2022年《高等代数》下总复习题 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载复习题计算题1.化二次型233222312121321585442),(xxxxxxxxxxxxf为标准形，并求相应的线性替换和二次型的符号差 . 用非退化的线性替换化实二次型32232221214422xxxxxxx为标准型 . 求实二次型nnxxxxxx2)1(24321.的正惯性指数、符合差与R 上的规范型 . 2.判断二次型是否正定，323121232221xxxxxxxxx3. 用初等变换的方法求1A , 其中：121-01-1322A012411210A，121011322A. 求矩阵 X 使112011111011220111X，12643152X.1, 2,

2、 06, 5, 11,2, 1. 43213过渡矩阵）的（），（），（中，求从标准基到在R求（1,0,0 ） ， （1,1,0 ） ， （1,1,1 ） 到标准基的过渡矩阵 . 并求)3 , 1,2(在这组基下的坐标 .在3xP中，求标准基到2222,22,2xxx的过渡矩阵 . 5.已知3221,0132,21213214031,1101,1111321名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 优秀学习

3、资料欢迎下载),(),(32123211LVLV.求线性空间21VV的维数与一组基 . 6. 求22R的子空间 W =Rcbacba,0的基和维数 . 7. 在3P 中，A),(321xxx=),(132xxx，A L)(3P，求 A在标准基下的矩阵 . 8. 求 A 的特征值与特征向量，其中3210112012A，201034011A，324202423A,判断 A 是否可以对角化，可以对角化时，求出可逆矩阵X 和对角矩阵 . 9. 已知三阶矩阵 A 的特征值分别为 -1,1,2，求EAA22的特征值与行列式，并说明它的可逆性 . 10. 已知三阶矩阵 A 的特征值分别为1,2，-3，求EA

4、A2311. nR 中，定义niiibia1),(，求标准基的度量矩阵A. 12.将欧氏空间3R 的基)1 , 1 , 1(),0, 1 , 1 (),0,0 , 1(321化为标准正交基证明题1. 设062EAA, 证明： A+3E,A-2E都可逆并求其逆 . 2. 设矩阵 B可逆， A,B 满足022BABA, 证明 A和 A+B都可逆 . 3. 证明：)2)(1(),1(,1xxx为线性空间3xP的一组基. 4. 证明：如果 A,B 是正定矩阵，那么A+B 也是正定矩阵 . 5. 证明：每个 n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和 . 6.设21VV 与分别是齐次线性方程组0.

5、21nxxx与nxxx.21的解空间，证明：21VVPn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载7.设niiinnijaPaAW110)(，PEW2证明：21WW是直和 . 8.设是 A 的特征值，证明：2是2A 的特征值 .1232是EAA232的特征值.9.证明：若是可逆矩阵 A 的特征值则不为零，且1是1A 的特征值 . 填空题1. A,B 为 n 阶矩阵，22)(BABABA

6、成立的充分必要条件是. 2. A,B 为 n 阶矩阵， AB=0，且，则 B=0. A,B,C 为 n 阶矩阵， AB=AC 且，一定有B=C. 3. 已知 A=021112111，则)()(21EAEA= . 4. A，B 是 n 阶可逆矩阵，TAB)(= , kA = ,1)(AB= . A = ,1A= . 5. 二次型23322221213216234),(1xxxxxxxxxxf的矩阵为二次型23322221213215423),(1xxxxxxxxxxf的矩阵为6. n 元正定二次型的规范型为, n 阶正定矩阵与合同，正定矩阵A 的行列式一定0. 7. 实数域是实数域上的维线性空间

7、 . 8.3P中，由标准基TTT)1 ,0 ,0(,)0, 1 ,0(,)0, 0, 1(到基TTT)5 ,4, 3(,)4,3 ,2(,)3,2, 1(的过渡矩阵是. 9. QdcbadcbaQ,632)3,2(对 数 的 运 算 构 成 Q 上 的维线 性空间 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载10. 线性空间的标准基是nxP. 线性空间的标准基是22R. 11. 3x

8、P中，由标准基到基21,3,2xxx的过渡矩阵是12. 已知三阶矩阵 A 的特征值分别为 -1、1、2，则 AE 的特征值为13. 奇异矩阵 A 必有特征值. 幂零矩阵 A 的特征值为. 14. 矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量一定线性. 15. n 阶矩阵 A能对角化的充分必要条件是16. nR 中标准基的度量矩阵是.判断题1. 若2AA则 A=0 或 A=E 2. A 为 n 阶矩阵，若02A,则 A=0 .3. 设 A,B,C 是 n 阶矩阵，若 AB=AC, 且0A,则 B=C. 4.设 A,B,C 是 n 阶矩阵，若 ABC=E ,则，BCA=E. 5. kkBAABnBAk),

9、（阶矩阵，则是6. 复数域是实数域上的线性空间7. 实数域是复数域上的线性空间. 8. 设)(),3,2, 1(L则是3P的一维子空间 . 9. 32PP 是的二维子空间 . 10. 二次型321321323512102321),(),(xxxxxxxxxfx的矩阵是3512102321.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载11.二次型32132132361210321),(),

10、(xxxxxxxxxfx的矩阵是342411211. 12.数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵. 13. 任意 n阶矩阵都可以作为 n维线性空间中从一组基到另一组基的过渡矩阵. 14. 数域 P上两线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 15. 矩阵 A 可逆的充分必要条件是A 的特征值全大于零 . 16. 幂零矩阵的特征值必为零 . 17. 幂等矩阵的特征值为0,1 18. 相似矩阵的特征值相同，行列式相同. 秩相同 . 19. 矩阵 A与 B有相同的秩，那么A 与 B 一定相似 . 20. n 阶矩阵 A 可以对角化的充要条件是A 有 n 个不同的特征值 . 21. n 阶矩阵 A 可以对角化的充要条件是A 有 n 个线性无关的特征向量 . 22. 实对称矩阵一定可以对角化. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -