2022年一元二次方程求根公式及讲解 .pdf

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1、精品资料欢迎下载主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将 一 元 二 次 方 程ax2 bx c=0(a0) 进 行 配 方 ， 当b2 4ac0时 的 根 为该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法说明： (1) 一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2bxc=0(a0)；(2) 由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c 的值决定的；(3) 应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式 . 2、一元二次方程的根的判别式（1）当 b24ac0时，方

2、程有两个不相等的实数根；（2）当 b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当 b24ac0时，方程没有实数根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。(2

3、) “因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则 6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。(4) “公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。2、在运用 b24ac 的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b24ac 是一元

4、二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定 a、b、c，求出 b24ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b24ac，而不是名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3). 分析： 用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c 的值，再代入公式计算，解： (1)

5、 因为 a=1，c=10 所以所以(2) 原方程可化为因为 a=1，c=2 所以所以. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(3) 原方程可化为因为 a=1，c=1 所以所以；所以总结：(1) 用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2) 用求根公式法解方程按步骤进

6、行例2、用适当方法解下列方程： 分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根

7、公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。如，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。 直接开平方法一般解符合型的方程，如第小题。 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整

8、数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。解： 两边开平方，得所以 配方，得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载所以所以 配方，得所以所以 因为所以 =4 20=24 所以所以 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 -

9、- - - - - - - - 精品资料欢迎下载配方：所以所以 整理，得所以 移项，提公因式，得所以小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例3、已知关于 x 的方程 ax23x1=0有实根，求 a 的取值范围 . 解： 当 a=0时，原方程有实根为若 a0时，当原方程

10、有两个实根. 故，综上所述a 的取值范围是. 小结：此题要分方程ax23x1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a0两种情况例4、已知一元二次方程x24xk=0有两个不相等的实数根. (1) 求 k 的取值范围；(2) 如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24xk=0与 x2mx 1=0有一个相同的根，求此时m的值. 解： (1) 因为方程x24xk=0有两个不相等的实数根，所以 b24ac=164k0，得 k4. (2) 满足 k4的最大整数，即k=3. 此时方程为x24x3=0，解得 x1=1，x2=3. 当相同的根为x=1时，则 1m 1=0，得 m=0 ；

11、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载当相同的根为x=3时，则 93m 1=0，得所以 m的值为 0或例5、设 m为自然数，且 3m40 ，方程有两个整数根求 m的值及方程的根。解：，方程有整数根，4（2m 1）是完全平方数。3m4072m 181 2m 1值可以为 9，25，49 m的值可以为 4，12，24。当 m=4 时方程为解得 x=2或 x=8 当 m=12 时方程为解得 x=26或 x=16 当 m=24 时方程为解得 x=52或 x=38 总结：本题先由整数根确定2m 1是完全平方数，再由3m40 中 m为整数确定m的值，再分别试验求x，是本题特点。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -