2022年【高一数学必修四三角函数公式推导】 .pdf

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1、学习必备欢迎下载【高一数学必修四三角函数公式推导】.txt33学会宽容，意味着成长，秀木出木可吸纳更多的日月风华，舒展茁壮而更具成熟的力量。耐力，是一种不显山石露水的执着；是一种不惧风不畏雨的坚忍；是一种不图名不图利的忠诚。a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 所以a=2R*sinA b=2R*sinB c=2R*sinC 加起来 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(

2、A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式Sin2A=2SinA?CosA 对数的性质及推导用表示乘方，用log(a)(b)表示以 a 为底， b 的对数*表示乘号， / 表示除号名师归纳总结 精品学习资料

3、- - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载定义式：若 an=b(a0 且 a1) 则 n=log(a)(b) 基本性质：1.a(log(a)(b)=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M) 推导1. 这个就不用推了吧，直接由定义式可得( 把定义式中的 n=log(a)(

4、b)带入 an=b) 2. MN=M*N 由基本性质1( 换掉 M和 N) alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N) 由指数的性质alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N) 又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N) 3. 与 2 类似处理MN=M/N 由基本性质1( 换掉 M和 N) alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

5、- - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载由指数的性质alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N) 又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N) 4. 与 2 类似处理Mn=Mn 由基本性质1( 换掉 M) alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n 由指数的性质alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n 又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M) 其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(

6、b)(a) 推导如下N=alog(a)(N) a=blog(b)(a) 综合两式可得N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a) 又因为 N=blog(b)(N) 所以名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a) 所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有

7、疑问看上面的 所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a) 性质二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m/n*log(a)(b) 推导如下由换底公式 lnx是 log(e)(x),e称作自然对数的底 log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn) 由基本性质4 可得log(an)(bm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b) 再由换底公式log(an)(bm)=m/n*log(a)(b) -（性质及推导完）公式三 : log(a)(b)=1/log(b)(a) 证明如下 : 由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(

8、b)(a)-取以 b 为底的对数 ,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得 : log(a)(b)*log(b)(a)=1 平方关系：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载sin2( )+cos2( )=1 tan2( )+1=sec2( ) cot2( )+1=csc2( ) 商的关系：tan =sin /cos cot =cos/sin 倒数关系：tan c

9、ot =1 sin csc=1 cossec=1 万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan =2tan( /2)/1-tan2(/2) 常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k ） sin cos（2k ） costan （2k ） tan cot （2k ） cot 公式二：设 为任意角， +的三角函数值与的三角函数值之间的关系：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - -

10、 - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载sin （ ） sin cos（ ） costan （ ） tan cot （ ） cot 公式三：任意角 与- 的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos（ ） costan （ ） tan cot （ ） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到- 与的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos（ ） costan （ ） tan cot （ ） cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2- 与的三角函数值之间的关系：sin （2） sin

11、cos（2） costan （2） tan cot （2） cot 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载公式六：/2 及 3/2 与的三角函数值之间的关系：sin （/2 ） coscos（/2 ） sin tan （/2 ） cot cot （/2 ） tan sin （/2 ） coscos（/2 ） sin tan （/2 ） cot cot （/2 ） tan sin （3

12、/2 ） coscos（3/2 ） sin tan （3/2 ） cot cot （3/2 ） tan sin （3/2 ） coscos（3/2 ） sin tan （3/2 ） cot cot （3/2 ） tan ( 以上 kZ) 一般的最常用公式有: Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - -

13、- - - 学习必备欢迎下载Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：sin2( )+cos2( )=1 tan2( )+1=sec2( ) cot2( )+1=csc2( ) 积的关系：sin =tan *cos cos=cot *sin tan =sin *sec cot =cos *csc sec=tan *csc csc=sec *cot 倒数关系：tan cot

14、=1 sin csc=1 cossec=1 直角三角形ABC中 , 角 A的正弦值就等于角A的对边比斜边 , 余弦等于角A的邻边比斜边名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( + )=cos cos -sin sin cos( - )=cos cos +sin sin sin( )=sin coscossin ta

15、n( + )=(tan +tan )/(1-tantan ) tan( - )=(tan -tan )/(1+tantan ) 辅助角公式：Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t) ，其中sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) 倍角公式：sin(2 )=2sin cos=2/(tan +cot ) cos(2 )=cos2( )-sin2()=2cos2( )-1=1-2sin2() tan(2 )=2tan /1-tan2() 三倍角公式：sin(3 )=3sin -4sin3() cos(3 )=4cos3( )-3cos 半角公

16、式：sin( /2)= (1-cos )/2) cos( /2)= (1+cos )/2) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载tan( /2)= (1-cos )/(1+cos)=sin/(1+cos )=(1-cos)/sin降幂公式sin2( )=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2( )=(1+cos(2 )/2=vercos(2)/2 tan2( )=

17、(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan =2tan( /2)/1-tan2(/2) 积化和差公式：sin cos=(1/2)sin(+)+sin(- ) cossin =(1/2)sin(+)-sin(- ) coscos=(1/2)cos(+)+cos( - ) sin sin =-(1/2)cos(+)-cos( - ) 和差化积公式：sin +sin =2sin(+ )/2cos(- )/2 sin -sin =2cos( + )/2sin(- )/2 cos+cos

18、 =2cos( + )/2cos(- )/2 cos-cos =-2sin(+)/2sin(- )/2 其他：sin +sin( +2 /n)+sin( +2 *2/n)+sin( +2 *3/n)+ +sin +2 *(n-1)/n=0 cos +cos( +2 /n)+cos( +2 *2/n)+cos( +2 *3/n)+ +cos +2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下

19、载*(n-1)/n=0以及sin2( )+sin2(-2 /3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容高等代数中三角函数的指数表示( 由泰勒级数易得) ：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z) 1z/1 ！ z2/2 ！ z3/3 ！ z4/4 ！ zn/n ！此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y;y=y，有通解Q

20、,可证明Q=Asinx+Bcosx ，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值a030456090 sina01/2 2/2 3/21 cosa13/2 2/21/20 tana0 3/31 3None cotaNone 313/30 三角函数的计算名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -

21、学习必备欢迎下载幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn(n=0.) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n(n=0.) 它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中 c0,c1,c2,.cn.及 a 都是常数 , 这种级数称为幂级数 . 泰勒展开式 ( 幂级数展开法): f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+. 实用幂级数：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+. ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|1)

22、 sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(- x) cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-x) arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|1) arccosx= -(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|1) arctanx=x-x3/3+x5/5-.(x1) sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x) coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-x ) a

23、rcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|1) arctanhx=x+x3/3+x5/5+.(|x|1) - 傅立叶级数 ( 三角级数 ) f(x)=a0/2+(n=0.)(ancosnx+bnsinnx) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a0=1/ (.-)(f(x)dx an=1/ (.-)(f(x)cosnx)dx bn=1/ (.-)(f(x)sinnx)dx 注意：正切也可以表示为“Tg”如： TanA=TgA Sin2a=2SinaCosa Cos2a=Cosa2-Sina2 =1-2Sina2 =2Cosa2-1 Tan2a=2Tana/1-Tana2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -