2022年一元二次方程根与系数的关系韦达定理 .pdf

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1、一元二次方程根与系数的关系韦达定理一、观察与猜想1、解方程：（1） 2y2-y-1=0 （2）3x2-4x=2 解： y=221 ）（解：= y1= ,y2= 则 y1+y2= ，y1y2= 则 x1+x2= ，x1x2= （3）3x2+7x+2=0 解： x= = ,则 x1+x2= ，x1x2= （4）5x+2=3x2解：x= = ,则 x1+x2= ， x1x2= 想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？二、 一般地，对于关于 x 的一元二次方程ax2bxc0(a0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2，由一元二次方程ax2bxc0 的求根公式知x1=aacbb24

2、2,x2=aacbb242能得出以下结果：x1 x2= 即：两根之和等于x1?x2= 即：两根之积等于12xx=aacbb242+aacbb242=aacbbacbb24422=太妙了！我想知 道为 什么？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 12.x x=aacbb242aacbb242=2224)4)(4(aacbbacbb=2224)()(a= 由此得出， 一元二次方程的根与系数之间存在得关系为

3、x1+x2=ab， x1x2=ac3. 韦达定理已知12,x x是一元二次方程的两根，则有12bxxa12cx xa4.如果把方程ax2bxc0(a0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2xac0(a0)，则以 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2- （）x x1x20(a0) 练习：1、如果 x1，x2是方程)0(02acbxax的两个实数根，求x1+x2和 x1x2的值。2、 设 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（ a0）的两根，（1）试推导 x1+x2=-ba，x1 x2=ca；（2）?求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22） +c（x1+x2）的

4、值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 例题分析：例 1：已知方程5x2kx-60 的一个根为2，求它的另一个根及k 的值；解：设方程的另一个根是x1，那么5621x（为什么？） x1= 又 x1+2=5k（为什么？）k= 想一想，还有没有别的做法？例 2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x23x-10 的两个根的（1）平方和（2）倒数和解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么 x1+x2= ，

5、x1x2= （1）（x1+x2）2= x12+2 +x22x12+x22=（x1+x2）2-2 = （2）212111xxxx例 3：求一个一元二次方程，使它的两个根是212313 ，解：所求的方程是x2- （212313）x（）2120 (为什么？ ) 即x2+ x- 0 或 6x2+ x-0 例 4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x90 的两个根解这个方程，得x1= ， x2= 因此，这两个数是，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

6、 - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 作业1、 下列方程两根的和与两根的积各是多少？（1）y2-3y+1=0 （2） 3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2+5x-2=0 （5）2y2-5=6y （6）4p(p-1)-3=0 2、 已知方程3x2-19x+m=0 的一个根是1，求它的另一个根及m的值3、 设 x1，x2是方程 2x2+4x-3=0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1） （x1+1）（ x2+1）（2）2112xxxx4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7 名师归纳总结 精品

7、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5、已知两个数的和等于-6 ，积等于 2，求这两个数。7. 如果方程2x2kx-5 0 的实数根互为相反数，那么k= 8. 已知，是方程 x2x-5 0的实数根，求22的值9.已知一元二次方程2210 xxm（1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设12,x x是方程的两个实数根，且满足21121xx x，求 m 的值10. 关于 x 的一元二次方程2(31)0mxmxm，其根的判别式的值为1，求 m 的值及该方程的根。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -