2022年不等式证明导学案 .pdf

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1、名师精编优秀教案2.2.1综合法和分析法一、自主学习，明确目标1、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，其思维方式也是解决数学问题时常用的思维方式。2、综合法和分析法的思考过程及其特点区别较大，能根据问题的特点选择适当的证明方法。3、综合法、分析法证明数学问题的步骤要准确记忆。二、研讨互动，问题生成1、综合法是（）A执果索因的逆推法B执因导果的顺推法C因果分别互推的两头凑法D原命题的证明方法2、分析法是（）A执果索因的逆推法B执因导果的顺推法C因果分别互推的两头凑法D原命题的证明方法3、已知 a，b，c 满足 cba，且 acac Bc(b-a)0 Ccb20 4、欲证7632成立，

2、只需证（）A22)76(32）（B22)73(62）（C22)63(72）（D22)7(632）（5、已知 a，b 都是正数，且a+b=1，求证：2ba6、用分析法证明：若a0，b0，ab，则abba2三、合作探究，问题解决例 1：已知 a，b，cR+且 a+b+c=1 求证： （1）8)11)(11)(11(cba（ 2）31222cba例 2：设 a，b，c 为不全相等的正数，且abc=1 求证： ab+bc+cacba例 3：已知 a0，求证：212122aaaa名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -

3、- - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案例 4：已知1tan2tan1xx，求证：3Sin2x=-4cos2x 例 5：设)0()(2acbxaxxf，若函数 f(x+1) 与 f(x) 的图像关于y 轴对称， 求证：)21(xf为偶函数。四、经典示例，巩固提高例：已知 |a| 1，|b|1，求证：1)1)(1 (22baab证明：证法一12)1()1(2)1)(1(222222bababaab证法二：由 |a|1， |b|1。知 |ab|1 要证：1)1)(1(22baab只需证：abba1)1)(1 (22

4、即（ 1-a2）(1-b2) 1(1-ab)2也就是： a2+b22ab a2+b22ab 成立1)1)(1 (22baab证法三：设a=cos，b=cos0, )1)(1 (22baab=22sincoscosSin=22coscosSinSin=1)cos(五、要点归纳，反思总结1、 综合法就是从 “已知” 看“可知”，逐步推向 “未知”，其特点可概述为。2、运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性。3、分析法是从结论入手，寻找命题成立的条件，直至找到把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，其特点可概述为。4、应用分析法证明问题的模式。

5、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案2.2.2 反证法一、自主学习，明确目标1、反证法是间接证明的一种基本方法。2、反正法属逻辑方法范畴，它的原理即“否定之否定等于肯定”，利用反证法证明时，能正确写出对结论的否定假设。3、利用反证法的一般步骤证明数学问题。二、研讨互动，问题生成1、用反证法证明“如果ab，那么33ba”假设的内容应是（）A33baB33baC33ba且33baD33b

6、a或33ba2、否定“自然数a， b，c 中恰有一个偶数”时的正确假设为（）Aa， b，c 都是奇数Ba，b， c 或都是奇数或至少有两个偶数Ca， b，c 都是偶数Da，b， c 中至少有两个偶数3、异面直线在同一平面内的射影不可能是（）A两条平行直线B两条相交直线C一点与一直线D同一条直线4、设 a，b 是两个实数，给出下列条件：a+b1； a+b=2； a+b2； a2+b22； ab1。其中能推出： “a，b 中至少有一个大于1”的条件是（）ABCD5、 “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是。6、完成反证法证题的全过程：题目：设a1，a2，a3， a7是 1，2，3， 7 的

7、一个排列。求证：乘积P=（a1-1）(a2-2)(a3-3)（ a7-7）为偶数。证明：假设P为奇数，则均为奇数。奇数个奇数相加和为奇数，故有奇数= = =0，但“奇数偶数” ，从而产生矛盾。P 为偶数。三、合作探究，问题解决1、设na是公比为q 的等比数列， Sn是它的前n 项和。（1）求证：数列ns不是等比数列；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案（2）数列ns是等差数列吗？为什

8、么？2、已知 a，b，c 是一组勾股数，求证：a， b，c 不可能都是奇数。3、已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围。4、求证：两条相交直线有且只有一个交点。四、经典示例，巩固提高已知函数)1(12)(axxaxfx。（1）证明：函数)(xf在), 1(上为增函数；（2）用反证法证明方程0)(xf没有负实根。五、要点归纳，反思总结1、使用反证法证明数学问题时应注意的问题。（1）使用反证法必须先否定结论。（2）反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结

9、论的反面出反进行论证，就不是反证法。（3）用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出结论。2、反证法的一般步骤：3、反证法的适用题型：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案2.2.3数学归纳法一、自主学习，明确目标1、通过具体实例了解数学归纳法的原理。2、应用数学归纳法证明步骤要明确。3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。二、研讨互动，问题生成1、用数学归纳法证明明1+a+a

10、2+ +an+1=)1,(112aNnaan，在验证 n=1 成立时，左边所得的项为（）A1 B1+a+a2C 1+a D1+a+a2+a32、用数学归纳法证明（n+1）(n+2)（ n+n）=2n13（2n-1）时，由k增加到 k+1 时，可两边同乘一个代数式，它是（）A2k+2 B(2k+1)(2k+2) C122kkD 2(2k+1) 3、用数学归纳法证明)(11)1(14313 21211*Nnnnn，从“ n=k 到n=k+1 ”时，等式左边需要增添的项是（）A)1(1kkB)2)(1(1)1(1kkkkC)2(1kkD)2)(1(1kk4、等式 12+22+32+ +n2=)475

11、(212nn( ) An 为任何正整数都成立B仅当 n=1，2，3 时成立C当 n=4 时成立， n=5 时不成立D仅当 n=4 时不成立5、用数学归纳法证明等式1+2+3+ +（n+3）=)(2)4)(3(*Nnnn，当 n=1时，左边应为。6、 用数学归纳法证明某个命题时，左边为 1 2 3 4+2 3 4 5+ +n(n+1)(n+2)(n+3) ，从 n=k 到 n=k+1 左边需增加的代数式为。三、合作探究，问题解决1、用数学归纳法证明)1(4)22(21861641421nnnn。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精

12、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案2、求证：),2(65312111*Nnnnnn。3、用数学归纳法证明： （3n+1） 7n-1 能被 9 整除。四、经典示例，巩固提高是否存在常数a，b， c 使等式 1 （n2-12）+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c 对一切正整数 n 成立？证明你的结论。五、要点归纳，反思总结1、数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题，证明时注意：（1）两个步骤缺一不可，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。（2）归纳法的关键是

13、第二步：怎样由 n=k 时成立推证n=k+1 时成立， 其中要特别注意由 n=k 到 n=k+1 时等式两边的变化和如何使用假设。2、证明代数恒等式的关键：第二步将式子转化成归纳假设的结构相同的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式凑结论。证明三角恒等式时，需运用有关的三角知识，要掌握常用的三角变换方法。3、证明有关整除命题时，为了利用归纳假设，常常会通过对通项进行拆项、添项、分解、组合的方法把n=k+1 时的式子用n=k 时的式子表示出来，其关键是配凑，而配凑的方法很多，一般做法是先将n=k+1 代入原式，然后将原式作适当的恒等变形（或先将n=k+1 代入原式， 再

14、将所得的式子加上一个适当的项，然后减去同样的项；或先将 n=k+1代入原式，再将所得的式子中的某一项化成n 项的代数和） 。4、有些命题可能仅仅当n 是偶数（或奇数）时成立（如在证明数或式的整除性问题时可能遇到） ，处理的方法往往是将其化为n 取全体自然数 （一般是指N*） 的情形， 例如：用数学归纳法证明“xn+yn（n 是正奇数）能被x+y 整除” ，证明时就可把它转化为证明“1212nnyx(n*N)能被 x+y 整除”或对 n 取 2k-1 时成立， 推证 n 为 2k+1 时成立。5、利用数学归纳法证明几何问题，应特别注意语言叙述正确，清楚，一定要讲清从n=k 到 n=k+1 时，新增加的量多少，一般地，证明第二步时常用的方法是加一法，即在原来 k 的基础上，再增加一个，也可以从k+1 个中分出一个来，剩下的k 个利用假设。6、猜想、归纳能培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，归纳性问题需要从特殊情况下手，通过观察、分析、归纳、猜想、探索一般规律，关键在于正确地归纳、猜想。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -