2022年一元二次方程解法大全 .pdf

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1、知识精要复习引入：1、问题（ 1）如图，如果ACCBABAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点BCA如果假设 AB=1 ，AC=x ，那么 BC=_ ，根据题意，得：_整理得： _问题（ 2）绿苑小区住宅设计，?准备在每两栋楼房之间开辟面积为900m2的一块长方形绿地，并且长比宽多 10 米，则绿地的长和宽各为多少？问题（ 3）学校图书馆去年年底有图书5 万册，预计到明年年底增加到7.2 万册， ?求这两年的年平均增长率？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是_，宽是 _，根据题意，得： _整理，得： _请口答下面问题（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的

2、规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？总结：（ 1）都只含一个未知数x；（ 2）它们的最高次数都是2 次的；（ 3）都有等号，是方程因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项2、把方程ax2+c0(a 0)，名师归纳总结 精品学习资料 - -

3、 - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。小结：直接开平方法适用于)0(2ddx形式的一元二次方程的求解。这里的x 既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变形可以转化为)0(2ddx形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。3、因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法因式分解法：是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程即

4、0a b，则00ab或4、用配方法解一元二次方程002acbxax的一般步骤是：（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为是已知数、qpqpxx2的形式（2）通过方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，将方程q2pxx的左边配成一个关于 x 的完全平方式，方程化为.2222qppx（3）当022qp时，再利用开平方法解方程；当022qp，原方程无实数根。1、判断下列方程是不是一元二次方程：3x2-13y=0；253x=1； 2xy-7=0 ； 3x=x2+4；232x+53x；（ a-1 ）x2-13x=6 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

5、 - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 明确一元二次方程必须具备三个条件：方程是一个整式方程；只含有一个未知数；含有未知数的项的最高次数是22、把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项、一次项及常数项5x2=3x；（2-1 ）x+x2-3=0；（ 7x-1 ）2-3=0；（2x-1 ）（2x+1） =0；（ 6m-5）（ 2m+1 ）=m23、把方程x2-4x-6=0配方，化为（ x+m）2 = n 的形式应为（）（A）（ x-4 ）2=6 （ B）（ x-2

6、）2=4 （C）（ x-2 ）2=10 （ D ）（ x-2 ）2=0 4、已知 x2-8x+15=0 ，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（） Ax2-8x+ （-4 ）2=31 Bx2-8x+ （-4 ）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 5、填空：方程2x-3x2+5中二次项系数是，一次项系数是，常数项是关于 x 的方程（ m2-4 ）x2-（ m-2）x-1=0 ，当 m 时是一元二次方程；当m 时是一元一次方程把关于 x 的一元二次方程（m+1 ）x2-2m（1-x ）+1=0 化成一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是关于 x 的方程 ax

7、2-2m-3=x （ 2-x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是6、解下列方程：（1）2(1)9x；（2）23920 xx（3）23920 xx (4)10 x2x30；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1、下列关于x 的方程是否为一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，?请分别指出二次项系数、一次项系数及常数项ax2-4x+2=0（a0）；5x2=8px；（ m+1 ）x2-6mx=3m+1

8、 ；（ k2+1）x2+kx-k=9 2、方程（ m2-3m2）x2（ m-2）x70，m为何值时是一元二次方程；是一元一次方程3、x 取什么数时，3x2+6x-8 的值和 2x2-1 的值相等4、已知 x 是实数，求y=x2-4x+5 的最小值运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 例 1解方程x2+x+1=22xx. 例 2 已知21xxxa

9、（a0），求2421xxx的值例 3 如果 a2+b2-4a-2b+5=0 ，求3abba a的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 巩固练习一、选择题：1、下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有（）2x2-23x0 1xx=2x-1 kx2-3x+=0 x2-x2（x2+1）-3=0 A0 B1 C2 D3 2、已知关于x 的方程（ k+3）x2-3kx+2k-1=0它一定是（） A一元二次

