2022年《数学分析》第六章微分中值定理及其应用 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载第六章微分中值定理及其应用（计划课时： 8 时 ） 1 中值定理（ 3 时 ）一思路 : 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发：00)()(lim0 xxxfxfxx=)(0 xf.若 能 去 掉 导 数 定 义 中 的 极 限 符 号 ,即00)()(xxxfxf?)(0 xf,则目的就可达到 .这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线 . (1)若给定的割线

2、是水平的、 斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出， 则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、 Lagrange定理、Cauchy 定理 . 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线 . (2)若给定切线 , 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现. 二 微分中值定理 : 1. Rolle 中值定理 :叙述为 Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性. 2.Lagrange中值定理 : 叙述为 Th2. ( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数, 证明定理 . Lagrange 中值定

3、理的各种形式. 关于中值点的位置 . 系 1 函数)(xf在区间 I 上可导且)(,0)(xfxf为 I 上的常值函数. (证) 系2 函 数)(xf和)(xg在区间I上 可 导且,)()(),()(cxgxfxgxf. Ix系 3 设函数)(xf在点0 x的某右邻域)(0 x上连续 ,在)(0 x内可导 .若)0()(lim00 xfxfxx存 在, 则右导数)(0 xf也 存 在, 且 有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 -

4、- - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载).0()(00 xfxf(证) 但是, )0(0 xf不存在时 , 却未必有)(0 xf不存在 . 例如对函数.0, 0,0,1sin)(2xxxxxf虽 然)00(f不 存在 ,但)(xf却 在 点0 x可 导 (可 用 定 义 求 得0)0(f). Th3 (导数极限定理 ) 设函数)(xf在点0 x的某邻域)(0 x内连续 , 在)(0 x内 可 导 . 若 极 限)(lim0 xfxx存 在 , 则)(0 xf也 存 在 , 且).(lim)(00 xfxfxx( 证 ) 由该定理可见 , 若函数)(xf在区间 I 上可导 ,则区间

5、 I 上的每一点 ,要么是导函数)(xf的连续点 ,要么是)(xf的第二类间断点.这就是说 ,当函数)(xf在区间I 上点点可导时 , 导函数)(xf在区间 I 上不可能有第二类间断点.3. Cauchy 中值定理 :Th 4 设函数f和g在闭区间,ba上连续 , 在开区间),(ba内可导 , f和g在),(ba内不同时为零 , 又).()(bgag则在),(ba内至少存在一点,使得)()()()()()(agbgafbfgf. 证分析引出辅助函数)()(xfxF)()()()(agbgafbf)(xg. 验证)(xF在,ba上满足 Rolle 定理的条件 , ),(ba)()(fF)()()

6、()(agbgafbf.0)(g必有0)(g, 因为否则就有0)(f.这与条件 “f和g在),(ba内不同时为零”矛盾. Cauchy 中值定理的几何意义. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载Ex 1P163 14；三 中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 )1. 证明 中值点的存在性 :例 1设函数f在区间,ba上连续 , 在),(ba内可导 , 则),(ba, 使得)()

7、(afbf)(lnfab. 证在 Cauchy 中值定理中取xxgln)(. 例2 设 函 数f在 区 间,ba上 连 续 , 在),(ba内 可 导 , 且 有0)()(bfaf.试证明 : 0)()(),(ffba. 2. 证明恒等式 : 原理 .例 3证明: 对Rx, 有2arcctgxarctgx. 例4 设 函 数f和g可 导 且,0)(xf又. 0gfgf则)()(xcfxg.(证明0)(fg. ) 例 5 设对R,hx,有2|)()(|Mhxfhxf,其中M是正常数 .则函数)(xf是常值函数 . (证明0f). 3. 证明不等式 : 原理 . 例 6 证明不等式 : 0h时,

8、harctghhh21. 例 7 证明不等式 : 对n，有nnn1)11ln(11. 4. 证明方程根的存在性:例 8 证明方程0cossinxxx在),0(内有实根 . 例 9 证明方程cbacxbxax23423在)1,0(内有实根 . 四 单调函数（结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5 设函数)(xf在区间),(ba内可导 . 则在),(ba内)(xf(或 ) 在),(ba内0)(xf( 或0). 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第

9、 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载例 10 设13)(3xxxf.试讨论函数)(xf的单调区间 . 解:确定定义域 . 函数)(xf的定义域为),(. 求导数并分解因式.)1)(1(333)(2xxxxf确定导数为0 的点和不存在的点 .令0)(xf,得1, 1 xx将导数为 0 的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单调性.列表x)1,(1(-1,1) 1), 1()(xf00 )(xf2 可导函数严格单调的充要条件Th6 设函数)(xf在区间),(ba内可导 . 则在),(ba内)(xf ( 或) 对),(bax有0)(

10、xf( 或)0; 在),(ba内任子区间上.0)(xf3 可导函数严格单调的充分条件推论 见 P124 例 11 证明不等式.0,1xxexEx 1P124125 17. 2 不定式的极限( 2 时 )一. 00型: Th 1 (LHospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧 . 例 1 .coscos1lim2xxtgxx例 2)1l n ()21(l i m2210 xxexx. 例 3xxex1l i m0. ( 作代换xt或利用等价无穷小代换直接计算 . ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -

11、 - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载例 4xxxxs i n1s i nlim20. ( LHospital 法则失效的例) 二型: Th 2 (LHospital 法则 ) ( 证略 ) 例 5)0(,lnlimxxx. 例 63limxexx. 注: 关于xxexln,当x时的阶 . 例 7 xxxxsinlim. ( LHospital 法则失效的例) 三.其他待定型 :,0,1,000. 前四个是幂指型的. 例 8.lnlim0 xxx例 9)(seclim2tgxxx. 例 10 xxx0

12、lim.例 11xxx11lim0.例 12210coslimxxx.例 13nnn211lim. 例 14 设. 0, 0,0,)()(xxxxgxf且.3)0(,0)0()0(ggg求).0(f解200)(lim0)(lim)0()(lim)0(xxgxxxgxfxffxxx23)0(21)0()(lim212)(lim0000gxgxgxxgxx. Ex 1P132133 15. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - -

13、 - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载3 Taylor公式 ( 3 时 )一. 问题和任务 : 用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数 , 希望找一个多项式逼近到要求的精度. 二. Taylor ( 1685 1731 ) 多项式 : 分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 (Taylor 多项式)(xPn及 Maclaurin 多项式 ) 例 1 求函数24)(23xxxf在点20 x的 Taylor 多项式 . 三. Taylor公式和误差估计 : 称)()()(xPxfxRnn为余项 . 称给出)(xRn的定量或定性描述的式)()()(xRxPxfnn为函数)(xf

14、的 Taylor 公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质) Taylor 中值定理: Th 1 设函数f满足条件 : 在闭区间,ba上f有直到n阶连续导数 ; 在开区间),(ba内f有1n阶导数 . 则对),(),(babax使nnaxnafaxafaxafafxf)(!)()(! 2)()()()()(21)1()()!1()(nnaxnfnkkkaxkaf0)()(!)(1)1()()!1()(nnaxnf. 证 1P138139. 称这种形式的余项)(xRn为 Lagrange 型余项 . 并称带有这种形式余项的 Taylor公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式.L

15、agrange 型余项还可写为,)()!1()()(1)1(nnnaxnaxafxR)1,0(. 0a时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载写为,)()!1(1)(1)1(nnnxxfnxR10. 2. 误差的定性描述 ( 局部性质 ) Peano 型余项 : Th 2 若函数f在点a的某邻域)(a内具有1

16、n阶导数 , 且)()(afn存在, 则nnaxnafaxafaxafafxf)(!)()(! 2)()()()()(2nax)(, )(ax. 证设)()()(xPxfxRnn, naxxG)()(. 应用LHospital 法则1n次,并注意到)()(afn存在, 就有)()(lim)()(lim)1()1(00 xGxRxGxRnnnaxnax)(2)1()()()(lim)()1()1(axnnaxafafxfnnnax= 0)()()(lim!1)()1()1(afaxafxfnnnnax. 称nnaxxR)()(为 Taylor公式的Peano 型余项 ,相应的Maclaurin

17、公式的 Peano型余项为)()(nnxxR. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano 型余项的Taylor公式( 或Maclaurin 公式 ). 四. 函数的 Taylor公式( 或 Maclaurin公式 ) 展开 : 1. 直接展开 : 例 2 求xexf)(的 Maclaurin 公式. 解)10(,)!1(! 2! 1112nxnxxnenxxxe. 例 3 求xxfsin)(的 Maclaurin 公式 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

18、 - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解)()!12()1(! 5! 3sin212153xRmxxxxxmmm, 10,)21(sin)!12()(122mxmxxRmm. 例 4求函数)1ln()(xxf的具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 . 解)!1()1()0(,)1()!1()1()(1)(1)(nfxnxfnnnnn. )()1(32)1ln(132nnnxnxxxxx. 例5 把 函 数t gxxf)(展 开 成 含5x项 的 具Peano 型 余 项 的Maclaurin 公式. 2. 间接展开 : 利用

19、已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式 . 例 6 把函数2sin)(xxf展开成含14x项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解)(! 7! 5! 3sin7753xxxxxx, )(!7! 5! 3sin141410622xxxxxx. 例 7 把函数xxf2cos)(展开成含6x项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解)(! 6! 4! 21c o s6642xxxxx, ),(!62! 34212cos66642xxxxx注意 , 0),()(kxkx)(!62! 321)2cos1 (21cos665422xxxxxx. 例 8 先

20、把函数xxf11)(展开成具 Peano型余项的 Maclaurin 公式.利用得到的展开式, 把函数xxg531)(在点20 x展开成具Peano型余项的 Taylor 公式 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解,)1 (!) 1(1)(nnnxnf!)1()0()(nfnn. );() 1(1)(32nnnxxxxxxf13)2(511131)2(5131531)(x

21、xxxg=nnnxxx)2()135()1()2()135()2(135113122+.)2(nx例 9 把函数shx展开成具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 ，并与xsin的相应展开式进行比较. 解),(! 2! 112nnxxnxxxe)(!)1(! 2! 112nnnxxnxxxe; )()!12(! 5! 32121253mmxxxmxxxxeeshx. 而)()!12()1(! 5! 3sin1212153mmmxmxxxxx. 五. Taylor公式应用举例 : 1. 证明e是无理数 : 例 10 证明e是无理数 . 证把xe展开成具 Lagrange 型余项的 Ma

22、claurin 公式, 有10,)!1(!1! 31! 2111nene. 反设e是有理数 , 即pqpe(和q为整数 ), 就有en!整数 + 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1ne. 对qpnenqn!,也是整数 . 于是 , qpnne!1整数 = 整数整数 = 整数.但由,30, 10ee因而当3n时，1ne不可能是整数 . 矛盾. 2. 计算函数的近似值 : 例

23、11求e精确到000001. 0的近似值 . 解10,)!1(!1! 31!2111nene. 注 意 到,30, 10ee有)!1(3)1(nRn. 为 使0 0 0 0 0 1.0)!1(3n, 只要取9n. 现取9n, 即得数e的精确到000001. 0的近似值为718281.2! 91! 31!2111e. 3. 利用 Taylor公式求极限 :原理: 例 12 求极限)0(,2lim20axaaxxx. 解)(ln2ln1222lnxaxaxeaaxx, )(ln2ln1222xaxaxax; ).(ln2222xaxaaxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

24、 - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载axxaxxaaxxxx22222020ln)(lnlim2lim. 4 证明不等式：原理. 例 13 证明: 0 x时, 有不等式xex1. Ex 1P141 13.4 函数的极值与最大（小）值（ 4 时 ）一 可微函数极值点判别法: 极值问题 :极值点 ,极大值还是极小值, 极值是多少 .1. 可微极值点的必要条件:Th1Fermat定理(取极值的必要条件 ). 函数的驻点和 (连续但 )不可

25、导点统称为可疑点, 可疑点的求法. 2.极值点的充分条件: 对每个可疑点 , 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）Th 2 (充分条件 ) 设函数)(xf在点0 x连续, 在邻域),(00 xx和),(00 xx内可导 . 则 在),(00 xx内,0)(xf在),(00 xx内0)(xf时, 0 x为)(xf的一个极小值点 ; 在),(00 xx内,0)(xf在),(00 xx内0)(xf时,0 x为)(xf的一个极大值点 ; 若)(xf在上述两个区间内同号, 则0 x不是极值点 . 或列表为x),(00 xx0 x),(00 xx)(xf0不存在)(xf极小值

26、点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载x),(00 xx0 x),(00 xx)(xf0不存在)(xf极大值点x),(00 xx0 x),(00 xx)(xf0不存在)(xf非极值点x),(00 xx0 x),(00 xx)(xf0不存在)(xf非极值点Th 3 (充分条件 “雨水法则” ) 设点0 x为函数)(xf的驻点且)(0 xf存在 . 则当0)(0 xf时, 0 x

27、为)(xf的一个极大值点 ; 当0)(0 xf时, 0 x为)(xf的一个极小值点 . 证法一.)(lim)()(lim)(000000 xxxfxxxfxfxfxxxx当0)(0 xf时, 在点0 x的某空心邻域内0)(xxxf)(,0 xf与0 xx异号, 证法二用 Taylor公式展开到二阶 , 带 Peano型余项 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载Th 4 (

28、 充 分 条 件 ) 设0)()()(0)1(00 xfxfxfn, 而0)(0)(xfn.则n为奇数时 , 0 x不是极值点 ; n为 偶 数 时 , 0 x是 极 值 点 . 且0)(0)(xfn对 应 极 小 ; 0)(0)(xfn对应极大 . 例1 求函数32)52()(xxxf的极值 . 例2 求函数xxxf432)(2的极值 . 例3 求函数34)1()(xxxf的极值 . 注 Th 2、 Th 3、 Th 4 只是极值点判别的充分条件.如函数. 0, 0,0,)(21xxexfx它在0 x处取极小值 ,但因,2, 1,0)0()(kfk.所以无法用 Th 4 对它作出判别 . 二

29、函数的最大值与最小值: 设函数)(xf在闭区间,ba上连续且仅有有限个可疑点nxxx,21. 则)(max,xfbax=max)(,),(),(),(),(21nxfxfxfbfaf; min)(min,xfbax)(,),(),(),(),(21nxfxfxfbfaf. 函数最值的几个特例: 单调函数的最值 : 如果函数)(xf在区间,ba上可导且仅有一个驻点, 则当0 x为极大值点时, 0 x亦为最大值点; 当0 x为极小值点时, 0 x亦为最小值点 . 若函数)(xf在R内可导且仅有一个极大( 或小 ) 值点 , 则该点亦为最大 ( 或小) 值点. 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原

30、则确定最大( 或小 ) 值点. 例 4 求函数xxxxf1292)(23在闭区间25,41上的最大值与最小值. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载最值应用问题 : 例 5 A、B两村距输电线 ( 直线 )分别为km1和km5 . 1（如图），CD长.3km. 现两村合用一台变压器供电 . 问变压器设在何处, 输电线总长BEAE最小 .解设x如图，并设输电线总长为)(xL.

31、则有. 30,5. 1)3(1)(222xxxEBAExL015.1)3(1)3(5.1)3()(222222令xxxxxxxL, 1)3(5. 1)3(222xxxx, .09625.12xx解得2.1x和6x ( 舍去 ). 答： 三 利用导数证明不等式: 我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法 . 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种( 参阅 3P112142 ). 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理. 1. 利用单调性证明不等式: 原理: 若f, 则对, 有不等式)()(ff. 例 5 证明: 对任意实数a和b, 成立不等式.1|1

32、|1bbaababa证取,0)1(1)().0(,1)(2xxfxxxxf在),0内)(xf. 于是, 由|baba, 就有) | () | (bafbaf, 即|1|1|1|1|1|1|bbaababbaababababa. 2. 不等式原理 :设函数)(xf在区间),a上连续 , 在C E D 1km 1.5km xA B 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载区间),(

33、a内可导 , 且0)(xf; 又.0)(af则ax时, .0)(xf (不等式原理的其他形式 .) 例 6 证明: 21x时, 1)1ln(2arctgxx. 例 7 证明: 0 x时, ! 3sin3xxx.3. 利用极值证明不等式: 例 8 证明 : 0 x时, xex1. Ex 1P146147 19. 5 函数的凸性与拐点 （ 2 时 ）一 凸性的定义及判定：1 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别 .定义 见书 P146 凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系) 2 利用一阶导数判断曲线的凸向Th

34、1 (凸的等价描述 ) 见书 P146 例 1 (开区间内凸函数的左、 右可导性 ,从而开区间内凸函数是连续的) 3 利用二阶导数判断曲线的凸向: Th2 设函数)(xf在区间),(ba内存在二阶导数 , 则在),(ba内)(,0)(xfxf在),(ba内严格上凸 ; )(,0)(xfxf在),(ba内严格下凸 . 证法一( 用 Taylor 公式 ) 对),(,21baxx设2210 xxx, 把)(xf在点0 x展开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式 , 有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -

35、 - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载,)(2)()()()(201101001xxfxxxfxfxf202202002)(2)()()()(xxfxxxfxfxf. 其中1和2在1x与2x之间. 注意到)(0201xxxx, 就有20222011021)()(21)(2)()(xxfxxfxfxfxf, 于是若有,0)(xf上式中)(2)()(,0021xfxfxf, 即)(xf严格上凸 . 若有,0)(xf上式中)(2)()(,0021xfxfxf, 即)(xf严格下凸 . 证法二( 利

36、用 Lagrange 中值定理 . ) 若,0)(xf则有)(xf, 不妨设21xx,并设2210 xxx,分别在区间,01xx和,20 xx上应用 Lagrange 中值定理 , 有)()()(),(10110011xxfxfxfxx,)()()(),(02202202xxfxfxfxx. 有),()(,2122011ffxxx又由00210 xxxx，)(101xxf)(022xxf, )()()()(0210 xfxfxfxf， 即22)(2)()(21021xxfxfxfxf，)(xf严格下凸. 可类证0)(xf的情况 . 例 2 讨论函数xxfarctan)(的凸性区间 . 例 3

37、若函数)(xf为定义在开区间),(ba内的可导函数 ,则),(0bax为)(xf的极值点的充要条件是0 x为)(xf的稳定点，即.0)(0 xf4 凸区间的分离 : )(xf的正、负值区间分别对应函数)(xf的下凸和上凸区间 . 二.曲线的拐点 :拐点的定义 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载Th3 (拐点的必要条件 ) Th4 (拐点的充分条件 ) x),(00 xx

38、0 x),(00 xx)(xf0不存在)(xf拐点x),(00 xx0 x),(00 xx)(xf0不存在)(xf拐点x),(00 xx0 x),(00 xx)(xf0不存在)(xf非拐点x),(00 xx0 x),(00 xx)(xf0不存在)(xf非拐点注:函数的凹凸性、 拐点归结为其一阶导函数的增减性、极值点 . 例4 讨论曲线xxfarctan)(的拐点 . x)0 ,(0),0()(xf0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 20

39、页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载)(xf极大值)(xf拐点三 Jensen不等式及其应用 :Jensen 不等式 :设在区间,ba上恒有0)(xf( 或)0, 则对,ba上的任意n个点)1 (nkxk, 有 Jensen不等式 : nkkxfn1)(1( 或nkkxnf11), 且等号当且仅当nxxx21时成立 . 证令nkkxnx101, 把)(kxf表为点0 x处具二阶 Lagrange型余项的 Taylor 公式，仿前述定理的证明， 注意nkkxx10,0)(即得所证. 对具体的函数套用Jensen不等式的结果 ,可以证明一些较复杂的不等式 .这种证明不等式的

40、方法称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时 ,往往还用到所选函数的严格单调性. 例 2证明: 对,Ryx有不等式)(212yxyxeee. 例 3证明均值不等式 : 对Rnaaa,21, 有均值不等式naaan11121naaaaaannn2121. 证先证不等式naaaaaannn2121. 取xxfln)(. )(xf在),0(内严格上凸 , 由 Jensen 不等式, 有nknkknkkknkknnkkxnxnfxfnxnx111111ln1)(1ln1ln. 由)(xfnaaaaaannn2121. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

41、 - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载对Rnaaa1,1,121用上述已证结果 , 即得均值不等式的左半端. 例 4 证明 : 对Rnxxx,21, 有不等式nxxxnxxxnn2222121. ( 平方根平均值) 例 5 设6zyx，证明12222zyx. 解取2)(xxf, 应用 Jensen不等式 . 例 6 在ABC中, 求证233sinsinsinCBA. 解考虑函数xxxfxxxfsin.0,0sin.0,sin)(在区间),0(内凹, 由

42、Jensen不等式 , 有233sin33)()()(3sinCsinBsinACBAfCfBfAf. 233sinCsinBsinA. 例 7已知1,cbacbaR. 求证6737373333cba. 解考虑函数3)(xxf, )(xf在),0(内严格上凸 . 由 Jensen不等式 , 有3)73()73()73(3737373333cfbfafcba28)8()7(37373733fcbafcbaf. 6737373333cba. 例 8 已知.2,0,033求证2. ( 留为作业 ) (解函数3)(xxf在),0(内严格下凸 . 由 Jensen不等式 , 有2)()(228)(33f

43、ff, 122233名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载2,8)(3. ) Ex 1P153 15. 6 函数图象的描绘 （ 2 时 ）微分作图的步骤 : 确定定义域 . 确定奇偶性、周期性. 求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0 的点和不存在的点 . 求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0 的点和不存在的点 . 将一阶、二阶导数为0 的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点 . 确定渐近线 . 适当补充一些点 ,如与坐标轴的交点 . 综合以上讨论作图. 例 1 描绘函数3231)(xxxxf的图象 . 例 2 描绘函数222)(21)(xexf(其中0,为常数 )的图象 . Ex 1P155 (1)(8). 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -