2022年《复变函数与积分变换A》期末考试题-b-参考答案 .pdf

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1、精品资料欢迎下载北京交通大学2007-2008-2- 复变函数与积分变换A期末考试试卷 (B) 参考答案一填空题 （本题满分 14分，每空 1 分） ，请将合适的答案填在空中. 1复数iiiz2184，则)Re(z_；)Im( z_；| z_ )arg(z_，复数z的三角表达式为_ 指数表达式为 _ 解：因为iiiiiiz31414218所以，1)Re(z；3)Im( z；10| z；3arctan)arg(z，复数z的三角表达式为)sin(arg)cos(arg10ziz，指数表达式为)arg(10zie. 2方程083z的所有根是2 ,1 , 0,28323kezki3.,2,1,0,)1

2、()24(2ln)1(keeikiiiiLni4函数zln在复平面上的连续性为在除去原点和负实轴的平面上连续. 5若幂级数1)(nnnizc在iz处发散，则该级数在1z的敛敛性为发散6映射zew将带形域43)Im(0z映照成角形域43)arg(0z. 7 幂 函 数3zw， 把 扇 形 域2| ,3)arg(0zz映 照 为w平 面 上 的 扇 形 域8| ,)arg(0zz. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - -

3、- - - - 精品资料欢迎下载8在傅氏变换意义下，函数)(1tf和)(2tf的卷积)(*)(21tftf定义dtff)()(21. 9设)()(0tttf，则)(tfF=0tie. 二判断下列命题的真假（本题满分 10 分，共有 10 道小题，每道小题1 分） ，对的填“” ，错的填“”.（）1指数函数ze是以i2为周期的周期函数. （）2正弦函数zsin一定是有界函数. （）3奇点一定是孤立奇点. （）4)(zf在0z可导是)(zf在0z解析的充分条件. （）5若u和v都是 D内的调和函数，且满足柯西- 黎曼方程，则ivuzf)(在区域D内是解析函数 . （）6若积分Cdzzf0)(，C是

4、一条简单闭曲线，则)(zf在 C内无奇点 . （）7幂级数1nnnz的收敛半径为1，则在1| z上的点一定处处收敛. （）8函数yxv是yxu的共轭调和函数. （）9如果无穷远点是)(zf的一阶极点，则0z是)1(zf的一阶极点，并且)1(lim),(Re0zzfzfsz. （）10映射2zw在z平面上每一点都具有伸缩率和旋转角的不变性. 三讨论函数33)1()(yixzf的可导性、解析性（ 8 分）. 解：设3xu，3)1(yv，则vu,处处可微且22)1(3, 0, 0,3yyvxvyuxxu名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳

5、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载但1,00)1()1 (332222yxyxyxyvxu即仅在点)1 ,0(处满足柯西 - 黎曼方程，因此，33)1()(yixzf在点)1 ,0(处可导，但在整个复平面上不解析. 四在扩充复平面上找出函数23)(23zzizzf的孤立奇点并加以分类，若是极点，指出其阶（或级）数，最后分别计算在每个孤立奇点的留数（8 分）. 解：)2)(1(23)(323zzizzzizzf所以，)(zf共有两个一阶极点2, 121zz和一个无穷远点. iiz

6、izzfzzfszz1112lim)()1(lim,Re3111iizizzfzzfszz8181lim)()2(lim,Re32227)2311(lim210,)21)(1(1Re 0,1)1(Re,Re 230332zzizzzzizszzfsfsz名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载五1. 证明: 当 C为任何不通过原点的闭曲线时，Cdzz012； （3 分）. 2. 沿怎样的

7、简单闭曲线有Cdzzz0112； （3 分）. 3. 计算Cdzzz)3)(1(15，2|:| zC. （3 分） ；1. 证明：当 C不包含0z时，由柯西定理得，Cdzz012；当 C包含0z时，由高阶导数的柯西积分公式得，0)1(! 1212Cidzz2. 当iz23212, 1均不被简单曲线C包围或全部被包围时，Cdzzz0112. 3. ),Re 3,(Re2)3)(1(15fsfsidzzzC121)02421(2)0,)31)(11(1Re2421(252iizzzsi六计算Cdzz_，这里曲线 C为) 11(12xxixz，方向分别取逆时针和顺时针方向（6 分）. 解：，顺时针逆

8、时针i,_ideiedzzCiiC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载七将函数)(1)(izzzf分别在圆环1|0z与|1iz内展成罗朗级数（8 分）. 解： （1）当1|0z时，112221)()(1)1(11)(1)(nnnizizizziizizizziizizizzzf（2）当|0iz时，24232222)()1()()()(1)()1()(1 )(111)(1)(1)(11

9、)(1)(1)(nnnnniziiziiziiziziiziiziiziziiziizizzizizzzfnnnniziiziiziiziiziiziiziizi)() 1()(1)11()() 1()(11122名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载八计算dzzzz2|651（8分）. 解：原式 =6165,1Re2kkzzzsiizzsizzzsizzsi20 ,)1(1Re20,

10、1111Re2,1Re2626565九计算d202cos45sin（8 分）. 解：设iez，则izdzd，izz21sin2，zz21cos2原式dzzzzziz1|2222)4104() 1(2dzzzzziz1|2222)4104() 1(2在1| z内，有一个二阶极点01z和一个一阶极点512z，850),(Rezfs8351),(Rezfs所以，原式451,Re0 ,Re22fsfsii名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 -

11、 - - - - - - - - 精品资料欢迎下载十讨论将半径为1，圆心分别在0z和1z处的两圆的公共部分在分式线性映照)2321()2321(iziz下的图形（8 分）. 解：两圆1| z和1|1| z的交点为iz23212, 1，两圆在2, 1z的夹角分别为32，该分式线性映照将1z映成原点，而把2z映成，且0|1z，因此，分式线性映照在1z是共形映照，所给的区域经映照后映照成以原点为顶点的角形区域，张角等于32. 另外，为了确定角形域的位置，取1|21z，所以，所得的角形域如右图所示：十一. 求函数0,)(|tetf的傅氏变换（6 分）. 解：dteeFtit|)(220)(0)(211

12、iidtedtetiti名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载十二. 用拉普拉斯变换和它的逆变换求下列一阶常系数非齐次常微分方程的解：0)0(,2yteyyt（6 分）. 解：作 Laplace 变换，记Y(s)=Ly(t), 则2121)()(sssYssY1)(112111111121) 1(1)2)(1(1)(2222tetysssssssssssssYt名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -