综合；等差数列的性质专题 ：综合题；压轴题分析：设，由，根据基本不等式 （x+y ）2=x2+y2+2xy x2+y2+x2+y2=2（x2+y2） ，得 bn2=（）2 2（an+a2012n）=2（2a1006）=4a1006，由此能

12、求出结果解答：解：设，根据基本不等式（x+y ）2=x2+y2+2xy x2+y2+x2+y2=2（x2+y2） ，得 bn2=（）2 2（an+a2012n）=2（2a1006）=4a1006，当且仅当an=a2012n时， bn取到最大值，此时 n=1006，所以 k=1006 故答案为： 1006点评：本题考查数列与不等式的综合应用，具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化14 （4 分） （2012?上海）若矩阵满足 a11，a12，a21，a22 1，1，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有8个考点 ：二阶矩阵专题 ：

13、计算题；压轴题分析：根据题意，分类讨论，分主对角线相同、相反，即可得出结论解答：解：，a11，a12，a21，a22 1，1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 矩阵可以是、故答案为： 8 点评：本题考查二阶矩阵，解题的关键是利用二阶矩阵的含义，属于基础题二、选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5 分，否则一律得零分。15 （5 分） （2012?上

14、海）已知椭圆C1：+=1，C2：+=1，则（）AC1与 C2顶点相同BC1与 C2长轴长相同CC1与 C2短轴长相同DC1与 C2焦距相等考点 ：椭圆的简单性质专题 ：计算题分析：求出两个椭圆的a，b，c 即可判断选项解答：解：因为椭圆，所以 a=，b=2，c=2椭圆，所以 a=4，b=2，c=2；所以两个椭圆有相同的焦距故选 D点评：本题考查椭圆的基本性质，考查计算能力16 （5 分） （2012?上海）记函数y=f （x）的反函数为y=f1（x） 如果函数y=f （x）的图象过点（ 1， 0） ，那么函数y=f1（x）+1 的图象过点（）A（0，0）B（0，2）C（1，1）D（2，0）考点

15、 ：反函数专题 ：计算题分析：由题意可知， y=f1（x）必过点（ 0，1） ，从而可得答案解答：解： y=f （x）的图象过点（1，0） ，其反函数y=f1（x）必过点（ 0，1） ，即 f1（0）=1，y=f1（x）+1 的图象过点（ 0，2） 故选 B点评：本题考查反函数的概念，理解互为反函数的两个函数的定义域与值域之间的关系（互换）是关键，属于基础题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 17 （5 分） （2

16、012?上海）已知空间三条直线l、m、 n若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则（）Am 与 n 异面Bm 与 n 相交Cm 与 n 平行Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能考点 ：平面的基本性质及推论专题 ：作图题；压轴题分析：可根据题目中的信息作图判断即可解答：解：空间三条直线l、m、n若 l 与 m 异面，且l 与 n 异面，m 与 n 可能异面（如图3） ，也可能平行（图1） ，也可能相交（图2） ，故选 D点评：本题考查平面的基本性质，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题18（ 5分）（ 2012?上海）设 O 为ABC 所在平面内一点 若实数 x、

17、y、 z满足 x+y+z=，（x2+y2+z2 0） ，则 “ xyz=0” 是“ 点 O 在ABC 的边所在直线上” 的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ：常规题型；压轴题分析：画出草图，根据已知条件x+y+z=0 移项得 x+y=z，再由 xyz=0，推出 x，y，z 只有一个为0，再根据三角形的性质进行求解；解答：解：O 为ABC 所在平面内一点 实数 x、 y、 z 满足 x+y+z= （x2+y2+z2 0） ，x+y=z，若 xyz=0” 则 x、y、z 中只能有一个为0， （否则若 x=y=0

18、，可推出 z=0，这与 x2+y2+z2 0矛盾）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 假设 x=0（y、z 不为 0） ，可得 y=z，向量和共线， O 只能在 ABC 边 BC 上；若点 O 在 ABC 的边所在直线上，假设在边AB 上，说明向量和共线，z=0，xyz=0 ，“ xyz=0” 是“ 点 O 在ABC 的边所在直线上” 的充要条件；故选 C点评：此题以三角形和平面的向量为载体，考查了必要条件和充分条

19、件的定义及其判断，是一道基础题三、解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤。19 （12 分） （2012?上海）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，高为 2，M为线段 AB 的中点求： （1）三棱锥C1MBC 的体积；（2）异面直线CD 与 MC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）考点 ：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积专题 ：计算题；证明题分析：（1）连接 CM ，根据 M 为 AB 中点，且正方形ABCD 边长为 1，得到 BCM 的面积为 S=S正方形ABCD=因为 CC1平面 ABCD ，是三棱锥C1MBC 的高

20、，所以利用锥体体积公式，可得三棱锥C1MBC 的体积；（2）连接 BC1，正方形 ABCD 中，因为 CDAB，所以 C1MB （或其补角）为异面直线 CD 与 MC1所成的角 RtMC1B 中，可算出BC1=，而 MB=AB=，利用直角三角形中三角函数的定义，得到 tanC1MB=，所以异面直线CD 与MC1所成角为 arctan解答：解： （1）连接 CM，正方形ABCD 中， M 为 AB 中点，且边长为1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页

21、- - - - - - - - - BCM 的面积为 S=S正方形ABCD=又 CC1平面 ABCD ，CC1是三棱锥 C1MBC 的高，三棱锥C1MBC 的体积为： VC1MBC= 2=；（2）连接 BC1CDAB ， C1MB （或其补角）为异面直线CD 与 MC1所成的角AB平面 B1C1CB，BC1? 平面 B1C1CB，ABBC1RtMC1B 中，BC1=，MB=AB=tanC1MB=所以异面直线CD 与 MC1所成角为 arctan点评：本题给出一个特殊的正三棱柱，求其中的异面直线所成角和三棱锥体积，着重考查了棱锥的体积公式和异面直线及其所成的角等知识点，属于中档题20 （14 分

22、） （2012?上海）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 千米（忽略内、外环线长度差异）（1）当 9 列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 千米 /小时，外环线列车平均速度为30 千米/小时现内、外环线共有18 列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？考点 ：函数模型的选择与应用专题 ：应用题；综合题分析：（1）设内环线列车的平均速度为v 千米 /小时，根据内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得，从而可求内

23、环线列车的最小平均速度；（2）设内环线投入x 列列车运行， 则外环线投入 （18x）列列车运行， 分别求出内、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 外环线乘客最长候车时间，根据，解不等式，即可求得结论解答：解： （1）设内环线列车的平均速度为v 千米 /小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟，可得v 20 要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟，内环线列车的最小平均速度是20 千米 /小时；（2）设内环线投入

24、x 列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，则，x N+， x=10 当内环线投入10 列列车运行，外环线投入8 列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 分钟点评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间21 （14 分） （2012?上海）已知双曲线C1：（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线 l：y=x+m 分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B 两点当时，求实数 m 的值考点 ：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程专题 ：综合题

25、分析：（1）先确定双曲线C1：的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，） ，建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B 两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解答：解： （1）双曲线C1：，焦点坐标为（，0） ， （，0）设双曲线C2的标准方程为（a0，b0） ，双曲线C2与双曲线 C1有

26、相同焦点，且过点P（4，），解得双曲线C2的标准方程为（2）双曲线 C1的两条渐近线为y=2x，y=2x 由，可得 x=m，y=2m， A（m，2m）由，可得 x=m，y=m， B（m，m）m2=3 点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，联立方程组是关键22 （16 分） （2012?上海）已知数列an、bn 、cn 满足（1）设 cn=3n+6，an是公差为 3 的等差数列当b1=1 时，求 b2、b3的值；（2）设，求正整数k，使得对一切n N*，均有 bn bk；（3）设，当 b1=1 时，求数列 bn 的通项公式考点 ：数列递推式；数列

27、的函数特性专题 ：计算题；压轴题；分类讨论分析：（1）先根据条件得到数列bn 的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列bn的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列bn 的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情况求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 出数列 bn 的通项公式，最后综合即可解答：解： （1）an+1an=3，bn+1bn=n+2，b1=1，b2=4，b3=

28、8（2）an+1an=2n7，bn+1bn=，由 bn+1bn0，解得 n 4，即 b4b5b6；由 bn+1bn0，解得 n 3，即 b1b2b3b4k=4（3） an+1an=（1）n+1，bn+1bn=（ 1）n+1（2n+n） bnbn1=（ 1）n（2n1+n1） （n 2） 故 b2b1=21+1；b3 b2=（ 1） （22+2） ，bn1bn2=（1）n1（2n2+n2） bn bn1=（ 1）n（2n1+n1） 当 n=2k 时，以上各式相加得bn b1=（222+2n2+2n1）+12+ （ n2）+（n1）=+=+bn=+当 n=2k1 时，=+（2n+n）=+bn=点评

29、：本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 23 （18 分） （2012?上海）定义向量=（a，b）的“ 相伴函数 ” 为 f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“ 相伴向量 ” 为=（a，b） （其中 O 为坐标原点）记平面内所有向量的“ 相伴函数 ” 构成的集合为S（1）设 g（x）=3s

30、in（x+）+4sinx，求证： g（x） S；（2）已知 h（x）=cos（x+ ）+2cosx，且 h（x） S，求其 “ 相伴向量 ” 的模；（3）已知 M（a，b） （b 0）为圆 C： （x2）2+y2=1 上一点，向量的“ 相伴函数 ” f（x）在 x=x0处取得最大值当点M 在圆 C 上运动时，求tan2x0的取值范围考点 ：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性专题 ：计算题；压轴题；新定义分析：（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意

31、义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论解答：解： （1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx ，其 相伴向量 =（4，3） ，g（x） S（2）h（x）=cos（x+ ）+2cosx =（cosxcos sinxsin ）+2cosx =sin sinx+（cos +2）cosx 函数 h（x）的 相伴向量 =（sin ，cos +2） 则|=（3）的 相伴函数 f（x）=asinx+bcosx=sin（x+ ） ，其中 cos =，sin =当 x+ =2k +，k Z 时，f（x）取到最大值，故x0=2k + ，k Ztanx0=tan（2k +）=c

32、ot =，tan2x0=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 为直线 OM 的斜率，由几何意义知： ，0）（ 0，令 m=，则 tan2x0=，m ， 0）（ 0，当 m0 时，函数 tan2x0=单调递减，0tan2x0；当 0 m时，函数tan2x0=单调递减， tan2x00综上所述， tan2x0 ，0）（ 0，点评：本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -