2022年上海市黄浦区2021届高三一模数学试卷及答案解析 .pdf

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1、公众号：安逸数学工作室第1页（共 18页）2018 年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12 题，满分 36 分.其中第 16 题每题满分 36 分，第712 题每题满分 36 分）1 （3 分）已知全集U=R，集合，则（ ?UB）A=2 （3 分）函数的定义域是3 （3 分）若复数 z 满足（i 为虚数单位），则 z=4 （3 分）已知 sin（ +）=， （，0） ，则 tan =5 （3 分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为6 （3 分）若函数 y=a+sinx 在区间 ，2 上有且只有一个零点，则a=7 （3 分）已知向量=（x，y） （x，y

2、 R） ， =（1，2） ，若 x2+y2=1，则| |的最小值为8 （3 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）=log2（x+1） 若函数 y=g（x）是 y=f（x）的反函数，则g（3）=9 （3 分）已知 m，n， ， R，mn， ，若 ，是函数 f（x）=2（xm）（xn）7 的零点，则m，n， ，四个数按从小到大的顺序是（用符号“ “ 连接起来）10 （3 分）已知点 O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作 OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点 P，若，则实数 的值为11 （ 3 分 ） 已 知 x R， 定 义 ： A（ x

3、） 表 示 不 小 于 x 的 最小 整 数 如，A（1.1）=1若 A（2x?A （x） ）=5，则正实数 x 的取值范围是名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第2页（共 18页）12 （3 分）已知点 M（m，0） ，m0 和抛物线 C ：y2=4x过 C的焦点 F的直线与 C交于 A，B两点，若=2，且| =| ，则 m=二、选择题（本大题共有4 题，满分 12分 ）1

4、3 （3 分）若 x R，则“x1” 是“” 的（）A充分非必要条件 B 必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件14 （3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）ABCD15 （3 分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A4 B5 C 6 D716 （3 分）已知 a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若线段 l1，l2，l3，l4的长分别为 a1，a2，a3，a4，则（）A对任意的 d，均存在以 l1，l2，l3为三边的三角形B对任意的 d，均不存在以为 l1，l2，l3三边的三角形C对任意的 d，均存在以 l2，l3，l4为三边

5、的三角形名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第3页（共 18页）D对任意的 d，均不存在以 l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5 题，满分 74 分 ）17 （12 分）在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3 ，E，F 分别是所在棱 AB，BC的中点，点 P是棱 A1B1上的动点，联结 EF ，AC1如图所示（1）求异面直线 EF

6、 ，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示） ；（2）求以 E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积18 （12 分）如图，已知点 A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边， OA为终边的角设为 ，将 OA绕坐标原点逆时针旋转至 OB（1）用 表示 A，B两点的坐标；（2）M 为 x 轴上异于 O的点，若 MAMB，求点 M 横坐标的取值范围19 （14 分）已知函数g（x）=，x R，函数 y=f（x）是函数 y=g（x）的反函数（1）求函数 y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设 h（x）=，若函数 y=h（x）在区间（ 0，1）内的图象是不间断的名师归纳总结 精品学习

7、资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第4页（共 18页）光滑曲线， 求证：函数 y=h（x）在区间（1，0）内必有唯一的零点 （假设为 t） ，且120 （18分） （理科）定义：若各项为正实数的数列 an 满足，则称数列 an 为“ 算术平方根递推数列 ” 已知数列 xn 满足， 且， 点 （xn+1， xn） 在二次函数 f （x） =2x2+2x的图象上（1）试判断数列 2xn+1（n N*

8、）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记 yn=lg（2xn+1） （n N*） ，求证：数列 yn是等比数列，并求出通项公式yn；（3）从数列 yn 中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列 zn ：若数列 zn 是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列 zn各项的和为，求正整数 k、m 的值21 （18分）已知椭圆 ：+=1（ab0） ，过原点的两条直线l1和 l2分别与 交于点 A、B和 C 、D，得到平行四边形ACBD （1）当 ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线 l1和 l2关于 y 轴对称， 上任意一点 P到 l1和 l2的距

9、离分别为 d1和d2，当 d12+d22为定值时，求此时直线l1和 l2的斜率及该定值（3） 当 ACBD为菱形，且圆 x2+y2=1内切于菱形 ACBD时，求 a，b 满足的关系式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第5页（共 18页）2018 年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12 题，满分 36 分.其中第 16 题每题满分 36 分

10、，第712 题每题满分 36 分）1 （3 分）已知全集U=R，集合，则（ ?UB）A= x| 1x 【解答】 解：A=x| 1x1 ，?UB= x| x，则（?UB）A= x| 1x，故答案为： x| 1x，2 （3 分）函数的定义域是（1，+）【解答】 解：要使函数有意义，需满足解得 x1故答案为：（1，+）3 （3 分）若复数 z 满足（i 为虚数单位），则 z=1+2i【解答】 解：由，得 z=1+2i故答案为： 1+2i4 （3 分）已知 sin（ +）=， （，0） ，则 tan = 2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归

11、纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第6页（共 18页）【解答】 解： sin（ +）=cos ，sin（ +）=，cos= ，又 （，0） ，sin = ，tan=2故答案为： 25 （3 分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为【解答】 解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得 a=，即 1q=qq= 故答案为：6 （3 分）若函数 y=a+sinx 在区间 ，2 上有且只有一个零点，则a=1【解答】 解

12、：作函数 y=sinx在区间 ，2 上的图象如下，结合图象可知，若函数 y=a+sinx 在区间 ，2 上有且只有一个零点，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第7页（共 18页）则 a1=0，故 a=1；故答案为： 17 （3 分）已知向量=（x，y） （x，y R） ， =（1，2） ，若 x2+y2=1，则| |的最小值为1【解答】 解：设 O（0，0） ，P（1，2）

13、 ，| | =| 1=1=1，| | 的最小值为18 （3 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，且当 x0 时，f（x）=log2（x+1） 若函数 y=g（x）是 y=f（x）的反函数，则g（3）=7【解答】 解：反函数与原函数具有相同的奇偶性g（3）=g（3） ，反函数的定义域是原函数的值域，log2（x+1）=3，解得： x=7，即 g（3）=7，故得 g（3）=7故答案为： 79 （3 分）已知 m，n， ， R，mn， ，若 ，是函数 f（x）=2（xm）（xn）7 的零点，则 m，n， ，四个数按从小到大的顺序是 mn（用符号 “ “ 连接起来）【解答】 解： 、是函数 f（x）=

14、2（xm） （xn）7 的零点， 、是函数 y=2（xm） （xn）与函数 y=7的交点的横坐标，且 m、n 是函数 y=2（xm） （xn）与 x 轴的交点的横坐标，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第8页（共 18页）故由二次函数的图象可知， mn ；故答案为： mn 10 （3 分）已知点 O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作 OB的平行线

15、，它与椭圆C在第一象限部分交于点 P，若，则实数 的值为【解答】 解：如图，A（a，0） ，B（0，b） ，F（c，0） ，则 P（c，） ，由，得，即 b=c，a2=b2+c2=2b2，则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第9页（共 18页）故答案为：11 （ 3 分 ） 已 知 x R， 定 义 ： A（ x） 表 示 不 小 于 x 的 最小 整 数 如，A（1.1）

16、=1若 A（2x?A （x） ）=5，则正实数 x 的取值范围是（1， 【解答】 解：当 A（x）=1时，0 x1，可得 42x5，得 2x，矛盾，故 A（x）1，当 A（x）=2 时，1x2，可得 44x5，得 1x，符合题意，故A（x）=2，当 A（x）=3 时，2x3，可得 46x5，得x，矛盾，故 A（x）3，由此可知，当 A（x）4 时也不合题意，故A（x）=2正实数 x 的取值范围是（ 1，故答案为：（1，12 （3 分）已知点 M（m，0） ，m0 和抛物线 C ：y2=4x过 C的焦点 F的直线与 C交于 A，B两点，若=2，且| =| ，则 m=【解答】 解：由题意可知： F

17、（1，0） ，由抛物线定义可知A（x1，y1） ，可知 B（x2，y2） ，=2，可得： 2（x21，y2）=（1x1，y1） ，可得 y2=，x2=，解得 x1=2，y1=2| =| ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第10页（共 18页）可得| m1| =，解得 m=故答案为：二、选择题（本大题共有4 题，满分 12分 ）13 （3 分）若 x R，则“x1” 是“”

18、 的（）A充分非必要条件 B 必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【解答】 解：由 x1，一定能得到得到1，但当1 时，不能推出 x1 （如 x=1 时） ，故 x1 是1 的充分不必要条件，故选： A14 （3 分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）ABCD【解答】 解：作为基底不共线即可，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第11页（共 18页）共线，共

19、线，不共线，共线，故选 C15 （3 分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A4 B5 C 6 D7【解答】 解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件 S 1000，S=1 ，k=1满足条件 S 1000，S=1 +2=3，k=2满足条件 S 1000，S=1 +2+23=11，k=3满足条件 S 1000，S=1 +2+23+211，k=4不满足条件 S1000，退出循环，输出k 的值为 4故选： A16 （3 分）已知 a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零，若线段 l1，l2，l3，l4的长分别为 a1，a2，a3，a4，则（）名师

20、归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第12页（共 18页）A对任意的 d，均存在以 l1，l2，l3为三边的三角形B对任意的 d，均不存在以为 l1，l2，l3三边的三角形C对任意的 d，均存在以 l2，l3，l4为三边的三角形D对任意的 d，均不存在以 l2，l3，l4为三边的三角形【解答】 解：A：对任意的 d，假设均存在以l1，l2，l3为三边的三角形， a1，a2，a3

21、，a4是各项均为正数的等差数列， 其公差 d 大于零，a2+a3a1，a3+a1=2a2a2，而 a1+a2a3=a1d 不一定大于 0，因此不一定存在以为l1，l2，l3三边的三角形，故不正确；B：由 A 可知：当 a1d0 时，存在以为 l1，l2，l3三边的三角形，因此不正确；C：对任意的 d，由于 a3+a4，a2，a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a30，a2+a3a4=a10，因此均存在以 l2，l3，l4为三边的三角形，正确；D由 C可知不正确故选： C三、解答题（本大题共有5 题，满分 74 分 ）17 （12 分）在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB=AA1=4，

22、BC=3 ，E，F 分别是所在棱 AB，BC的中点，点 P是棱 A1B1上的动点，联结 EF ，AC1如图所示（1）求异面直线 EF ，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示） ；（2）求以 E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积【解答】 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分（ 6 分） ，第 2 小题满分（ 6 分） 解： （1）联结 AC，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，有 ACEF 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1

23、2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第13页（共 18页）又CAC1是直角三角形 ACC1的一个锐角，CAC1就是异面直线 EF ，AC1所成的角由 AB=AA1=4，BC=3 ，得 AC=5tanCAC1=，即异面直线 EF ，AC1所成角为 arctan（2）由题意可知，点P到底面 ABCD的距离与棱 AA1的长相等，=18 （12 分）如图，已知点 A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边， OA为终边的角设为 ，将 OA绕坐标原点逆时针旋转至 OB（1）用 表示 A，B两点的坐标；（2）M 为 x 轴上异于 O的点，若 MA

24、MB，求点 M 横坐标的取值范围【解答】解： （1）点 A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第14页（共 18页）边，OA为终边的角设为 ， （0，）可得 A （cos ， sin ） ， 将 OA绕坐标原点逆时针旋转至 OB 可得 B （cos （） ，sin（） ） ，即 B（sin ，cos ） （2）设 M（x

25、，0） ，x0，=（cos x，sin ） ，=（sin x，cos ） MAMB，可得（ cos x） （ sin x）+sin cos=0 xsin xcos +x2=0，可得 x=sin cos=sin（） （1，1） 综上 x （1，0）（ 0，1） 点 M 横坐标的取值范围：（1，0）（ 0，1） 19 （14 分）已知函数g（x）=，x R，函数 y=f（x）是函数 y=g（x）的反函数（1）求函数 y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设 h（x）=，若函数 y=h（x）在区间（ 0，1）内的图象是不间断的光滑曲线， 求证：函数 y=h（x）在区间（1，0）内必有唯一的零点

26、 （假设为 t） ，且1【解答】 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分（ 7 分） ，第 2 小题满分（ 7 分） 解： （1）函数 g（x）=1，g（x） （1，1） 令 y=g（x）=1，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第15页（共 18页）则=1y，即，即 x=，f（x）=，x （1，1） 证明： （2）由（1）可知，h（x）=，x （1，

27、0）（0，1） h（x）+h（x）=+ =0，所以，函数 h（x）是奇函数当 x （0，1）时，单调递减，=1+单调递减，于是单调递减因此，函数 h（x）单调递减依据奇函数的性质，可知，函数 h（x）在（ 1，0）上单调递减又h（）=2+lg30，h（）=+lg1990，所以，函数 h（x）在区间（ 1，0）上有且仅有唯一零点t，且 120 （18分） （理科）定义：若各项为正实数的数列 an 满足，则称数列 an 为“ 算术平方根递推数列 ” 已知数列 xn 满足， 且， 点 （xn+1， xn） 在二次函数 f （x） =2x2+2x的图象上（1）试判断数列 2xn+1（n N*）是否为算

28、术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记 yn=lg（2xn+1） （n N*） ，求证：数列 yn是等比数列，并求出通项公式yn；（3）从数列 yn 中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列 zn ：若数列 zn 是首项为、公比为的无穷等比数列，且名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第16页（共 18页）数列 zn各项的和为，求正整数 k、m

29、 的值【解答】 解： （1）数列 2xn+1（n N*）是否为算术平方根递推数列，证明如下：点（ xn+1，xn）在二次函数 f（x）=2x2+2x 的图象上，xn=2xn+12+2xn+1，2xn+1=（2xn+1+1）2，xn0，n N*，2xn+1+1=，数列 2xn+1 （n N*）是否为算术平方根递推数列；（2）yn=lg（2xn+1） ，2xn+1+1=，yn+1=yn，y1=lg（2x1+1）=1，数列 yn 是首项为 1，公比为等比数列，通项公式 yn=（）n1（3）由题意可得数列 zn 的首项为，公比为，=，+=16，若 m13，则+16，矛盾，m12，m1=0或 1 时，+

30、16，m1=2，m=3，k=6名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第17页（共 18页）21 （18分）已知椭圆 ：+=1（ab0） ，过原点的两条直线l1和 l2分别与 交于点 A、B和 C 、D，得到平行四边形ACBD （1）当 ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线 l1和 l2关于 y 轴对称， 上任意一点 P到 l1和 l2的距离分别为 d1和d2，

31、当 d12+d22为定值时，求此时直线l1和 l2的斜率及该定值（3） 当 ACBD为菱形，且圆 x2+y2=1内切于菱形 ACBD时，求 a，b 满足的关系式【解答】 解： （1）ACBD为正方形，直线 l1和 l2的方程为 y=x和 y=x，设点 A、B 的坐标为（ x1，y1） 、 （x2，y2） ，解方程组，得=，由对称性可知， S=4=；（2）由题意，不妨设直线l1的方程为 y=kx，则直线 l2的方程为 y=kx，设 P（x0，y0） ，则+=1，又d1=，d2=，+=+=，将=b2（1）代入上式，得+=，d12+d22为定值，k2=0，即 k=，名师归纳总结 精品学习资料 - -

32、 - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 公众号：安逸数学工作室第18页（共 18页）于是直线 l1和 l2的斜率分别为和，此时+=；（3）设 AC与圆 x2+y2=1相切的切点坐标为（ x0，y0） ，则切线 AC的方程为： x0 x+y0y=1，点 A、C的坐标为（ x1，y1） 、 （x2，y2）为方程组的实数解当 x0=0 或 y0=0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点（ 1，1） ，于是有+=1；当 x00 或 y00 时，将 y=（1x0 x）代入+=1，整理得： （a2+b2）x22a2x0 xa2（1+b2）=0，由韦达定理可知 x1x2=，同理可知 y1y2=，ACBD为菱形，AOCO ，即 x1x2+y1y2=0，+=0，整理得： a2+b2=a2b2（+） ，又+=1，a2+b2=a2b2，即+=1；综上所述， a，b 满足的关系式为+=1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -