2022年三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析 .pdf

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1、三角恒等变换【考纲说明】1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2、 能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明. 3、 本部分在高考中约占5-10 分 . 【趣味链接】1、 cos( )有的时候蛮无聊的，把人家好好的和 硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin( )也会做差不多的事，但他比较懒,不变号 . 2、 tan 很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot 陪陪他 .【知识梳理】1、两角和与差的三角函数sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(；tantantan()1tantan。

2、2、二倍角公式cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；22tantan21tan。3、半角公式2cos12sin2c o s12c o scos1cos12tan（sincos1cos1sin2tan）4、三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2. 2cos1sin222cos1cos22（

3、2）辅助角公式22sincossinaxbxabx，2222sincosbaabab其中，. 积化和差公式：)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscoscos)cos(21sinsin名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 和差化积公式：2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2s

4、in2coscos5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。6、三角恒等式的证明（1）三角恒等式的证明思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”

5、 ；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。【经典例题】【例 1】 求证2222tantan1cossin)sin()sin(【解析】左边22cossin)sincoscos)(sinsincoscossin222222cossinsincoscossin222222tantan1cossinsincos1右边原式成立 .【例 2】 已知： sin sin(2 ) ，求证： tan( ) mm11tan .【解析】由sin m sin(2 ) sin( ) m sin( ) sin( )cos cos( )sin msin()

6、cos cos( )sin (1m) sin( )cos (1m) cos( )sin tan( ) mm11tan 【例 3】求 tan70 tan50 3tan50 tan70 的值 .【解析】原式tan(70 50)(1 tan70 tan50 ) 3tan50 tan70 3(1tan70 tan50 ) 3tan50 tan70 33tan70 tan50 3tan50 tan70 3原式的值为3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共

7、11 页 - - - - - - - - - 【例 4】若 A、B、 C是 ABC的内角， cosB12, sinC35, 求 cosA 的值 . 【解析】 cosB 12, sinB 32, 又 sinC 35, cosC 45, 若 cosC45, 则角 C是钝角 , 角 B为锐角 , C为锐角 , 而 sin( C)35, sinB 32, 于是 sin(C) C, B C, 矛盾 , cosC 45, cosC 45, CBA故： cos A cos(B C) (cos B cos Csin B sin C)3 3410. 【例 5】已知434，04，且cossin435541213，

8、求cos. 【解析】由已知434，得344，420又cossin435445，； 由04，得442，又 sinsin544sin412131354cos13124sin，由44，得coscos445312433coscossinsin444413 513565. 【例 6】 化简：12222sincossincoscos，其中2. 【解析】原式22222224222cossincossincoscos名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11

9、页 - - - - - - - - - 222coscossinsincoscossincoscoscos2222222222 coscoscos222，22220cos原式coscoscoscos22【例 7】求证：121122sincoscossintantanxxxxxx【解析】右边11sincossincoscossincossinxxxxxxxx22222cossincossin2sincoscossincossincossinxxxxxxxxxxxx2212sincoscossinxxxx左边原命题成立【例 8】平面直角坐标系内有点PxQxx1144，coscos. （1）求向量O

10、P与OQ的夹角 的余弦；（2）求cos的最值。【解析】（ 1）OPOQxOP OQx，212cos|coscos|coscosOPOQOPO Qxx212（2）cos( )coscoscoscosfxxxxx21212，xx44221cos又213 22coscosxx2 231f x( )，即2 231cos，coscosmi nmax2231. 【课堂练习】1、 （2007 全国） 是第四象限角，cos1312，则 sin =（）A.135 B. - 135 C. 125 D.- 1252、 （2009 北京）对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（） A.sin(+)sin +sin B.

11、sin(+)cos +cos C.cos(+)sin sin D.cos(+)cos cos名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3、 （2008 北京）若角满足条件sin20，cossin0，则在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4、 （2009 福建）已知(2,) ，sin=53, 则 tan(4) 等于（）A.71 B.7 C.71 D.7 5、(2008 海南理 )

12、0203sin702cos 10=（） A. 12 B. 22 C. 2 D. 326、 （2010 重庆）)12sin12)(cos12sin12(cos（）A23 B21 C21 D237、(2008 安徽 ) 若 f(sinx)2cos2x，则 f(cosx)（）A.2 sin2x B.2 sin2x C.2cos2x D.2cos2x 8、 （2010 北京）在平面直角坐标系中，已知两点)20sin,20(cos),80sin,80(cosBA，则 |AB| 的值是（）A21 B22 C23 D1 9、 （2009 辽宁）已知等腰ABC的腰为底的2 倍，则顶角A的正切值是（）32315

13、815710、(2007 海南 ) 若cos222sin4，则cossin的值为（）7212127211、 （2009 湖北） tan2010 的值为 . 12、 （2008 北京文）若角的终边经过点P(1,-2),则 tan 2 的值为. 13、 （2010 重庆）已知,均为锐角，且tan),sin()cos(则 . 14、 （2007 浙江理）已知1sincos5，且324，则cos2的值是 _ 15、 （2010 北京）已知tan2=2，求： （ I ）tan()4的值；（II ）6sincos3sin2cos的值16、 （2012 全国）已知 为第二象限角，且 sin =,415求12

14、cos2sin)4sin(的值 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 17、 （2011 福建）已知51cossin,02xxx. （）求xxcossin的值；（）求xxxtan1sin22sin2的值 . 18、 （2010 全国）已知232,534cos求42cos的值 . 19、(2008 四川 ) 求函数2474sincos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值. 20、 （2009

15、 四川）已知0,1413)cos(,71cos且2, ( )求2tan的值 .（）求. 【课后作业】1、sincossincos15151515oooo的值为（）A. 33B. 264C. 264D. 32、1232cossin可化为（）A. sin6B. sin3 C. sin6D. sin33、若、，02，且tantan4317，则的值是（）A. 3B. 4C. 6D. 84、函数yxxx82sincoscos的周期为T，最大值为A，则（）A. TA，4 B. TA24， C. TA，2D. TA22，5、已知111cossin，则sin2的值为（）A. 21B. 12C. 2 22D.

16、22 26、已知tan13，则cossin2122（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - A. 65B. 45C. 45D. 657、设fxx(tan)tan2，则f()2（）A. 4 B. 45C. 23D. 438、2242sincos的值是（）A. sin2 B. cos2 C. 32cos D. 32cos9、在 ABC中，若2cossinsinBAC，则 ABC的形状一定是（）A. 等腰

17、三角形B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形10、要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 正弦值为13的锐角11、已知向量OB20，向量OC22，向量CA22cossin，则向量OA与OB的夹角范围为（）A. 04，B. 4512， C. 5122，D. 12512，12、已知：3250coscos，则tantan的值为（）A. 4B. 4 C. 4D. 1 13、已知sincos13，则cos4_. 14、函数yxxx2212sincossin的最小正周期为_. 15、已知6，且、满足关系式3230tantantanta

18、na，则tan_. 16、已知f xxx( )11。若2，则ff(cos)(cos)可化简为 _. 17、求值：tancos(tan)70103201ooo18、已知函数fxxxx()sinsincos2312（1）求函数f x( )的最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x 的集合；（3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性. 19、若已知cos435171274xx，求sinsintan2212xxx的值 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

19、- - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 20、已知 、为锐角，且3213222022sinsinsinsin，. 求证：22【参考答案】【课堂练习】1、B 2、D 3 、 B 4 、A 5 、C 6 、D 7 、D 8 、D 9 、D 10 、C11、33 12 、43 13 、1 14、72515、解： （ I）因为tan2,2所以3441222tan122tantan2，所以（ I ）tantantan14tan()41tan1tantan44113.4713（II ）6sincos3sin2cos=6723431)34(-623t

20、an16tan16、解：2cos2cossin2)cos(sin2212cos2sin)4sin(.)cos(sincos4)cos(sin2当为第二象限角，且415sin时41cos，0cossin，所以12cos2sin)4sin(=.2cos4217、解： ( ) 由1sincos5xx, 得221(sincos )( )5xx, 得 2sinxcosx=2425, (sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx=4925, 又0,2x sinx0, sinx cosx= 75( ) 1752457512524)cos(sin)cos(sincossin2cossin1sin2cos

21、sin2tan1sin22sin22xxxxxxxxxxxxxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 18、解：).2sin2(cos224sin2sin4cos2cos)42cos(252453)54(2)4cos()4sin(2)22sin(2cos.54)53(1)4(cos1)4sin(,47423,0)4cos(,4744322从而由此知50231)2572524(22)42cos(.25

22、7)53(21)4(cos21)22cos(2sin2219、解：2474sincos4cos4cosyxxxx2272sin 24cos1cosxxx2272sin 24cossinxxx272sin 2sin 2xx21 sin 26x由于函数216zu在11 ，中的最大值为2max1 1610z；最小值为2min1 166z故当sin 21x时y取得最大值10，当sin 21x时y取得最小值620、解： （）由1cos,072，得2214 3sin1cos177sin4 37tan4 3cos71，于是222tan24 38 3tan 21tan4714 3（）由 02，得02又13co

23、s14，22133 3sin1cos11414由得：coscoscoscossinsin1134 33 317147142；所以3.【课后作业】 1 、D 2 、A 3、 B 4 、D 5 、C 6 、D 7 、D 8 、C 9 、A 10 、B 11 、D 12 、C 13 、4781 14 、 15、3 1a16、2sin名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 17 、解：原式sincoscoss

24、incos707010320201ooooosin 703 cos10cos10cos70oooocos10 cos203sin 20cos203cos102sin10cos102sin10sin 2030sin20 cos30cos20sin301sin10sin10ooooooooooooooo 18 、解：fxxx()cossin1223221231sin2cos21sin 21226xxx（1）T222（2）当2622xkkZ即xx xkkZ|3，时，f x( )max2当2622xkkZ；即xx xkkZ|6，时，f x( )min0（3）当222622kxkkZ；即kxkkZ63时

25、，f x( )单调递增。当2226232kxkkZ；即kxkkZ356时，f x( )单调递减。故f x( )的单调递增区间为kkkZ63，；单调递减区间为kkkZ356， 19 、，cos435171274x3542x，则sin445x从而coscosxx44coscossinsin4444xx32422525210，sincostanxxx1721072故原式2212sincossintanxxxx27 227 222101010281775 20 、由已知32122sinsin3sin 22sin 202233sin12sincos 2sin 2sin 23sincos22cos2coscos2sinsin 2cos3sinsin3sincos0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 、为锐角，023222名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -