2022年不等式与不等式组知识点与练习 .pdf

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1、名师总结优秀知识点不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、） 不等式的概念 1 、不等式：一般地，用不等符号（“”“”“”“”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： 、 、 、 、 。2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行： 画数轴 定界点定方向。 规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用

2、实心圆点，不等于用空心圆圈。与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点（二、）不等式的基本性质不等式性质 1：不等式的两边 同时加上 ( 或减去 )同一个数 (或式子)，不等号的方向不变 。用字母表示为 ： 如

3、果ba， 那么cbca； 如果ba， 那么cbca；不等式的 性质 2：不等式的两边 同时乘以 ( 或除以)同一个正数 ，不等号的方向不变 。用字母表示为 ： 如果0,cba，那么bcac( 或cbca)；如果0,cba，不等号那么bcac(或cbca) ；不等式的 性质 3：不等式的两边 同时乘以 ( 或除以)同一个负数 ，的方向 改变 。用字母表示为 ： 如果0,cba，那么bcac( 或cbca)；如果0,cba，那么bcac( 或cbca) ；解不等式思想就是要将不等式逐步转化为xa 或 xa 的形式。（注：传递性：若ab,bc, 则ac. 利用不等式的基本性质可以解简单的不等式）（三

4、、）一元一次不等式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、任何一个一元一次不等式都可以化为最简形式：axb或axb（a0）的形式。3、解一元一次不等式的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项； 系数化为 1 （特别要注意不等号方向改变的问题）

5、。这与解一元一次方程类似， 在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。（四、）一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。不等式组中含有 一个未知数 ，并且所含 未知数的项的次数都是1。2、 使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值 叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解 )。3、不等式组的解集可以 在数轴上 表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组 。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

6、 - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法: 解一元一次不等式组的一般步骤：分别求出这个不等式组中各个不等式的解集； 利用数轴表示出各个不等式的解集；找出公共部分；用不等式表示出这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 ) 。6、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。

7、（五、）一元一次不等式（组）的应用一般方法步骤：（1）审：分析题意，找出不等关系；（2）设：设未知数；（3）列：列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）检验：从不等式组的解集中找出符合题意的答案；（6）答：写出问题答案。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点1、不等式与不等式组不等式：用符号， =，号连接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式

8、的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。3、一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1 的不等式叫一元一次不等式。4、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。5、一元一次不等式解题的一般步骤：去分

9、母、去括号，移项时候要变号，同类项合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点不等号改向别忘了6、一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大、大小取中间，小小、大大无处找7、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集通常有如下四种类型（其中ab）不等式组数轴表示解集顺口溜xb 大大取较大xa 小小取较小axb 大小、小大中间找无解大大、

10、小小解不了练习题一1已知不等式3x-a0 的正整数解恰是1，2，3，则 a 的取值范围是。2已知关于x 的不等式组1250 xax无解，则 a 的取值范围是。3不等式组0221042xx的整数解为。xa xb xa xa xb xb 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点4如果关于x 的不等式（ a-1）xa+5和 2x4的解集相同，则a 的值为。5已 知关于x 的 不等 式组01

11、234axxx的 解 集为2x， 那么a 的取值 范围是。6当x时，代数式52x的值不大于零7.若x”“ =”或“”号填空）8.不等式x27，的正整数解是9.不等式x10a的解集为xbc，则不等式组cxbxax的解集是11.若不等式组3212bxax的解集是 x，则)1)(1(ba的值为12.有解集 x，则a的取值范围是练习题二一、 判断题（每题1 分，共 6 分）1、 ab，得 am bm （）2、 由 a3，得 a23（）3、 x = 2是不等式 x34的解（）4、 由21 1，得2a a （）5、 如果 ab，c0，则 ac2bc2（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

12、- - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点6、 如果 ab0，则ba1 （）二、 填空题（每题2 分，共 34 分）1、若 ab，用“”号或“”号填空：a5 b5；2a2b；12a 12b；6a 6b；2、x 与 3 的和不小于 6，用不等式表示为；3、当 x 时，代数式2x3的值是正数；4、代数式412x 的不大于 82x的值，那么x 的正整数解是；5、如果 x7 5，则 x ；如果2x0，那么 x ；6、不等式 axb 的解集是 x

13、ab，则 a 的取值范围是；7、一个长方形的长为x 米，宽为 50 米，如果它的周长不小于280 米，那么 x 应满足的不等式为；练习题三一、选择题1下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（）A 2,3xxB 10,20 xyC 320,(2)(3)0 xxxD320,11xxx2下列说法正确的是（）A不等式组3,5xx的解集是 5x3 B2,3xx的解集是 3x2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - -

14、 - 名师总结优秀知识点C 2,2xx的解集是 x=2 D3,3xx的解集是 x33不等式组2,3482xxx的最小整数解为（）A 1 B0 C1 D4 4在平面直角坐标系中，点P（2x6，x5）在第四象限，则x 的取值范围是（）A3x5 B 3x5 C 5x3 D5x2 Bx3 C2x3 D无解二、填空题6若不等式组2,xxm有解，则 m 的取值范围是 _7已知三角形三边的长分别为2，3 和 a，则 a 的取值范围是 _8将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4 个橘子，则剩下9 个橘子； ?如果每人分6 个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3 个，由以上可推出，共有_个儿童，分 _个橘子

15、9若不等式组2,20 xabx的解集是 1x1，则（ a+b）2006=_三、解答题10解不等式组名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点（1）2(2)4, (1)10(2)32xxxx（2）2x31，x122x11若不等式组1,21xmxm无解，求 m 的取值范围12、若关于 x 的不等式组52x1，xa2无解，则 a 的取值范围是 _13、已知关于x 的不等式组xa0，32x1的

16、整数解共有5 个，则a 的取值范围是_易错点分析：易错点 1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分例 1 解不等式组x10，x20错解： 由，得 x1，由，得 x2，所以不等式组的解集为2x1错因剖析： 解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集） 实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1x2 或2x1 等，这些都是错误的正解

17、： 由，得 x1由，得 x2，所以此不等式组无解易错点 2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点例 2 解不等式组5x1263x， 4x3522(1x)3 错解： 解不等式，得x34解不等式，得x5由于 x34的范围较大，所以不等式组的解集为x34错因剖析： 本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的

18、解集时，形成错误的认识其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设ab），xa，xb，xa，xb，xa，xb，xa，xb利用数可确定它们的解集分别为xb， xa， axb，空集也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”正解： 解不等式，得x34解不等式，得x5所以不等式组的解集为x5易错点 3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法例 3 解不等式组x22(x3)11，3x22(x3)3错解： 由，得2x14，即 x7，所以不等式组的解集为x7错因剖析： 本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的

19、方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（1）解二名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，

20、各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集正解： 由不等式，得32x 17，即 x343由不等式，得72x3，即x67所以原不等式组的解集为343x67易错点 4：在去分母时，漏乘常数项例 4 解不等式组2x31，x122x错解： 由，得 x2在 x212 x 的两边同乘2，得 x122x于是有 x13，所以原不等式组的解集为2x13错因剖析： 解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去

21、分母时漏乘了中间的一项此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“”连接正解： 由，得 x2在x122 x 的两边同乘2，得 x14 2x于是有x1，所以原不等式组的解集为1x2易错点 5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点例 5 解关于 x 的不

22、等式（12a）x12a错解： 去分母，得 (12a)x2(12a)将不等式两边同时除以（12a），得x2错因剖析： 在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以） 的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号本例中不等式两边同乘(或除以 )的(12a)，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错正解： 将不等式变形，得(12a)x2(12a)（1）当 12a0 时，即 a12时，x2；（2）当 12a0 时，即 a12时，不等式无解；（3）当 12a0 时，即 a12时，x2例 6 如果关于 x 的不等式 (2ab)xa5b0的解集是 x107，则关于 x 的不等式axb 的解

23、集是 _错解： 因为不等式（ 2ab）xa5b0 的解集是x107，所以5ba2ab107，则有2ab7，5ba10，解得a5，b3从而知 axb 的解集是 x35错因剖析： 本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出2ab7，5ba10，解得a5，b3从而错误得到axb 的解集是 x35名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共

24、 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点正解： 由不等式（2ab）xa5b0 的解集是x107，得2ab0，5ba2ab107，解得a0，ba35所以 axb 的解集是 x35易错点 6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况例7若 关 于x的 不 等 式 组52x1，xa2无 解 ， 则a的 取 值 范 围 是_错解： 由52x1，xa0，得x3，xa又因为不等式组无解，所以a 的取值范围是a3错因剖析： 由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取

25、值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即 a3，有 x3 及 x3，而此时不等式组也是无解的因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况正解： 由52x1，xa0得x3，xa又因为不等式组无解，所以a 的取值范围是a3例 8已知关于x 的不等式组xa0，32x1的整数解共有5 个，则a 的取值范围是_错解： 由xa0，32x1解得xa，x2又因为原不等式组的整数解共有5个，所以 ax2，这 5 个整数解为 3，2，1，0，1，从而有 a 3(或 a3)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

26、 - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点错因剖析： 本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解上述解法错在忽视ax2 中有 5 个整数解时， a 虽不唯一，但也有一定的限制， a 的取值范围在 3 与 4 之间，其中包括3，但不应包括 4，所以错解在确定a 的取值范围时扩大了解的范围正解： 由xa0，32x1解得xa，x2又因为原不等式组的整数解共有5个，所以 ax2又知这 5 个整数解为 3， 2，1，0，1故 a 的取值范围是 4a3总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我

27、们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6 个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊模拟试卷一、选择题（共8 小题，每小题4 分，满分 32 分）1 （2002?昆明）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（）ABCD2（2002?重庆）已知，关于x 的不等式2xa 3 的解集如图所示，则a 的值等于（）A0 B1 C1 D2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 -

28、- - - - - - - - 名师总结优秀知识点3（2004?日照）已知关于x 的不等式组无解，则 a 的取值范围是（）Aa 1 Ba2C 1a2 Da1，或 a2 4不等式 axa 的解集为 x1，则 a 的取值范围是（）Aa0 Ba0Ca0 Da05如果 mn0，那么下列结论不正确的是（）Am9n9 Bmn CD6关于 x 的方程 5x+12=4a 的解都是负数，则a 的取值范围（）Aa3 Ba3 C a3 Da3 7若|3x 2|=2 3x，则（）Ax=BxC xDx8（2011?菏泽）某种商品的进价为800 元，出售时标价为1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证

29、利润率不低于5%，则至多可打（）A6 折B7 折C8 折D9 折二、填空题（共9 小题，每小题3 分，满分 27 分）9已知关于x 的不等式组的整数解有5 个，则a 的取值范围是_名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点10某商品的售价是150 元，这种商品可获利润10%20%，设这种商品的进价为x元，则 x 的值范围是_11满足 x53x+1 的 x 的最小整数是_12如果三个连

30、续自然数的和不大于9，那么这样自然数共有_组13 已 知2x y=0 且x 5 y， 则x， y 的 取 值 范 围 分 别 是_；_14若 a0 ，则不等式axb 的解集是_15若不等式组无解，则 m 的取值范围是_16不等式组的整数解为_17当 a0 时，不等式组的解集是_三、解答题（共7 小题，满分 61 分）18解不等式，并把解集在数轴上表示出来名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总

31、结优秀知识点19求不等式组的整数解20代数式的值是否能同时大于代数式2x+3 和 1x 的值？说明理由21若不等式5 （x2） +86 （x1） +7 的最小整数解是方程2xax=3 的解，求的值22. （2001?陕西）某城市的一种出租车起步价为10 元（即行驶 5 千米以内都需付款10 元车费），达到或超过5 千米后，每增加1 千米加价 1.2 元（不足 1 千米按 1 千米计算），现某人乘这种出租车有甲地到乙地，支付车费17.2 元求甲、乙两地的路程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -