2022年一次函数图象的平移变换问题探究 .pdf

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1、学习必备欢迎下载一次函数图象的平移变换问题的探究所谓平移变换就是在平面内，将一个图形整体沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变， 只是位置发生了变化 .简单的点P（x，y）平移规律如下：（1）将点 P（x，y）向左平移a 个单位，得到P1（x a，y）（2）将点 P（x，y）向右平移a 个单位，得到P2（x+a，y）（3）将点 P（x，y）向下平移a 个单位，得到P3（x， ya）（4）将点 P（x，y）向上平移a 个单位，得到P4（x， y+a）反之也成立. 下面我们来探索直线的平移问题. 【引例 1】探究一次函数l： y=32x

2、 与1l：y=32x+2，2l：y=32x2 的关系 . 【探究 】我们可以通过列表、描点、连线在同一平面直角坐标系中画出3 个函数的图象（如图1），观察这3 个函数的图象：从位置上看， 它们是 3 条平行的直线. （这是因为它们的k 值相同）；从数量上看，对于同一自变量 的取值（不妨取x=0 即直线与y 轴的交点） ，可以看出直线1l在直线l的上方 2 个单位处， 直线2l在直线l的下方 2 个单位处，因此，一次函数1l： y=32x+2 的图象可以看作是由正比例函数l： y=32x 的图象沿 y 轴向上平移2 个单位得到的； 一次函数2l：y=32x2 的图象可以看作是由正比例函数l： y

3、=32x 的图象沿y 轴向下平移2 个单位得到的. 【拓广 】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b0）或向下（ b0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k（x+m） =kx+km ；沿 x 轴向右平移m（m0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k（xm）=kx km；综合上述归纳推广可以发现，直线上下平移时，影响的y 值的变化，直线左右平移时影响 x 值的变化 . 【应用 】：（ 08 年武汉市）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是，直线21yx向下平移2 个单位后的解析式是；直线21yx向右平移2 个单位后的解析式是；O 1 2 3 4 A

4、x y 图 2 1 2 O C B A yx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载如图，已知点C 为直线yx上在第一象限内一点，直线21yx交y轴于点 A，交x轴于 B，将直线AB 沿射线 OC 方向平移3 2个单位，求平移后的直线的解析式分析： 点（0，1）向下平移 2 个单位， 横坐标不变， 纵坐标减去2，故为（0，1）. 根据上面拓广的规律直线21yx向下平移2 个单位后的解析式

5、应为21yx2， 即21yx；直线21yx向右平移2 个单位后的解析式应为y=2(x-2)+1 即23yx；解法 1：点 C 为直线yx上在第一象限内一点，OC=3 2可知点 C（3，3），将直线 AB 沿射线 OC 方向平移3 2个单位，相当于向右平移3 个单位，再向上平移3 个单位，根据拓广规律，解析式变为y=2(x-3)+1+3 即22yx；解法 2：点 C 为直线yx上在第一象限内一点，OC=3 2可知点 C（3，3），将直线 AB 沿射线 OC 方向平移3 2个单位，相当于向右平移3 个单位，再向上平移3 个单位，从而点 A（0，1）平移到（ 3，4），设平移后的直线的解析式为y=2

6、x+b ，则有 4=6+b 所以 b=-2，所以所求直线的解析式为y=2x-2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载赏析一道函数图象探究题函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的丰富的有价值的信息.为考查同学们获取和应用图象信息的能力,函数图象探究题便成了近年来各地中考的新亮点,解答这类题的关键是从图象中获取信息,正确地进行 “ 形” 和“ 数” 的

7、转换 .现就 08 年中考有关一次函数图象探究题精选一例,浅析如下 ,供同学们鉴赏：例(2008 江苏南京 )一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x，两车之间的距离为(km)y，图中的折线表示y与x之间的函数关系根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇30 分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快

8、车比第一列快车晚出发多少小时？分析(1)图中折线表示两车之间距离与慢车行驶时间之间的函数关系,从折线中可以看出 ,当x=0,即两车即将出发时,y=900(km),这说明甲、乙两地之间的距离为900km；(2)当x=4,即慢车行驶4 小时 , y=0(km),这说明两车之间的距离为0,即两车相遇 ; (3)两车相遇后继续行驶,快车至乙地停止行驶(折线上为点C),慢车继续向甲地行驶,直至x=12,即慢车行驶了12 小时到达甲地 (折线上为点D).点 D 的纵坐标为900(km),这说明名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

9、- - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载慢车 12 小时行驶的路程为900km,从而可求得慢车的速度,再由两车4 小时相遇 ,即 4 小时共走了 900km,则快车速度可求. (4) 求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，关键是要确定B、C 两点的坐标 ,由图象可知 ,点 B 的坐标为 (4,0),点 C 的横坐标为快车到达乙地的时间,由快车行驶路程 快车行驶速度可得,而纵坐标则为此时两车之间的距离,可由慢车行驶时间 慢车行驶速度求得,再用待定系数法可求得线段BC所表示的y与x之间的函数关系式.

10、 (5) 慢车与第一列快车相遇30 分钟后与第二列快车相遇,此时 ,慢车行驶的时间是4.5h代入线段BC所表示函数关系式,可以求得此时慢车与第一列快车之间的距离, 而这也正是两列快车之间的距离,再由快车行驶速度,则可求得两列快车发车的间隔时间,从而问题可解 . 解： （1）900；（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇（3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km，所以慢车的速度为90075(km /h)12；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km / h)4，所以快车的速度为150km

11、/h（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)，所以点C的坐标为(6 450)，设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为ykxb，把(4 0)，(6 450)，代入得044506.kbkb，解得225900.kb，所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为225900yx自变量x的取值范围是46x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - -

12、- - - - - - 学习必备欢迎下载（5）慢车与第一列快车相遇30 分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h把4.5x代入225900yx，得112.5y此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h点评本例确实是一道难得的函数图象探究题,从列意布局 ,信息读取 ,图象理解 ,问题解决 ,环环相扣 ,步步紧逼 ,既给了同学们解决问题的方法,又给了同学们广阔的思维空间和探索空间 ,既考查了同学们获取图象信息的能力,又考查了同学们探究学习的过程,还充分渗透了运动变化的观点.可以看得出命题者的构思巧妙,匠心独运 .不得不令人耳目一新,拍案叫绝. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -