2022年4.2.3直线与圆的方程的应用教案 .pdf

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1、4、2、3 直线与圆的方程的应用（一）【教学目标】利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题【教学重难点】教学重点 ：直线的知识以及圆的知识教学难点 ：用坐标法解决平面几何. 【教学过程】一、复习准备：(1)直线方程有几种形式? 分别为什么 ? (2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些 ? (3) 求圆的方程时,什么条件下 ,用标准方程 ?什么条件下用一般方程? (4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? (5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课：提出问题、自主探究例 1、如图

2、是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB84 米，拱高 A6P6=15 米，在建造时每隔7 米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度 （精确到0.01米） 方法一 ：在OAARt6中 R2 =422 +(R-15)2可求出半径R，而在COPRt3中222321RCP，OACPPA6333，从而可求得33PA长度。能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？方法二 ：先求圆的方程，再把求33PA长度看成3P的纵坐标。首先应建立坐标系。如何建系？四种不同的建系方案：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

3、- - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。归纳总结、巩固步骤总结解决应用问题的步骤：(1)审题 -分清条件和结论，将实际问题数学化；(2)建模 -将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；(3)解模 -求解数学问题，得出数学结论；(4) 还原 -根据实际意义检验结论，还原为实际问题流程图：实际问题数学问题数学结论实际问题结论（审题）（建模）（解模）（还原）变式训练 ：某圆拱桥的水面跨度16 米，拱高4 米。有一货船，装满货过

4、桥，顶部宽4米，水面以上高3 米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9 米，此时能否通过 ？深入讨论、提炼思想在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例：例 2、 已知内接于圆P的四边形 ABCD 的对角线互相垂直，ADPE于E，探求线段PE与BC的数量关系。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

5、第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - (1)BCPE21. 思 路 ： 把 四 边 形 特 殊 化 ， 看 成 正 方 形 ， 那 么 圆 心 与 正 方 形 的 中 心 重 合 ， 此 时BCPE21.对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？证明： （平面几何法）连接AP 并延长交圆P于点 F，连接 DF，CF ， 3=4 在 RtADF 和 RtAHB中 1=2 5=1+ 7， 6=2+ 7 5= 6 又 ACF=900且 CHD=900 CFB

6、D 由可得四边形CFDB为等腰梯形|CB|=|FD| 又 |FD|=2|PE| |BC|=2|PE | 用“建系”这一新工具尝试证明： （解析几何法）以AC， BD 交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设)0 ,(aA，),0(bB，)0,(cC，)0,(dD. 用勾股定理，22AERPE，其中E为AD中点；先求出圆心P的坐标及直线AD 的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心 P与点 E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。设圆方程为 (x-m )2 + (y-n)2 =r2，考虑到圆与x轴交于A、C两点，令 y=0，得关于x的一元二次方程x2-2mx+(m2+n

7、2-r2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标2cam，同理可得圆心的纵坐标2dbn。应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出圆心的P坐标)2,2(dbca。变式练习 ：设Q为BC的中点，则PEQH /，如何用代数方法证明这一结论呢？还能有什么其他发现？（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -

8、 边的平方和等于另一组对边的平方和；（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。 课堂小结：（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；（2）解决实际问题的具体步骤-审题、建模、解模、还原；（3）解决几何问题的新方法-解析法， 主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步： 建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代

9、数问题；第三步：把代数运算结果“ 翻译” 成几何结论；【板书设计】一、指数函数1定义2. 图像3. 性质二、例题例 1 变式 1 例 2 变式 2 【作业布置】习题 4.2B 组的 2、3、4 题4、2、3 直线与圆的方程的应用（二）【教学目标】1、坐标法求直线和圆的应用性问题；2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法. 【教学重难点】教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法【教学过程】1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

10、 - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 例 1、求通过直线032yx与圆014222yxyx的交点，且面积最小的圆的方程 . 结论 ：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为0)32(14222yxyxyx. 配 方得到标准式 方程如下所示13)2/2()1 ()2/2()1(2222yx，可以得到5/19)5/2(4/54)4/5(222r，当5/2时，此时半径5/19r，所求圆的方程为5/19)5/9()5/3(22yx.解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点),(),2211yxByxA（连 线 为 直 径 的 圆

11、符 合 条 件 .把 两 个 方 程 式 联 立 ， 消 去y， 得02652xx.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段AB的中点的横坐标为5/32/)(210 xxx，5/93200 xy，又半径5/1921. |5.0221xxr（ 弦 长公 式 ），所 以所 求 的圆 的 方程是:5/19)5/9()5/3(22yx.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程. 变式练习： 求圆22234xy上的点到20 xy的最远、最近的距离。例 2、已知圆O的方程为922yx，求过点)2, 1(A所作的弦的中点的轨迹. 结

12、论 ：解法一：参数法（常规方法）设过A 所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时），P（x,y)，则)2(,922kkxyyx，消去y ，得到如下方程.054)2(2)1222kkxkkxk（所以我们可以得到下面结果)1/()2(2221kkkxx， 利 用 中 点 坐 标 公 式 及 中 点 在 直 线 上 ， 得 ：)1/()2(),1/()2(22kkykkkx(k 为参数）.消去k 得 P 点的轨迹方程为0222yxyx，当 k 不存在时，中点P（1，0）的坐标也适合方程.所以 P 点的轨迹是以点（ 1/2,1) 为圆心，2/5为半径的圆 .解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法

13、）我们可以设过点A 的弦为 MN，则可以设两点的坐标为),(),(2211yxNyxM.因为 M、N 都在圆上，所以我们可以得到9,922222121yxyx，然后我们把两式向减可以得到：).(0).(/()()(2121212121xxyyxxyyxx设P（x,y)则2/)(,2/)(2121yyyxxx.所以由这个结论和M、 N、 P、 A 四点共线，可以得到)1)(1/()2()/()(2121xxyxxyy.所以 2x+ (y-2)/(x- 1) 2y=0 ，所以 P 点的轨迹方程为0222yxyx（x=1 时也成立），所以 P 点的轨迹是以点（ 1/2,1) 为圆心，2/5为半径的圆

14、 .解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知PAOP,故点 P 的轨迹是以AO 为直径的圆 . 变式练习： 已知直线134yxl：，M是l上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则在A、B连线上，且满足PBAP2的点P的轨迹方程。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 反思总结：当堂检测 : 已知与曲线C：012222yxyx相切的直线l 交yx,的正半轴与BA、两点，O 为原点，OA=a，bOB，)2,2(ba（1）求线段AB中点的轨迹方程；（2）求ab的最小值【板书设计】例 1 变式 1 例 2 变式 2 【作业布置】1、必做题 ：习题 4.2B 组的 2、3、题；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -