2022年一元二次不等式与线性规划 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教 材 面 面 观基础知识常梳理自主探究强记忆1二元一次不等式表示_(直线定边界、选点定区域)一般地， 若 AxByC0，则当 B0时，表示直线AxByC0 的_；当 B0 时，表示直线AxByC0 的_若 AxByC0，与上述情况相反答案平面区域上方下方2线性规划(1)约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、 y 的约束条件，如果约束条件都是_，则约束条件又称为线性约束条件；(2)目标函数、线性目标函数：欲达到_，叫做目标函数如果这个解析式是 _，则目标函数又称为线性目标函数；(3) 线 性 规 划 ： 求

2、线 性 目 标 函 数 在_的问题，统称为线性规划问题；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(4)可行域：_叫做可行解， _叫做可行域；(5) 最 优 解 ： 分 别 使 目 标 函 数 取 得_的解，叫做这个问题的最优解答案(1)关于 x、y 的一次不等式(2)最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式关于 x、y 的一次解析式(3)线性约束条件下的最大值或最小值(4)满足线性约

3、束条件的解 (x，y)由所有可行解组成的集合(5)最大值和最小值3求解线性规划问题的基本程序是作_，画 _，解 _，求_答案可行域平行线方程组最值考 点 串 串 讲考点归纳与解析思维拓展与迁移1二元一次不等式表示平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线， 表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxBy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 37 页

4、 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性， 大致可分为以下四种情况(如图所示 )(3)关于二元一次不等式表示平面区域的几点说明：用集合的观点和语言分析直线和二元一次不等式所表示的平面区域，能使问题更加清楚、准确、便于理解AxByC0 表示的是直线AxByC0 的某一侧的平面区域，一定要注意不包括边界； AxByC0 表示的是直线 AxByC0 及直线某一侧的平面区域，一定要注意包括边界画二元一次不等式表示的平面区域常 采 用 “直线定界，特殊点定域” 的 方法特

5、别地，当C0 时，常把原点作为此特殊点画二元一次不等式组所表示的平面区域要注意寻找各个不等式所表示的平面名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载点集的交集，即它们的平面区域的公共部分在直线 l： AxByC0 外任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)若 P、Q 在直线 l 的同一侧，则 Ax1By1C 与 Ax2By2C 同号；若 P、Q 在直线 l 异侧，则 Ax1By1C 与

6、Ax2By2C 异号这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”2线性规划(1)线性规划的有关概念约束条件： 由 x、y的不等式 (或方程 )组成的不等式或等式混合组，是x，y 的约束条件线性约束条件：关于x、y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式或等式混合组，是 x，y的线性约束条件目标函数： 欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式线性目标函数：目标函数为x、y 的一次解析式线性规划问题： 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解(x，y)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资

7、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载可行域：所有可行解组成的集合最优解： 使目标函数取得最大值或最小值的可行解(2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤：作图： 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l. 平移：将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值(3)关于线性规划的几点说明：最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标函

8、数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界上达到(4)求目标函数zaxby的最值， 要把z 与直线yabxzb的截距联系起来去理解(5)线性规划的图解法及其应用名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载图解法的步骤：求可行解 即可行域将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线， 并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行解 (可行域 )作出目标函

9、数的等值线目标函数zaxby(a、bR 且 a、b为常数 )，当 z 是一个指定的常数时，就表示一条直线位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值z，因此称之为等值线当z为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数z 的变化状态求出最终结果在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解3线性规划的实际应用(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：在人力、物力、资金等资源一定的条件下， 如何使用它们来完成最多的任务给定一项任务， 如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务名师归纳总结 精品学习资料 - -

10、 - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(2)线性规划中的常见问题：物资调运问题 ；产品安排问题；合理下料问题；配方问题(3)利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：模型建立；模型求解；模型应用(4)关于线性规划的实际应用的几点说明：解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范因作图有误差， 若图上的最优点并不明显易辨，则求不出可能是最优点的坐标. 典 例 对 对 碰反思例题有法宝变

11、式迁移有技巧题型一二元一次不等式组表示的平面区域例 1 在ABC 中，A(3，1)，B(1,1)，C(1,3)，写出 ABC 区域所表示的二元一次不等式组分析首先写出 ABC 三边所在直线方程，然后再根据区域确定不等式组名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析解法一：如图，由两点式得AB、BC、CA 的直线方程并化简为：AB：x2y10，BC：xy20，AC：2xy50. 原点(0

12、,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为x2y10，xy20，2xy50.解法二：由AB 的方程及三角形区域在AB 上方，根据 “同号在上 ”原则，得不等式x2y10. 由 BC 的方程及三角形区域在BC 下方，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载根据 “异号在下 ”原则，得不等式 xy20. 同理得 2xy50， 从而得不等式组点评判断二元

13、一次不等式组表示的平面区域可直接利用上述“同号在上， 异号在下 ”的结论直接判断 . 变式迁移 1 画出不等式组x2y10，x2y10，1|x2|3表示的平面区域解析不等式 x2y10 表示直线 x2y10 右下方的点的集合；不等式 x2y10表示直线 x2y10 上及其右上方的点的集合；不等式 1|x2|3， 可化为 1x1或 3x5，它表示夹在两平行线x 1和 x1 之间或在两平行线x3 和 x5 之间的带状区域，但不包括直线x1 和 x3上的点所以，原不等式组表示的区域如图所名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

14、- - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载示题型二线性目标函数的最值问题例 2 已知 x， y满足3x8y150，5x3y60，2x5y100，则 zxy 的取值范围是 _解析先画出约束条件的可行域，如图所示，由3x8y150，5x3y60，得 B(3， 3)，由3x8y150，2x5y100，得 A(5,0)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共

15、37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当 z 为常数时， z 表示直线zxy在 y 轴上的截距，当点(x，y)位于 A 点时，z取最大值， zmin 50 5；当点 (x，y)位于 B 点时， z 取最小值；zmax3(3)6. 综上所述，目标函数 z的取值范围是 5,6答案5,6 点评线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先 (或最后)通过的区域内的点便是最优解特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个. 变式迁移 2 设 z2y2x4，式中 x、y 满足条件名师归纳总结 精品学

16、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载0 x1，0y2，2yx1.求 z 的最大值和最小值解 析作 出 满 足 不 等 式 组0 x1，0y2，2yx1.的可行域 (如图所示 )作直线 l：2y2xt，当 l 经过点 A(0,2)时， zmax222048；当 l 经过点 B(1,1)时，zmin212144. 题型三平面区域的面积问题例 3 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域 A(x，y)|x

17、y1， 且 x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为 () A2B1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C.12D.14解析令uxy，vxy，u1，uv0，uv0，通过画图不难得知不等式组对应的平面区域的面积S12211.故选 B. 答案B 点评求线性平面区域的面积可以先根据不等式组画出相应的平面区域，再求出相应的顶点坐标，根据图形的特点解决问题若图形是不规

18、则的多边形，一般是划分为几个三角形分别求面积再相加在划分时尽量多构造直角三角形，这样可以降低运算难度 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载变式迁移 3 求不等式 |x|y|2 表示的平面区域的面积解析|x|y|2 可化为：x0，y0，xy2.或x0，y0，xy2.或x0，y0，xy2.或x0，y0，xy2.其平面区域如图所示面积 S12448. 题型四利用可行域求非线性函数的

19、最值例4已 知x ， y满 足 条 件4x2y70，x2y20，3xy40，试求z名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x2y22x4y的取值范围解析如图所示作出约束条件所表示的平面区域 ABC，易求 A(2,2)、B(1，32)、C(32，12)，因为x2y22x4yx12 y225，又因为方程 Z(x1)2(y2)2表示的曲线为以点D(1，2)为圆心，半径为Z的圆，所以观察图，

20、知当圆过A 点时，Z取得最大值 5. 过 D 作 DEBC 于 E，易知 kDE12，从而知直线 DE 的方程为 x2y30，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载由x2y30，4x2y70，?x2，y12，即点 E 的坐标为 (2，12)，显然 E 在线段 BC 的延长线上，从而知当圆过点C 时，Z取得最小值5 22，故 zx2y22x4y的取值范围为302，2 5点评利用线性规

21、划思想去理解高中数学中的一些最值问题，实际上是对数形结合思想的提升， 利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于同学们最优化思想的形成是非常有益的. 变式迁移 4 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载已知 x， y 满足条件2xy503xy50 x2y50且 z(x1)2(y1)2在什么时候z取得最大值、最小值，最大值、最小值各

22、是多少？解析作出可行域如图解方程组2xy503xy50得 A(2,1) 解方程组3xy50 x2y50得 B(3,4) z(x1)2(y1)2的几何意义为可行域内的点 (x， y)与点 (1， 1)的距离的平方，显然当圆过A 点时半径最小， 最小值为13，圆过 B 点时半径最大，最大值为41. 题型五可行域与斜率的最值问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 5 若实数 x、y

23、 满足xy10，x0，y2，则yx的取值范围是 () A(0,2) B(0,2 C(2， ) D2， ) 解 析不 等 式 组xy10，x0，y2，表示的平面区域为如图所示的ABC 及其内部(不包括边AC)，yx表示点 (x，y)与原点O连线的斜率，当点 (x，y)在 B 处时，yx有最小值212. 当点 (x， y)由 B 在区域内向左移动时yx越来越大，故yx的取值范围是 2， )名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 37 页 - - -

24、 - - - - - - 学习必备欢迎下载答案D 变式迁移 5 已知 x、y满足x0，yx，4x3y12，则y2x1的取值范围是 _答案2,2 解 析作 出 可 行 域 如 图 所 示 ， 设 点M(x， y)在可行域内，定点 P的坐标为 (1,2)，则目标函数y2x1的值为直线PM 的斜率， 因为 PO、PA 的斜率分别为 2、2，由图可得y2x1的取值范围是 2,2题型六线性规划的实际应用例 6 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15 吨， 已知生产甲产品1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

25、- - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载吨，需煤 9 吨，电力 4 千瓦，劳力 3 个；生产乙产品 1 吨，需煤 4 吨，电力 5 千瓦，劳力 10 个；甲产品每1 吨利润 7 万元，乙产品每 1 吨利润 12 万元；但每天用煤不超过300 吨，电力不超过200 千瓦，劳力只有 300个问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？分析将已知数据列成表， 如下表所示 . 产品 /消耗量 /资源甲产品乙产品资源限额煤(t)94300 电力 (kW h)45200 劳力(个)310300 利润 (万

26、元 )712解析设每天生产甲、 乙两种产品分别为 xt、yt，利润总额为z万元，那么名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载9x4y300，4x5y200，3x10y300，x15，y15.作出以上不等式表示的可行域，如图目标函数为z7x12y. 作出在一组平行直线7x12yt中(t为参数 )经过可行域内的点且和原点距离最远的直线此直线经过直线4x5y200 和直线 3x10y300

27、 的交点 A(20,24)即生产甲、乙两种产品分别为20t,24t时，利润总额最大 zmax7201224428(万元 ). 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载变式迁移 6 某工厂家具车间生产A、 B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张A、 B 型桌子分别需要1h 和 2h，漆工油一张A、 B 型桌子分别需要3h 和 1h；又知木工、漆工每天工作分别不

28、得超过8h和 9h，而工厂造一张A、B 型桌子分别获得利润 200 元和 300 元，试问工厂每天应生产A、 B 型桌子各多少张， 才能获得最大利润？解析设每天生产A 型桌子 x 张，B 型桌子 y张，则x2y8，3xy9，x0，y0，目标函数为：z2x3y，作出可行域如图中阴影部分所示，把直线l：2x3y0 向右上方平移到l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z2x3y取最大名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 37 页

29、 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载值解方程组x2y8，3xy9，得 M 的坐标为(2,3)每天应生产A 型桌子 2 张，B 型桌子3 张才能获得最大利润. 题型七线性规划中的整数解问题例 7 某运输公司有7 辆载重量为 6 吨的A 型卡车与 4 辆载重量为 10 吨的 B 型卡车，有 9 名驾驶员，在建造某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360 吨土方的任务，已知每辆卡车每天往返的次数是：A 型卡车为 8 次而 B 型卡车为 6 次每辆卡车每天往返的成本费用情况是：A 型卡车 160 元， B型卡车 252 元，试问：A 型卡车与 B 型卡车每天各出动多少辆时公司成本费

30、用最低分析本题考查学生的数学建模能力及数形结合能力 解题时一定注意最优解是整数解解析设每天出动的A 型卡车数为 x，则 0 x7，每天出动的B 型卡车数为y，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载则 0y4，因为每天出车的驾驶员最多9 名，则 xy9，每 天 要 完 成 搬 运 任 务 ， 则48x 60y360，每天公司所花成本费用为z160 x252y. 本题即求满足不等式组0

31、 x7，0y4，xy9，48x60y360.且使 z160 x252y 取得最小值的非负整数 x 与 y的值不等式组表示的平面区域，即可行域如名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载图所示，其可行域为四边形ABCD 区域 (含边界线段 )，它的顶点是A(52，4)，B(7，25)，C(7,2)，D(5,4)结合图象可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有 P1(3,4

32、)、P2(4,3)、 P3(4,4)、 P4(5,2)、P5(5,3)、D(5,4)、P6(6,2)、P7(6,3)、P8(7,1)，C(7,2)共10 个点作直线 l：160 x252y0. 将 l 向上方作平行移动，可发现它与上述的 10 个点中最先接触到的点是P4(5,2)，所以在点 P4(5,2)处，得到的z 的值最小zmin160525221304. 答：当公司每天出动A 型卡车 5 辆， B型卡车 2 辆时，工司的成本费用最低. 变式迁移 7 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

33、 - - - - - - - - 第 25 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载已知 x，y满足x2y82xy8xN*，yN*目标函数为 z3xy，求得x4，y0 时， zmax12.但题中要求x、yN*，请调整一下最优解与目标函数的最大值解析0?N*，x4，y0 不在可行域内， 不是最优解在可行域内 z12时仅有 x4， y0，z最大取不到12，x、yN*，z3xyN*，考虑 z3xy11 时取最大，而此时可行域内有x3，y2 使 z11，最优解为 x3，y2，zmax11. 题型八线性规划与其它知识的综合例 8 设不等式组x0，y0，ynx3n，所表示的平

34、面区域为Dn，设 Dn内的整点个数为 an(nN*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点 )名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(1)求数列 an的通项公式；(2)记数列 an的前 n 项和为 Sn，且 TnSn3 2n1， 若对于一切正整数n， 总有 Tnm，求实数 m 的取值范围解析(1)由 x0， nx3ny0，得 0 x3，x1 或 x2. Dn内的整点在直线x1 或 x2

35、 上记直线 y nx3n为 l， l与直线 x1、x2 的交点的纵坐标分别为y1、y2，则 y1n3n2n，y2 2n3nn，an3n(nN*)(2)Sn 3(1 2 3 n) 3n n12，Tnn n12n，Tn1Tnn1 n22n1n n12n名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载n1 2n2n1，当 n3 时，TnTn1，且 T11T2T332，T2， T3是数列 Tn的最大

36、项，故 mT232. 点评本题把二元一次不等式组所表示的平面区域和数列综合在一起，所考查的线性规划知识很浅显，也很简单，核心部分则是考查数列的有关知识. 变式迁移 8 已知实系数一元二次方程x2(1a)xab10 的两个实根为x1，x2，且 0 x11，x21，则ba的取值范围是 () A(1，12) B(1，12 C(2，12 D(2，12) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下

37、载答案D 解析本题看似与线性规划无关，但利用二次函数讨论一元二次方程的根的取值情况后，即可得到关于a、b 的约束条件，目标函数ba即为过原点的直线的斜率记 f(x)x2(1a)xab1，依题意得f 0 ab10，f 1 2ab30，如图所示，可行域是以P(2,1)为顶点的角的内部记原点为O(0,0)，则动直线OM(M 为可行域内的点 )的斜率ba的取值范围是(2，12)，故选 D. 方 法 路 路 通规律方法勤探究高考成绩优中优1由于直线AxByC0 将平面分为两个区域，将直线AxByC0 上的点的坐标代入AxByC 计算结果为0， 直线的同一侧的点的坐标代入AxByC 计算名师归纳总结 精品

38、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载结果同号，异侧的点的坐标代入AxByC计算结果符号相反，故不等式AxByC0(或 0)表示的区域可以用坐标原点(0,0)确定 (当直线不过原点时)，或用与原点类似的点确定 (当直线经过原点时)2对于目标函数的最优解的理解，要注意直线 AxByt上的点的坐标代入目标函数 zAxBy 的计算结果均为t，故当 t取得最值也即当直线平移至极限位置时目标函数取得最优解对于

39、t 同时也要注意其几何意义3线性规划的图解法及其应用图解法的步骤：(1)求可行解 即可行域(2)作出目标函数的等值线目标函数zaxby(a、bR 且 a、b为常数 )，当 z 是一个指定的常数时，就表示一条直线，位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值z，因此称这条直线为等值线当 z 为参数时，就得到一族平行线，这一族平行线完全刻划出目标函数z的变化状态(3)作图，找出可行域， 并结合图象求出最优解，最后一定要注意检验，考虑最优解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

40、- - 第 30 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载是否符合实际意义4注意在作平面区域时，axbyc0 和 axbyc0，分别为虚线和实线5线性规划也常和截距、斜率、距离等联系求最值 . 正 误 题 题 辨学海暗礁常提醒逐波踏浪舟更轻例设二元一次不等式组x2y190 xy802xy140所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的 a 的取值范围是 () A1,3 B2，10 C2,9 D 10，9 错解作出平面区域M 如图中阴影部分所示求得 A(2,10)，C(3,8)，B(1,9)由图可知，欲满足条件必有a1 且图名师归纳总结 精品学

41、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 31 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载象在过 A、C 两点的图象之间当图象过 A 时，a210， a10，当图象过 C 时，a38， a2，故 a 的取值范围为 2，10故选 B. 点击结合指数函数的图象知，图象应在过 B、C 两点的图象之间，为避免错误，也可把图象过A、B、C 时的 a 值求出，再作比较得出a 的范围正解作出平面区域M 同错解求得A(2,10)，C(3,8)，B(1,9)由图可知，欲

42、满足条件必有a1 且图象在过 B、C 两点的图象之间当图象过 B 时，a19，a9. 当图象过 C 时，a38，a2. 故 a 的取值范围为 2,9故选 C. 答案C 知 能 层 层 练针对考点勤钻研金榜题名不畏难名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1不等式组x0 x3y43xy4所表示的平面区域的面积等于 () A.32B.23C.43D.34答案C 解析不等式组所表示的平面区

43、域是一个三角形， 三个顶点的坐标分别是(0，43)，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S12(443)143. 2 (2010 福 建 卷 ) 若x ， yR ， 且x1，x2y30，yx，则 zx2y 的最小值等于() A2 B3 C5 D9 答案B 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解析可行域如图中阴影部分所示，则当直线 x2yz0 经过点 M(1,1)时， zx2y

44、 取得最小值，为123. 3若实数 x、y满足xy10，x0，则yx的取值范围是 () A(0,1) B(0,1 C(1， ) D1， ) 答案C 解析在平面内作出x，y 满足的可行域，如图所示中的阴影部分，设P(x，y)为可行域内任一点， 则直线 PO 的斜率 kPOyx，由数形结合得， kPO1，故yx的取值范围是(1， )，选 C. 4 已 知x ， y满 足 约 束 条 件名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 37 页 - - - -

45、 - - - - - 学习必备欢迎下载y22xy50，xy40则 z|xy1|的最小值是_答案52解析由条件画图如图所示，z|xy1|可化为22z|xy1|2，要求 z 的最小值只需求22z 的最小值即可，而目标函数22z 的几何意义是区域里面的点到直线xy10 的距离，易知取点(32，2)时， z有最小值52. 5制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100% 和 50% ，可能的最大亏损率分别为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理

46、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 35 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载30% 和 10%. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解析设投资人分别用x、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知xy10，0.3x0.1y1.8，x0，y0，目标函数 zx0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示中阴影部分 (含边界 )作直线l0：x0.5y0，并作平行于直线 l0的一组直线x0.5yz，zR，与可行域相交，其中有

47、一条直线经过可行域上的M点，且与直线 x0.5y0 的距离最大， 这里M 点是直线xy10 与直线0.3x0.1y1.8 的交点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 36 页，共 37 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解方程组xy10，0.3x0.1y1.8，得 x4，y6. 此时 z140.567(万元 )70，当 x4，y6 时，z取得最大值答：当对甲、乙两个项目分别投资4 万元、 6 万元时，可使盈利最大名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 37 页，共 37 页 - - - - - - - - -