2022年一元一次方程知识点及经典例题2 .pdf

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1、一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1. 方程：含有 _ 的_叫方程注意： a. 必须是等式 b.必须含有未知数。易错点： （1）. 方程式等式，但等式不一定是方程； （2）. 方程中的未知数可以用 x 表示，也可以用其他字母表示； （3）. 方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子： (1).8-7=1+0 (2). 1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数， a,b 是已知数，且 a0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1） 只含有一个未知数；（2） 未知数的次数是 1 次；（3） 整式方程2、方程的解：判断一个数是否是

2、某方程的解：将其代入方程两边， 看两边是否相等知识点二：一元一次方程的解法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 39 页 - - - - - - - - - 1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么；(c 为一个数或一个式子 ) 。等式的性质 2： 等式两边乘同一个数， 或除以同一个不为0 的数，结果仍相等。如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、 分母同时乘以或除

3、以同一个不为0 的数，分数的值不变。即：（其中 m 0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：=1.6，将其化为：=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形步骤具 体 方 法变 形 根据注 意 事 项名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 39 页 - - - - - - - - - 去分母方程两边都乘以各个分母的最小公

4、倍数等式性质2 1 不能漏乘不含分母的项； 2 分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律、去括号法则 1 分配律应满足分配到每一项 2 注意符号， 特别是去掉括号移项把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质1 1 移项要变号； 2 一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类项把方程中的同类项分别合并，化成“bax”的形式（0a）合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a，得abx等式性质2 分子、分母不能颠倒

5、要点诠释：理解方程 ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: a0时，方程有唯一解；a=0，b=0时，方程有无数个解；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 39 页 - - - - - - - - - a=0，b0 时，方程无解。牛刀小试例 1、解方程（1）y-52221yy例 2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104xx的解与方程522xm的解相同，求 m的值. 例 3 、解方程知识与绝对值知识综合题型解方程：73|1

6、2| x二、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 39 页 - - - - - - - - - 3y4z0；8；x0。其中方程的个数是 ( ) A、5 B、6 C 、7 D 、8 举一反三： 变式 1 判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2) 变式

7、 2 已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60 是一元一次方程， 求 a 的值。 变式 3 （2011 重庆江津）已知 3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解, 则a 的值是 ( ) A5 B5 C7 D2 类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。 如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点， 灵活安排解题步骤， 并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1巧凑整数解方程：2、举一反三：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归

8、纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 39 页 - - - - - - - - - 变式 解方程：2x5 2 巧去括号解方程：4、举一反三： 变式 解方程：4运用拆项法解方程：5、5巧去分母解方程：6、举一反三： 变式（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。解：原方程可变形为(_) 去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1). (_) 去括号， 得 9x+15=4x-2. （_ ）(_), 得 9x-4x=-15-2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

9、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 39 页 - - - - - - - - - (_) 合并，得 5x=-17. (合并同类项 ) （_ ）, 得 x=. （_ ）6巧组合解方程：7、思路点拨：按常规解法将方程两边同乘72 化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。7巧解含有绝对值的方程：8、|x 2| 30 思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方

10、程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义， 直接去绝对值符号， 化为两个一元一次方程分别解之，即若 |x| m ，则 xm或 xm ；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。举一反三：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 39 页 - - - - - - - - - 【变式 1】 （2011 福建泉州）已知方程，那么方程的解是_. ； 变式 2 5|x|-163|x|-4 变式 3 8利用整体思想解方程：9、思路点拨：因为含有

11、的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。参考答案例 1：解：是方程的是，共六个，所以选B 总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。举一反三1. 解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 39 页 - - - - - - - - - 答案： （1） （2） （3）不是， （4）

12、是2. 解析：分两种情况：（1）只含字母 y，则有 (a-3)(2a+5)0 且 a-30 （2）只含字母 x，则有 a-3 0 且(a- 3)(2a+5) 0 不可能综上， a 的值为。3. 答案：B 例 2. 解：移项，得。合并同类项，得2x1。系数化为 1，得 x。举一反三解：原方程可变形为2x5 整理，得 8x18(2 15x)2x5，去括号，得 8x18215x2x5 移项，得 8x15x2x5182 合并同类项，得 9x21 系数化为 1，得 x。例 4 解：去括号，得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

13、- - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 39 页 - - - - - - - - - 去小括号，得去分母，得 (3x5)88 去括号、移项、合并同类项，得3x21 两边同除以 3，得 x7 原方程的解为x7 举一反三解：依次移项、去分母、去大括号，得依次移项、去分母、去中括号，得依次移项、去分母、去小括号，得，x48 例 5 解：原方程逆用分数加减法法则，得移项、合并同类项，得。系数化为 1，得。例 6 解：原方程化为去分母，得 100 x(1320 x)7 去括号、移项、合并同类项，得120 x20 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

14、- - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 39 页 - - - - - - - - - 两边同除以 120，得 x原方程的解为总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。举一反三【答案】解：原方程可变形为 (_ 分式的基本性质 _) 去分母，得 3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性质 2_) 去括号，得 9x+15=4x-2. （去括号法则或乘法分配律_）(_移项_), 得 9x-4x=-15-2. (等式性质 1_) 合并，得 5x=-17.

15、(合并同类项 ) （_系数化为 1_）, 得 x=. （等式性质 2）例 7 解：移项通分，得化简，得去分母，得 8x1449x99。移项、合并，得x45。例 8 解法一：移项，得 |x 2| 3 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 39 页 - - - - - - - - - 当 x20时，原方程可化为x23，解得 x5 当 x20 时，原方程可化为 (x 2)3，解得 x1。所以方程 |x 2| 30 的解有两个： x5 或 x1。解法

16、二：移项，得 |x 2|3。因为绝对值等于3 的数有两个： 3 和3，所以 x23 或 x23。分别解这两个一元一次方程，得解为x5 或 x1。举一反三1. 【答案】2. 解：5|x|-3|x|16-4 2|x| 12 |x| 6 x63. 解：|3x-1| 8 3x-1 83x183x9 或 3x-7 x3 或例 9 解：移项通分，得：化简，得：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 39 页 - - - - - - - - - 移项，系数化

17、 1 得：总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时， 既要学会按部就班 ( 严格按步骤 )地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤 ) 解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。三、课堂练习一、选择题1、已知下列方程：（1）x-2=x3;(2) 0.3x=1;(3) 2x=5x-1;(4) x2-4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中一元一次方程的个数是 （） A 2 B 3 C 4 D 5 2、下列四组变形中，正确的是（）A 由 5x+7=0,得 5x= -7 B 由 2x-3=0, 得 2x-

18、3+3=0 C 由6x=2,得 x=31 D由 5x=7, 得 x=35 3、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2 小时可把空池灌满； 单独开乙水龙头 3 小时可把空池灌满， 若同时开放两个水龙头，灌满空池需（）A56小时 B65小时 C2小时 D3小时名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 39 页 - - - - - - - - - 4、下列方程中，是由方程7x-8=x+3 变形而得到的是（）A 7x=x+5 B 7x+5=x C

19、6x=11 D -8+3=-6x 5、下列方程的变形中，是移项的是（）A由 3=25x，得25x=3 B由 6x=3+5x，得 6x=5x+3 C 由 2x=-1， 得 x=-21 D 由 2x-3=x+5，得 2x-x=5+3 6、方程 6x=3+5x 的解为（）A x=2 B x=3 C x=-2 D x=-3 7、方程 4(a-x)-4(x+1)=60的解是 x=-1，则 a 为（） A -14 B 20 C 14 D -16 8、动物园的门票售价：成人50 元张，儿童 30 元张。某日动物园售出门票 700 张，共得 29000元。设儿童票售出 x 张，依题意可列出下列哪个一元一次方程

20、（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 39 页 - - - - - - - - - A、30 x+50(700-x)=29000 B、50 x+30(700-x)=29000 C、30 x+50(700+x)=29000 D、 50 x+30(700+x)=29000 9、解方程31x-24x=1，去分母正确的是（） A 2(X-1)-3(4X-1)=1 B 2X-1-12+X=1 C 2(X-1)-3(4-X)=6 D 2X-2-12-

21、3X=6 10、如果615x-2 的倒数是 3，那么 x 的值是（）A、 -3 B、 -1 C 、 1 D 、 3 11、超市同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利 20，另一台亏本 20，则这次出售中商场（）A 不赔不赚 B 赚 160 元 C 赚 80 元D 赔 80 元12、笼中有鸡兔共 12 只，共 40 条腿，设鸡有 X只，根据题意，可列方程为（）A2(12-X)+4X=40 B4(12-X)+2X=40 C 2X+4X=40 D240-4(20-X)=X 12、已知下列方程：22xx；0.31x；512xx；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

22、 - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 39 页 - - - - - - - - - 243xx；6x；20 xy其中一元一次方程的个数是（） A2 B3 C4 D 5 13、已知关于x的方程5(21)axax的解是1x，则a的值是（） A-5 B -6 C -7 D 8 14、方程3521xx移项后，正确的是（） A3251xx B3215xxC 321 5xx D321 5xx15、方程2412332xx，去分母得（） A22(24)33(1)xx B123(24)183(1)xxC 12

23、(24)18(1)xx D 62(24)9(1)xx16、甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行， 2 小时相遇，若甲比乙每小时多骑25 km，则乙的时速是（） A125 km B 15 km C175 km D20 km 17、某商店卖出两件衣服，每件60 元，其中一件赚 25，另一件赔名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 39 页 - - - - - - - - - 25，那么这两件衣服售出后商店是（） A不赚不赔B赚 8

24、元C 亏 8 元 D赚15 元二、填空题： 1 、圆的周长为 4，半径为 x, 列出方程为。2、已知方程（ m-2）x1m+5=9是关于 x 的一元一次方程，则m = . 3、已知代数式 x+2y 的值是 3，则代数式 2x+4y+1的值是。4、3a32mb4与 2am6b4是同类项，则 m = . 5、若yx+（y+1）2=0,则 x-y= . 6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8 折销售，结果每件商品仍获利10 元，那么原来标价为。7、当 x= 时，1528x的值是 0. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心

25、整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 39 页 - - - - - - - - - 8、7.1 班发作业本，若每人发4 本，则还余 12 本，若每人发 5 本，则还少 18 本，那么该班有名学生。9、使(1)60ax为关于x的一元一次方程的a_ （写出一个你喜欢的数即可）10、当m_ 时，式子273m的值是 -311、若3122mxy与224nx y在某运算中可以合并，则_m，_n12、设某数为x，根据下列条件列出方程：（1）某数的23比它的相反数大5_ ；（2）某数的13与12的差刚好等于这个数的2倍_ 13、某次数学竞赛共出了

26、15道选择题，选对一题得4 分，选错一题扣 2 分若某同学得 36 分，他选对了 _道题（不选算错）14、某商场对某种商品作调价，按原价8 折出售，此时商品的利润率为 10，此商品的进价是1000元，则商品的原价是 _. 15、某人将 1000 元存入银行，定期两年，若年利率为2.27，则两年后利息为 _元，若扣除 20的利息税，则实际得到的利息为_元，银行应付给该储户本息共_ 元名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 39 页 - - - -

27、 - - - - - 16、 根据你们班男、女生人数编一道应用题：_ _. 假设适当的未知数，列出方程_ 三、解答题：1、解方程（1）6x-3(5x-2)=0 (2) 20-2x=x-1 （3）412x=32x-2 (4) 2.04.0 x-5 .03x=2 （5）(1)2(1)13xxx（6）321123xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 39 页 - - - - - - - - - （7）xx212（8）42312yy四、家庭练习一

28、、填空题：1、已知方程（a-2）x|a|-1=1 是一元一次方程， 则 a=_，x=_2、下列说法： 、等式是方程； 、x=4 是方程 5x+20=0的解； 、x=-4 和 x=6 都是方程 x-1=5 的解其中说法正确的是_ _ （填序号）3、已知代数式87x与62x的值互为相反数，那么x的值等于_ 4、如果方程_5、三个连续奇数的和是75，则这三个数分别是 _。6、我校球类联赛期间买回排球和足球共16 个，花去 900 元钱，已知排球每个 42 元，足球每个 80 元，设排球买了 x 个。则可列程为，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心

29、整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 39 页 - - - - - - - - - 7、小慧在一张日历的一横列上圈了连续的四个数，它们的和为22，这四个数为8、数学竞赛共有 10 道题，每答对一道题得5 分，不答或答错一道题倒扣 3 分，要得到 34 分必须答对的题数是，9、自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过 10 吨，每吨按 0.8 元收费，超过 10吨的部分按每吨1.5 元收费，王老师三月份平均水费为每吨1.0 元，则王老师家三月份用水_吨. 二、选择题： 1 、若 ab，则下列式子正确的有（）a2b2

30、 13a12b 34a34b 5a15b1（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个2、下列变形中，正确的是A、若 ac=bc，那么 a=b。 B、若cbca，那么 a=b C 、ab，那么a=b。 D、若 a2=b2那么 a=b 3、给出下面四个方程及其变形：48020 xx变形为；xxx75342变形为；253215xx变形为；422xx变形为；其中变形正确的是（）ABCD4、如果方程 6x+3a=22与方程 3x+5=11的解相同，那么 a=（）A. 103 B. 310 C. -103 D.- 3105、将方程131212xx去分母，得到62236xx，错在（）A、最简公分母找错

31、B、去分母时，漏乘3 项名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 39 页 - - - - - - - - - C、去分母时，分子部分没有加括号D、去分母时，各项所乘的数不同6、初一（一）班举行了一次集邮展览，展出的邮票比平均每人3 张多 24 张，比平均每人 4 张少 26张，这个班共展出邮票的张数是（） A.164 B.178 C.168 D.174 7、某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了1200 元，其中一个盈利50% ，另一个亏本 20

32、% ，在这次买卖中，这家商场（）A.不赔不赚B.赔 100元C.赚 100 元D.赚 360 元8、 某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共70 只, 已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为 196 条, 则鸵鸟的头数比奶牛多 ( ) A、20 只 B、14 只C、 15只 D、13 只三、运算题：1、)()(1161232xxx 2、32)4(212xxx3、151423xx 4、21101211364xxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 39 页 - -

33、- - - - - - - 5.)()(1161232xxx 6.151423xx四当 x 为何值时，代数式12x与113x的值大 2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 39 页 - - - - - - - - - 三、一元一次方程应用题（找出等量关系）一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子， ?然后利

34、用已找出的等量关系列出方程 （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值 （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案1、数字问题要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0 b9，0c9）则这个三位数表示为： 100a+10b+c。例 1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。例 2、 一个两位数， 个位上的数是十位上的数的2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数名师归纳总结 精品学习资料

35、 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 39 页 - - - - - - - - - 例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的 2倍少49，求原数。分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程2、日历中的规律：横行相邻两数相差_竖行相邻两数相差 _。例 1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期_ 例 2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2 个数，则

36、它们的和一定能被 _ 整除。A 3 B 4 C 5 D 6 例 3、如果某一年的 5 月份中，有 5 个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的 4 号是星期几？3、等积变形问题常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。例 1、用直径为 4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg 的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g ，应截圆钢多长？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 39 页 - - - - - - - - - 例 2

37、. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1251252mm内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm ？（结果保留整数314.）4、 和、差、倍、分问题：倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。（1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化. 例 1. 某厂一车间有 64 人，二车间有 56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？例2甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，

38、那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调 100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 39 页 - - - - - - - - - （2）配套问题：例1、某车间有 28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母 18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）例 2. 机械厂加工车间有85 名工人，平均每人每天加工大齿轮

39、16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、 小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：列表法。每人每天人数数量大齿轮16 个x 人16x 小齿轮10 个85x人10 85x等量关系：小齿轮数量的2 倍大齿轮数量的3 倍解：设分别安排x 名、85x名工人加工大、小齿轮3162 10 85()()xx4817002068170025xxxx8560 x人答：略 . （3）分配问题：例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少 12个床位，如果每室名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精

40、心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 39 页 - - - - - - - - - 住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。例2. 三个正整数的比为 1：2：4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是几？ （比例分配问题常用等量关系： 各部分之和总量。）（4）年龄问题：例 1、甲比乙大 15 岁，5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？例 2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25 岁，8 年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多 5 岁，求小华现在的年龄。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

41、- - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 39 页 - - - - - - - - - 5、工程问题工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例 1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？分析设工程总量为单位1，等量关系为： 甲完成工作量 +乙完成工作量=工作总量。解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得

42、，(115+112)3+x12=1， . 例 2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长 6500 米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480 米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 39 页 - - - - - - - - - 6、 打折销售问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等（2

43、）基本关系式：利润售价进价；售价=标价折数；利润率利润/ 进价。由可得出利润标价折数进价。由可得出利润率。市场经济问题（1）商品利润商品售价商品成本价（2）商品利润率商品利润商品成本价100% （3）商品销售额商品销售价商品销售量（4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8 折出售，即按原标价的80% 出售例 1、一件衣服标价是200元，现打 7 折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本（进价）是115 元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？例 2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若名师归纳总

44、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 39 页 - - - - - - - - - 按成本计算，其中一件赢利25% ，另一件亏损 25% ，问这次售货员是赔了还是赚了？7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）要掌握行程中的基本关系：路程速度时间。相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程 =全路程追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间 =乙的时

45、间甲走的路程 - 乙走的路程 =原来甲、乙相距的路程同地不同时；甲的时间 =乙的时间 - 时间差甲的路程 =乙的路程解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例 1. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

46、- 第 31 页，共 39 页 - - - - - - - - - 少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析：相遇问题，画图表示为：甲乙等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程 =480公里。解：设快车开出 x 小时后两车相遇， 由题意得，

47、140 x+90(x+1)=480 解这个方程， 230 x=390 x=11623答：略 . （2）分析：相背而行，画图表示为：600 甲乙等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。解：设 x 小时后两车相距 600公里，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 39 页 - - - - - - - - - 由题意得， (140+90)x+480=600 解这个方程， 230 x=120 x=1223答：略 . （3） 分析：等量关

48、系为：快车所走路程慢车所走路程+480公里=600公里。解：设 x 小时后两车相距 600公里，由题意得， (14090)x+480=600 50 x=120 x=2.4 答：略 . （4）分析：追及问题，画图表示为：甲乙等量关系为：快车的路程=慢车走的路程 +480公里。解：设 x 小时后快车追上慢车。由题意得， 140 x=90 x+480 解这个方程， 50 x=480 x=9.6 答：略 . （5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程 +480公里。解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140 x=90(x+1)+480 50 x=570 解得， x=11.4

49、答：略 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 39 页 - - - - - - - - - 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和 =一圈的路程； 同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差 =一圈的路程。航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度例： 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要 2小时，逆水航行需要 3小时，求两码头的之间的

50、距离？抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系1、A、B两地相距 150千米。一辆汽车以每小时50 千米的速度从 A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从 B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30 千米？2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7 米，乙每秒跑 6.5 米，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 39 页 - - - - - - - - - 如果甲让乙先跑 1 秒，那么甲经过几秒