10、方程 B一元一次方程 C一元二次方程或一元一次方程 D 无法确定3、下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（） Ak（x2-1 ）=2x（x+1） B（ k2-2 ）x2- （3k+1）x-5=0 C（ k2+2）x2- （3k+1）x-5=0 D23512xx=1 4、方程（ x-1 ）（ x+3）=12 化为 ax2+bx+c=0 形式后， a、b、c 的值为（） A1，-2 ， -15 B1，-2，-15 C1，2，-15 D-1 ，2，-15 5、下列方程中是一元二次方程的有（）3x2=2x；y2-2x-8=0 ；22x-x-1=0 ；2x（x-5 ） =x（3x+1）；3（x2

11、+1）=6； ? 25y A B C D6、若方程（ m2-1 ）x2+x+m=0是关于 x 的一元二次方程，则m的取值范围是（） Am 0 Bm 1 Cm 1 或 m -1 Dm 1 且 m -1 7、一元二次方程(x1)2=2 的解（）. x1=12 ，x2=1+2. x1=12 ，x2=1+2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - . x1=3，x2=1 . x1=1，x2= 3 8、若方程ba

12、x2)(（b0）的根是（）（ A）、ba (B)、)(ba (C)、ba (D) ba9、已知08)2)(yxyx，则 x+y 的值（）（A）-4 或 2 (B)-2或 4 (C)2或-3 (D)3或-2 10、已知方程06x2qx可以配方成7)(2px的形式，那么26x2qx可以配方成下列的（）（A）5)(2px (B) 9)(2px (C) 9)2(2px (D) 5)2(2px二、填空题1、关于x的一元二次方程423xx的一般形式是 . 2、关于 x 的方程（ m-1）x2 + x + m2 + 2m 3 = 0 是一元二次方程的条件是_. 3、若关于x的方程mxmxmm4)3()2(2

13、是一元二次方程，则m的值4、若49)3(22mx是完全平方式，则m的值 = 。三、解下列方程： x2-10 x+24=0 ；x2-8x+15=0 ； (3)12) 1x2(4) 1x2(2；（4）281(2)16x（5）21(1)2(1)02xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 四、已知 a、b、c 是 ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判定 ABC是正三角形五、用配方

14、法证明：多项式42241xx的值总大于4224xx的值方法总结：二次项的系数不为零（a0）是一元二次方程的一个重要条件，也是解答有关一元二次方程问题的一个隐藏条件；判断一个方程是不是一元二次方程，不能只看表面形式，要将方程化成一般形式，看它是否符合一元二次方程的三个条件；任何一个一元二次方程都可化为一般形式，而且，只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项自我测试一、 选择题1下列方程属于一元二次方程的是（）（A）22(2)xxx（B）20axbxc（C）15xx（D）20 x2. 若220 xx，则2222 3()13xxxx的值等于（）A2 33B33C 3D3

15、或33名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3.若分式2926xx的值为零，则x 的值为（） A 3 B3 或 3 C0 D 3 4. 若 n 是方程20 xmxn的根， n0，则 m+n等于（） A 7 B6 C1 D 1 5. 方程 (x1)(2x+1)=2 化成一般形式是，它的二次项系数是 . 6. 关于x的方程是 (m21)x2+(m1)x2=0，那么当m时，方程为一元二次方程；当m时，方程

16、为一元一次方程. 7. 方程22103xx左边配成一个完全平方式，所得的方程是8. （中考题）方程3)3(xxx的解是（）A、1x B、01x32xC、11x32x D、11x32x9. 已知08)2)(yxyx，则 x+y 的值（）（A）-4 或 2 (B)-2或 4 (C)2或-3 (D)3或-2 二用直接开平方法或因式分解法解方程：（1）5x2 - 52=0 （2）（ x+5）2=16 （3）)1(2)1(2xx（4）01)1(4xx（5）24)12(3xxx（6）22)25()1(xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精

17、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 五、已知y =2x2 +7x 1，当 x 为何值时， y 的值与 4x + 1的值相等？ x 为何值时， y 的值与x219 的值互为相反数？六、求证：不论a 取何值， a2-a+1 的值总是一个正数。证明：七、已知x2xy 2y20，且x0，y0，求代数式22225252yxyxyxyx的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -