2022年一元多元函数微分学习题 .pdf

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1、精品资料欢迎下载第八章多元函数微分法及其应用一、选择题1. 极限limxyx yxy00242= （提示：令22yk x）（ B ）(A) 等于 0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于 0 或122、设函数fx yxyyxxyxy( ,)sinsin11000，则极限lim( , )xyfx y00= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于 1 (C) 等于 0 (D) 等于 2 3、设函数 f x yxyxyxyxy( , )222222000，则( , )f x y（ A ）（提示：在220 xy，( , )f x y处处连续；

2、在0,0 xy，令ykx，22222000limlim0(0,0)1xxykxkxfxk xk，故在220 xy，函数亦连续 . 所以，( , )f x y在整个定义域内处处连续. ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（ 0,0 ）点连续 (D) 除（0,0 ）点外处处连续4、函数zfx y( , )在点(,)xy00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）(A) 必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、 设uyxarctan， 则ux= （ B ）(A) xxy22(B) yxy22 (C) yxy22(D)

3、xxy226、设fx yyx( , )arcsin，则fx( , )2 1（ A ）（A）14（B）14（C）12（D）127、 设yxzarctan，vux，vuy， 则vuzz（C ）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（A）22vuvu（B）22vuuv（C）22vuvu（D ）22vuuv8、若f xxxx fxxxx( ,),( ,)232612，则fxxy( ,)2= （

4、 D ）(A) x32 (B) x32 (C) 21x (D) 21x9、 设zyx，则()( , )zxzy2 1（ A ）(A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1 10、设zxyexy，则zxxx( ,)（ D ）(A)2122xxex() (B) 2122xxex() (C)xxex()122 (D)xxex()12211、曲线xt yt zt24sin ,cos ,在点( , ,)2 02处的法平面方程是（C ）(A) 242xz (B) 224xz (C) 42yz (D) 42yz12、曲线45xyyz,在点 ( , , )8 2 4 处的切线方程是（A ）(A) 8

5、42204xzy (B)xyz122044(C) xyz85244 (D)xyz351413、曲面xzyxzcoscos22在点2120,处的切平面方程为（D ）（A） xz1（B） xy1（C）xy2（D ）xz214、 曲面x yzxy z2236在点 ( , , )321 处的法线方程为（A ）（A）xyz58531918（B）xyz3823118（C）83180 xyz（D）831812xyz15、设函数 zxy122，则点( , )00 是函数z的（ B ）（A）极大值点但非最大值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极小值点且是最小值点16、设函数zfx y(

6、 , )具有二阶连续偏导数，在Pxy000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000PfPfPfPfPfPfyxxyyyxxyx，则（ C ）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（A）点P0是函数z的极大值点（B）点P0是函数z的极小值点（C）点P0非函数z的极值点（D）条件不够，无法判定17、函数fx y zz( , , )2在222421xyz条件下的极大值是

7、（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)1 (D) 2二、填空题1、极限limsin()xyxyx0= . 答：2、极限limln()xyxyexy01222= . 答： ln23、函数zxyln()的定义域为 . 答： xy14、函数zxyarcsin的定义域为 . 答：11x， y05、设函数fx yxyxyyx( ,)ln22，则f kx ky(,)= . 答：kf x y2( , )6、设函数fx yxyxy( , )，则fxy xy(,)= . 答：222xyx（22()()(,)()()2xyxyxyf xy xyxyxyx）7、设 f x yxyxyAxy( , )ln()/11

8、 21 2222222，要使fx y( , )处处连续，则A= . 答：ln28、设 f x yxyxyx yAx y( , )tan()( , )( , )( , )( , )22220 00 0，要使f x y( ,)在（0，0）处连续，则 A= . 答：1 9、函数221xyzx的间断点是 .答：直线10 x上的所有点10、函数f x yxyyx( , )cos122的间断点为 . 答：直线 yx及 x0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，

9、共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载11、设zxyysin()3，则zxxy21_ . 答：3cos5 12、设f x yxy( , )22，则fy( , )01= _ . 答：1 13、设 u x y zxyz( , , )，则)3, 2, 1(du=_ . 答：38316182ddlndxyz14、设 uxxy22，则在极坐标系下，ur= _ . 答：0 15、设uxyyx，则22ux= _. 答：23yx16、设uxxyln，则2ux y= _ . 答：1y17、函数 yy x( )由12x yey所确定，则ddyx= _ . 答：22xyexy18、设函数z

10、z x y( , ) 由方程xy zxyz2所确定，则zy= _ .答：2112xyzxy19、由方程 xyzxyz2222 所确定的函数 zz x y( , ) 在点（ 1，0，1）处的全微分 dz= _ . 答：ddxy220、曲线 xtyt zt23213,在点 ( , , )1213处的切线方程是 _. 答：xyz12221321、 曲 线xteyezt ettt232222,在 对 应 于t1点 处 的 法 平 面 方 程是_. 答：01132eyx22、曲面 xey ez eeyzx223321在点 ( , )210 处的法线方程为 _ . 答：ezeyx2221223、 曲 面

11、ar ctanyxz14在 点 (, , )210 处 的 切 平 面 方 程 是 _. 答 ：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载yz2124、 设函数 zz x y( , ) 由方程123552422xxyyxyezz确定，则函数z的驻点是 _ . 答： （1，2）27、函数zxyxy2346122的驻点是 _.答： （1，1）25、若函数fx yxxyyaxby( , )222

12、36在点( ,)1 1 处取得极值，则常数a_，b_.答：a0，b4 26、函数fx y zx( , , )22在xyz22222条件下的极大值是 _答：4三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形. (1) 221zxy (2)ln()zxy(3)1ln()zxy (4)ln(1)zxy解：(1) 要使函数221zxy有意义，必须有2210 xy，即有221xy. 故所求函数的定义域为22(, ) |1Dx yxy, 图形为图 3.1 (2) 要使函数ln()zxy有意义，必须有0 xy. 故所有函数的定义域为( , )|0Dx yxy，图形为图 3.2 (3) 要使函数1ln

13、()zxy有意义，必须有ln()0 xy，即0 xy且1xy. 故该函数的定义域为( , )|01Dx yxyxy，图形为图 3.3 (4) 要使函数ln(1)zxy有意义，必须有10 xy. 故该函数的定义域为(,)|1Dx yxy，图形为图 3.4 O1xyO1xyx+y=0图 3.1 图 3.2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载O1xyx+y=0 x+y=11O1xyy=1

14、/x1-1-1图 3.3 图 3.4 2、求极限limsinxyyxxy00211 . 解：limsinxyyxxy00211limsin()xyyxxyxy00211= 4 3、求极限 limsin()xyx yx yxy0023211 . 解：原式 =lim()sin()xyx yx yx yxy00232211limsin()xyx yxyxy002111124、求极限limxyxxyexy00416 . 解：limxyxxyexy00416lim()xyxxyexyxy00416= -8 5、设uxyyxsincos，求uuxy,. 解：uyyxxsinsinuxyxycoscos6、

15、设zxeyeyx，求zzxy,. 解：zeyexyxzxeeyyx7、设函数 zz x y( , ) 由 yzzxxy3所确定，试求zxzy,（其中 xy0）. 解一：原式两边对x求导得yzxxzxzy0，则zxzyyx同理可得：zyzxyx解二：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载xyxzFFyzxyyzFFxzxyyx,8、求函数zxxyyxy23243122的极值 . 解：由z

16、xyzxyxy43403430，得驻点 (, )10074334yyyxxyxxzzzzDzxx40，函数z在点 (, )10 处取极小值 z(, )101. 9、设 zexy32，而xt ytcos ,2，求ddzt. 解：dd( sin )()ztetetxyxy3223232(sin)3432tt exy10、设zyxyxln()，求zxzy,. 解：zyyxyxyxxxlnln1zxyxyyyyxx11ln()11、设uaxaxyzaln()0，求 du . 解：uxaaaxxyzln1，uyazaxyzln，uzyaaxyzlnd(ln)dln( dd )uaaaxxaa zyyzx

17、yzxyz112、求函数zxyexyln()22的全微分 . 解：zxxyexyezyyxexyexyxyxyxy222222,d() d() dzxyexyexyxeyxyxyxy12222四、应用题1、要造一容积为128 立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的 2 倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z, , 米. 水池底部的单位造价为a. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共

18、9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载则水池造价Sxyxzyz a44且xyz128令Lxyxzyzxyz44128由01280440404xyzLxyyxLxzzxLyzzyLzyx得xyz82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8 米、8米、2 米时，其造价最低 . 2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x和 y （件） ，总成本函数22128),(yxyxyxC（元） . 商品的限额为42yx，求最小成本 . 解：约束条件为042),(yxyx，构造拉格朗日函数22( , ,)812(42)F x yxxyyxy，解方程组160240420 xyF

19、xyFxyFxy，得唯一驻点)17,25(),(yx，由实际情况知，)17,25(),(yx就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(C（元） . 3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与 9 元，生产x单位的产品甲与生产 y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022yxyxyx元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(yxL表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)33(01.032400)910(),(22yxyxyxyxyxL)0,0( ,400)33(01.06822yxyxyxyx，名师归纳总结 精品学习资料

20、 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载令0)6(01. 060)6(01. 08yxLyxLyx，解得唯一驻点（ 120，80）. 又因06.0,01.0,006.0yyxyxxLCLBLA，得0105.332BAC. 得极大值320)80,120(L. 根据实际情况，此极大值就是最大值 故生产 120单位产品甲与 80单位产品乙时所得利润最大320 元. 五、证明题1、设)11(yxez求证zyzyxzx22

21、2证明： 因为2)11(1xexzyx2)11(1yeyzyx所以zeeyzyxzxyxyx2)11()11(222、证明函数nxeytknsin2满足关系式22xykty证明：因为nxeknknnxetytkntknsin)(sin2222nxnexytkncos2nxenxytknsin2222nxeknxyktknsin2222所以22xykty3、设 z xy xF(u)而xyuF(u) 为可导函数证明xyzyzyxzx证明：yzyxzx)()()(yuuFxxyxuuFxuFyx)()()(uFxyuFxyuFyxxy xF(u)xy z xy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -