2022年三角函数复习教案-整理 .pdf

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1、三角函数复习教案【知识网络】学法：1注重化归思想的运用如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2注意数形结合思想的运用如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案第 1 课三角函数的概念【学习目标】理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算掌握终边相同角的表示方法掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义了解余切、正割、余割的定义掌握三角函数的符号法则【考点梳理】考点一、角的概念与推广1任意角的概念：正角、负角、零角2象限角与轴线角：与终边相同的角的集合

2、：,2|Zkk第一象限角的集合：| 22,2kkkZ任意角的概念弧长公式角度制与弧度制同角三角函数的基本关系式诱导公式计算与化简证明恒等式任意角的三角函数三角函数的图像和性质已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - - 第二象限角的集合：|22,2kkkZ第三象限角的集合：3|22,2kkkZ第四象限角的集合：3|222,2kkkZ终边在

3、x轴上的角的集合：|,kkZ终边在y轴上的角的集合：|,2kkZ终边在坐标轴上的角的集合：|,2kkZ要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1弧长公式与扇形面积公式：弧长lr，扇形面积21122Slrr扇形（其中r是圆的半径，是弧所对圆心角的弧度数） . 2角度制与弧度制的换算：180；18010.017451()57.3057 18180radradrad；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1.定义：在角上

4、的终边上任取一点( , )P x y，记22rOPxy则sinyr, cosxr, tanyx，cotxy，secrx，cscry. 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫做的正弦线，余弦线，正切线. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - - 3. 三角函数的定义域：siny，cosy的定义域是R；tany，secy的 定义 域 是|,2kkZ；coty，cscy的 定义 域是

5、|,kkZ. 4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、 三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论. 三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用 . 【典型例题】类型一、角的相关概念例 1. 已知是第三象限角

6、, 求角2的终边所处的位置.【答案】2是第二或第四象限角【解析】方法一：是第三象限角，即322,2kkkZ，3,224kkkZ, 当2kn时，322,224nnnZ, 2是第二象限角，当21kn时，3722,224nnnZ, 2是第四象限角，2是第二或第四象限角. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - - 方法二：由图知 : 2的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法本题容易

7、误认为2是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3( ,)2解决本题的关键就是为了凑出2的整数倍，需要对整数进行分类（2）确定“分角”所在象限的方法：若是第 k (1、 2、3、4) 象限的角，利用单位圆判断n，(*nN)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域就是角n (*nN) 终边所在的范围。如：k=3，如下图中标有号码3 的区域就是2终边所在位置举一反三：【变式 1】已知是第二象限角 , 求角3的终边所处的位置.y x 1 2 3 4 1 2 3 4 名师归

8、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - - 【答案】3是第一或第二或第四象限角【解析】方法一：是第二象限角，即22,2kkkZ，22,36333kkkZ, 当3kn时，22,633nnkZ, 3是第一象限角，当31kn时，522,63nnkZ, 3是第二象限角，当32kn时，3522,233nnkZ, 3是第四象限角，3是第一或第二或第四象限角. 方法二：k=2，如下图中标有号码2 的区域就是3终边所在位置由图

9、知：3的终边落在一，二，四象限. 【变式 2】已知弧长50cm的弧所对圆心角为200 度，求这条弧所在的圆的半径（精确到 1cm ） .【答案】 29cm.类型二、任意角的三角函数例 2.若sincos0，则角在象限. 【答案】第一或第三【解析】名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 41 页 - - - - - - - - - 方法一： 由sincos0知（ 1）sin0cos0或（ 2）sin0cos0由（ 1）知在第一象限，由（2）知在第三

10、象限，所以在第一或第三象限. 方法二： 由sincos0有sin 20，所以222kkkZ, 即2kkkZ当2 ()kn nZ时，为第一象限，当21()knnZ时，为第三象限故为第一或第三象限. 方法三： 分别令57116666、，代入sincos0，只有6、76满足条件，所以为第一或第三象限. 【总结升华】 角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题 .举一反三：【变式 1】确定tan( 3).sin 5cos1的符号 . 【答案】原式小于零【解析】因为3,5,1分别是第三、第四、第一象限的角，所以tan( 3)0，sin50，cos10，所以原式小于零. 【变式

11、 2】已知tancos0，tan0sin，则是第象限角 .【答案】二【解析】tan10sincos，cos0，tan0，则是第二象限角. 【变式 3】求sin| cos |tan|sin|cos|tan|xxxxxx的值 . 【答案】当x为第一象限角时，值为3；当x为第二、三、四象限角时，值为-1.例3. 已 知 角的 顶 点 在 原 点 ， 始 边 与x轴 的 非 负 半 轴 重 合 ， 终 边 为 射 线430(0)xyx，则2sin(sincot)cos的值是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -

12、- - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - - 1.5A2.5B8.5C9.5D【答案】C【解析】在角的终边上任取一点(3, 4)P，则有5r，则原式44398()554255，故选C. 举一反三：【变式】已知角的终边过点( ,2 )(0)aa a，求sin、cos、tan的值【解析】22(2 )5 |raaa（1）当0a时，5ra，2 5sin5，5cos5，tan2；（2）当0a时，5ra，2 5sin5，5cos5，tan2.【课堂练习】1角 的终边在第一、三象限的角平分线上，角的集合可写成2已知角 的余弦线是单位长度的有向线

13、段，那么角的终边( ) A在 x 轴上B在 y 轴上C在直线y=x 上D在直线 y=x 上 3已知角 的终边过点p(5，12)，则 cos= ，tan = 4tan(3)cot5cos8的符号为5若 costan0，则 是( ) A第一象限角B第二象限角C第一、二象限角D第二、三象限角【课后检测】1 已知 是钝角，那么2是（）A第一象限角B第二象限角C第一与第二象限角D不小于直角的正角2 角的终边过点P（ 4k，3k）(k 0，则 cos的值是（）A3 5B45C35D453已知点 P(sincos，tan)在第一象限， 则在 0，2内，的取值范围是( ) A( 2，34)(，54) B( 4

14、，2)(，54) C( 2，34)(54，32) D( 4，2)(34，) 4若 sinx= 35，cosx =45，则角 2x 的终边位置在( ) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 41 页 - - - - - - - - - 5若 4 6，且 与23终边相同，则 = 6 角终边在第三象限，则角2终边在象限7已知 tanx=tanx，则角 x 的集合为8如果 是第三象限角，则cos(sin)sin(

15、sin)的符号为什么？9已知扇形AOB 的周长是 6cm，该扇形中心角是1 弧度，求该扇形面积参考答案：【课堂练习】1 |=k+ 4， kZ 2 A 3.513，12545 C 【课后检测】1 A 2 B 3 B 4 D 51636一、二72k + 2x2k+或 2k+32x2k+2 ， kZ 8负9 2cm2第 2 课同角三角函数的关系及诱导公式【学习目标】掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2+cos2=1，sincos=tan，tancot=1，掌握正弦、 余弦的诱导公式能运用化归思想 （即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题【考点梳理】考点一、同角三角函数间的

16、基本关系式 1. 平方关系：222222sincos1;sec1tan;csc1cot. 2. 商数关系：sincostan;cotcossin. 3. 倒数关系：tancot1;sincsc1;cossec1要点诠释：同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 41 页 - - - - - - - - - 数值；（ 2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. 三角变换中要注意

17、“1”的妙用， 解决某些问题若用 “1”代换，如221sincos，221sectantan45，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式1.2(), 2kkZ的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号. 2. 2，23的三角函数值等于的互余函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值所在象限的符号. 要点诠释：1、诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为090角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是2的奇数倍、偶数倍）”这个口诀进行记忆. 2、在

18、利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号。3、三角变换一般技巧有切化弦，降次，变角，化单一函数，妙用 1，分子分母同乘除，类型三、诱导公式例4. 已知33)6cos(，求)6(sin)65cos(2的值 . 【答案】233【解析】)6(sin)65cos(22cos()sin ()6622cos()sin ()cos()1cos ()666631231333. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 41 页 - - - - - - - -

19、- 举一反三：【变式 1】计算：sin330cos240【答案】1【解析】原式sin(36030 )cos(180+60 =sin30cos601）. 【变式 2】化简sin()cos()44. 【答案】0【解析】原式sin()cos()sin()sin()042444. 类型四、同角三角函数的基本关系式例 5已知1sincos5，且0求sincos、sincos的值；【答案】1225；75【解析】 方法一： 由1sincos5可得：221sin2sincoscos25，即112sincos25，12sincos251sincos5，12sincos25sin、cos是方程21120525xx

20、的两根，4sin53cos5或3sin54cos50，sin0，4sin5，3cos5，7sincos5方法二： 由1sincos5可得：221sin2sincoscos25，即112sincos25，12sincos250，sin0，cos0，sincos0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 41 页 - - - - - - - - - 由21249sincos12sincos122525（）7sincos5举一反三：【变式】已知2sin

21、cos2，求2211sincos的值 . 【答案】16【解析】由2sincos2可得：221sin2sincoscos12sincos2；于是1sincos4，22222211sincos16sincossincos例 6已知2sincos0，求下列各式的值（1）4sin3cos2sin5cos；（ 2）222sin3sincos5cos【答案】54；125【解析】由2sincos0得1tan2，（1）原式4sin3coscos2sin5coscos4tan353tan54；（2）原式2222112cos(2 tan3tan5)(2 tan3tan5)1tan5举一反三：【变式】已知tan2，

22、求值（1）sincossincos；（ 2）212sincoscos【答案】13；53【解析】（1）原式sincoscossincoscostan11tan13；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 41 页 - - - - - - - - - （2）原式22212sincoscoscos()cos21tan52 tan13【 课堂练习】1sin2150 +sin2135+2sin210+cos2225的值是( ) A14B34C114D94

23、2已知 sin(+)=35，则( ) Acos= 45Btan= 34Ccos= 45Dsin()= 353已 tan=3，4sin2cos5cos3sin的值为4化简1+2sin( -2)cos(+2) = 5已知 是第三象限角，且sin4+cos4 = 59，那么 sin2等于( ) A22 3B2 2 3C23D23【课后反馈】1sin600的值是（）A12B12C3 2D3 22 sin(4+)sin（4 ）的化简结果为（）Acos2B12cos2Csin2D12sin23已知 sinx+cosx=15， x 0， ，则 tanx 的值是（）A34B43C43D34或434已知 tan

24、=13，则12sincos+cos2= 512sin10cos10cos101cos2170的值为6证明1+2sincoscos2sin2=1+ tan1tan名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 41 页 - - - - - - - - - 7已知2sin+cossin 3cos= 5，求 3cos2+4sin2的值8已知锐角 、满足 sin+sin=sin ，cos cos=cos，求 的值参考答案：【 课堂练习】1 A 2 D 3574

25、sin2cos2 5 A 【课后反馈】1 D 2 B 3 B 41035 1 6 略77583第 3 课两角和与两角差的三角函数（一）【学习目标】掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【知识梳理】一两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscos cossinsin；coscos cossinsin；sinsincoscos sin；sinsincoscos sin；tantantan1 tantan（tantantan1tantan）；tantantan1 tantan（tantantan1tantan）二二倍角的正

26、弦、余弦和正切公式：sin22sincos2222cos2cossin2cos11 2sin（2cos21cos2，21cos2sin2）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 41 页 - - - - - - - - - 22tantan21tan22cos1sin;22cos1cos:)4(22降幂公式半角公式sincos1cos1sincos1cos122cos12sin;2cos12cos:)5(tg2121cos;2122sin:)6

27、(222万能公式tgtgtgtg三辅助角公式22sincossin，其中tan注：（）这些公式既可以从左向右运用，也可以从右向左运用（）要会把一个角分成两个角的和与差（）在一个十字中，若既有正余弦又有正切，一般是先切化弦，而后在计算【解题技巧】：1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、遇见切，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；6、见 2sin ，想拆成 sin+sin；7、见 sincos或 sin+sin=p 及 cos+cos=q，想两边平方或和差化积。8、见 asin +bcos，想化为形式)

28、sin(22ba。9、见 coscoscos，先运用sin22sincos，若不行，则化和差。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 41 页 - - - - - - - - - 【典型例题】例 1 已知 sin sin =13，coscos=12，求 cos( ) 的值分析由于 cos( )=coscos+sinsin 的右边是关于sin、cos、sin、cos的二次式，而已知条件是关于sin、sin、cos、cos的一次式，所以将已知式两边

29、平方解 sinsin=13，coscos= 12，22，得 22cos()= 1336cos( )= 7259【 点评】审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异例 2 求2cos10 -sin20 cos20 的值分析式中含有两个角，故需先化简注意到10=30 20，由于30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角解10=30 20，原式 =2cos(30-20)-sin20 cos20= 2(cos30cos20+sin30sin20)-sin20cos20= 3 cos30cos20=3 【 点评】化异角为同角，是三角变换中常用的方法例 3 已知： sin(2 + )= 2sin 求

30、证： tan =3tan( +) 分析已知式中含有角2+和，而欲求式中含有角和 + ，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角解2 +=(+)+，=(+)，sin(+)+=2sin(+ )sin(+)cos+cos(+)sin=2sin(+)cos+2cos(+ )sin若 cos(+ )0 ，cos0，则 3tan(+ )=tan【 点评】审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将+看成一个整体【注意】审题中， 要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想例 4 求下列各式的值（1）tan10 tan50+3 tan10tan50；

31、(2) （3 tan12-3） csc124cos 212-2(1)解原式=tan(10+50)（1tan10tan50） +3 tan10tan50 =3 （ 2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 41 页 - - - - - - - - - 解原式= （3 sin12cos123）1sin122 cos24=24cos212sin312cos3=48sin21)12cos2

32、312sin21(3224cos12cos12sin212cos312sin3=.3448sin)6012sin(34【 点评】 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B) （1tanAtanB ）， asinx+bsinx=22basin(x+)的运用；（ 2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法例 5 求证1+sin4 -cos4 2 tan = 1+sin4 +cos4 1-tan2分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式由欲证的等式可知，可先证等

33、式1+sin4-cos41+sin4+cos4=2tan1-tan2，此式的右边等于tan2，而此式的左边出现了“1cos4”和“ 1+cos4”，分别运用升幂公式可出现角2，sin4用倍角公式可出现角2，从而等式可望得证证略【 点评】注意倍角公式cos2=2cos21， cos2=12sin2 的变形公式：升幂公式1+cos2=2cos 2， 1cos2 =2sin2 ，降幂公式sin2= 1-cos22，cos2= 1cos22的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等例 6 已知 cos(4+x)= 35，1712 x74，求sin2x sin

34、2xtanx 1-tanx的值解 原式 = sin2x（1tanx）1-tanx=sin2x tan4tanx1-tan4tanx=sin2xtan （4+x）= cos2(x+4)tan(x+4)= 2cos2(x+ ) 1tan（4+x）1712x74， 53x+42sin(4+x) = 45， tan（4+x ）=43原式= 2875名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 41 页 - - - - - - - - - 【点评】（1）注意两

35、角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan4等；（3）注意化同角，将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+ 4【注意】在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B) 1 tanAtanB ；asinx+bcosx=22basin(x+ )及升幂、降幂公式的运用【 课堂练习 1】1cos105的值为（）A6 2 4B6 2 4C2 6 4D6 2 42对于任何 、（ 0，2） ，sin(+ )与 sin+sin的大小关系是（）Asin(+) sin+sinBsin(+)sin+sinCsin(+)=sin +sin

36、D要以 、的具体值而定3已知 32，sin2=a，则 sin+cos等于（）Aa+1 Ba+ 1 Ca2+ 1 Da2+ 1 4已知 tan=13， tan=13，则 cot(+2)= 5已知 tanx=12，则 cos2x= 【 课堂练习 2】求下列各式的值1cos200cos80+cos110cos10= 212（cos15+3 sin15） = 3化简 1+2cos2cos2= 4cos(20+x)cos(25 x)cos(70 x)sin(25 x)= 511tan11tan= 【课后反馈1】1已知 02，sin=35，cos(+)=45，则 sin等于（）A0 B0 或2425C24

37、25D0 或24252sin7+cos15sin8cos7 sin15sin8的值等于（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 41 页 - - - - - - - - - A2+3 B2+3 2C23 D23 23 ABC 中， 3sinA+4cosB=6 ，4sinB+3cosA=1 ，则 C 的大小为（）A6B56C6或56D3或234若 是锐角，且sin(6)= 13，则 cos的值是5cos7cos27cos37= 6已知 tan=

38、12， tan=13，且 、都是锐角求证：+=457已知cos()=45，cos(+)= 45，且（ ）（2，） ，+（32，2 ） ，求 cos2、cos2的值8 已知 sin(+ )= 12，且 sin(+)= 13，求tantan【课后反馈2】1cos75+cos15的值等于（）A6 2B 6 2C2 2D2 22a=2 2（sin17+cos17） ，b=2cos213 1，c= 2 2，则（）Acab Bbca Cabc Db ac 3化简1+sin2-cos21+sin2+cos2= 4化简 sin(2+)2sincos( +)= 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

39、 - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 41 页 - - - - - - - - - 5在 ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列， 则 tanA2+tanC2+3 tanA2tanC2的值为6化简 sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B) 7 化简 sin50(1+3 tan10)8 已知 sin(+)=1，求证： sin(2+)+sin(2 +3)=0参考答案：【 课堂练习 1】1 C 2 B 3 B 412535【 课堂练习 2】11222 23 2 42 25tan

40、2【课后反馈1】1 C 2 C 3 A 426 165186略7 cos2=725，cos2=1 815【课后反馈2】1 A 2 A 3 tan 4 sin53 6 sin2（AB） 7. 1 8 .略名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 41 页 - - - - - - - - - 第 4 课三角函数的图象与性质（一）【学习目标】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质【典型例

41、题】例 1 （1）函数xxysi n21)t a n1l g (的定义域为(2) 若、为锐角， sin cos，则 、满足（）A B C+2D +2分析（1）函数的定义域为0.2sinx-10,tanx-1(*) 的解集，由于y=tanx 的最小正周期为 ， y=sinx 的最小正周期为2，所以原函数的周期为2， 应结合三角函数y=tanx和 y=sinx 的图象先求出(2，32)上满足（ * ）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为x 2k2x2k+6，或 2k+ 56 x2k+54，kZ 分析（ 2）sin、cos不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cos转化成 sin(2)，运用

42、y=sinx 在 0，2的单调性，便知答案为C【 点评】（ 1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小例 2 判断下列函数的奇偶性：(1) xxxycos1cossin； (2).cossin1cossin1xxxxy分析讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(x)f(x) 或 f(x) 解 （1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2x2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数（2）定义域不关于原点对称（如x=2，但

43、x2），故不是奇函数，也不是偶函数【 点评】将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性例 3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x6)sin(2x+ 3) ； (2) .)32cos(2cos)32sin(2sinxxxxy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 41 页 - - - - - - - - - 分析对形如y=Asin( x+)、y=Acos( x+)和 y=Atan( x+)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简解

44、（1）y=sin(2x 6)sin(2x+ 26)= 12sin(4x3)，所以最小正周期为24= 2（2）y=23)2(sin21)2(cos2cos23)2(cos21)2(sin2sinxxxxxx=xxxx2sin232cos232cos232sin23=).62tan(2tan331332tan2tan312tan3xxxxx是小正周期为2【 点评】求复杂函数的周期，往往需先化简， 其化简的目标是转化成y=Asin( x+)k 或 y=Acos( x+) k 或 y=Atan( x+) k 的形式 （其中 A、k 为常数，0）例 4 已知函数f(x)=5sinxcosx 53cos2

45、x+235 (x R) (1) 求 f(x)的单调增区间；（2）求 f(x) 图象的对称轴、对称中心分析函数表达式较复杂，需先化简解 f(x)= 52sin2x531+cos2x2235=5sin(2x3)（1）由 2k2 2x32k+2，得 k12，k+512（ kZ）为 f(x)的单调增区间（2）令 2x3=k+2，得 x= k2+512（kZ），则 x= k2+512（kZ）为函数y=f(x) 图象的对称轴所在直线的方程，令2x3=k，得 x=k2+6（kZ），y=f(x)图象的对称中心为点（k2 +6，0）（ kZ）【 点评】研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；

46、讨论y=Asin( x+)( 0)的单调区间，应将x+看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint 的单调性【注意】讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 41 页 - - - - - - - - - 角的同名三角函数问题讨论三角函数的单调性，解三角不等式， 要注意数形结合思想的运用注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个

47、周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决【 课堂练习】1若3 +2cosx 0，则 x 的范围是2下列各区间，使函数y=sin(x+ )的单调递增的区间是（）A2， B0，4C ，0D4，2 3下列函数中，周期为2的偶函数是（）Ay=sin4x By=cos22xsin22x Cy=tan2x Dy=cos2x 4判断下列函数的奇偶性（ 1）y=xsinx+x2cos2x 是函数；（ 2）y=sin2x xcotx 是函数；（ 3）y=sin(72+3x)是函数5函数 f(x)=cos(3x+ )是奇函数，则的值为【课后反馈】1函数 y

48、=lg(2cosx 1)的定义域为（）Ax 3x3 B x 6x6Cx 2k3x2k+3，kZ D x 2k6 x2k+6， kZ 2如果 、 （2， ） ，且 tancot，那么必有（）AB C+32D+323若 f(x)sinx 是周期为 的奇函数，则f(x) 可以是（）Asinx Bcosx Csin2x Dcos2x 4下列命题中正确的是（）A若 、是第一象限角，且 ，且 sinsinB函数 y=sinxcotx 的单调递增区间是（2k2，2k+2）， kZ C函数 y=1cos2xsin2x的最小正周期是2D函数 y=sinxcos2 cosxsin2的图象关于y 轴对称，则 =k2

49、4，kZ 5函数 y=sinx2+cosx2在（ 2，2 ）内的递增区间是6y=sin6x+cos6x 的周期为7比较下列函数值的大小：（1）sin2， sin3， sin4；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 41 页 - - - - - - - - - (2)cos2，sin2，tan2（42）8设 f(x)=sin(k5x+3) (k0) (1)写出 f(x) 的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；（2）试求最小的正整数k，使得当自

50、变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f(x) 至少有一个M 与 m第 6 课三角函数的图象与性质（二）【学习目标】了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin( x+)的图象，理解参数A、的物理意义掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式【 课堂练习】1将 y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1 个单位，所得图象对应的函数是（）Ay=cosx+1 By=cosx1 Cy=cosx+1 Dy=cosx1 2函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定