2022年上海高中数学——知识点总结 .pdf

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1、上海腾飞教育1 上海高中数学知识点总结一、集合与常用逻辑1集合概念元素：互异性、无序性2集合运算全集 U：如 U=R 交集：BxAxxBA且并集：BxAxxBA或补集：AxUxxACU且3集合关系空集A子集BA: 任意BxAxBABBABAABA注：数形结合 - 文氏图、数轴4四种命题原命题：若 p则q 逆命题：若 q则p 否命题：若p则q逆否命题：若q则p原命题逆否命题否命题逆命题5充分必要条件p 是 q 的充分条件：qPp 是 q 的必要条件：qPp 是 q 的充要条件： p? q 6复合命题的真值q 真（假） ? “q”假（真）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

2、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育2 p、q 同真? “pq”真p、q 都假? “pq”假7. 全称命题、存在性命题的否定M, p(x ）否定为 : M, )(XpM, p(x ）否定为 : M, )(Xp二、不等式1一元二次不等式解法若0a，02cbxax有两实根,)(，则02cbxax解集),(02cbxax解集),(),(注：若0a，转化为0a情况2其它不等式解法转化axaax22axaxax或ax22ax0)()(xgxf0)()(x

3、gxf)()(xgxfaa)()(xgxf（a1）)(log)(logxgxfaafxfxg x( )( )( )0（01a）3基本不等式abba222若Rba,，则abba2注：用均值不等式abba2、2)2(baab求最值条件是“一正二定三相等”名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育3 三、函数概念与性质1奇偶性f(x) 偶函数()( )fxf xf(x) 图象关于y轴对称f(x)

4、奇函数()( )fxf xf(x) 图象关于原点对称注：f(x) 有奇偶性定义域关于原点对称f(x) 奇函数, 在 x=0 有定义f(0)=0 “奇+奇=奇” （公共定义域内）2单调性f(x) 增函数： x1x2f(x1) f(x2) 或 x1x2f(x1) f(x2) 或0)()(2121xxxfxff(x) 减函数：？注：判断单调性必须考虑定义域f(x) 单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3周期性T是( )f x周期()( )f x Tf x恒成立（常数0T）4二次函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

5、 - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育4 解析式： f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x1)(x-x2) 对称轴：abx2顶点：)44,2(2abacab单调性： a0，2,(ab递减，),2ab递增当abx2，f(x)minabac442奇偶性： f(x)=ax2+bx+c 是偶函数b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数 f(x)=ax+b奇函数b=

6、0 四、基本初等函数1指数式)0(10aannaa1mnmnaa2对数式bNalogNab（a0,a1）NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglogabbmmalogloglogablglgnaabbnloglogablog1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育5 注：性质01loga1log aaNaNalog常用对数NN10loglg，1

7、5lg2lg自然对数NNelogln，1ln e3指数与对数函数 y=ax与 y=logax 定义域、值域、过定点、单调性？注：y=ax与 y=logax 图象关于 y=x 对称（互为反函数）4幂函数12132,xyxyxyxyxy在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1描点法函数化简定义域讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2图象变换平移： “左加右减， 上正下负”1010名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - -

8、- - - - - - 上海腾飞教育6 )()(hxfyxfy伸缩：)1()(xfyxfy倍来的每一点的横坐标变为原对称： “对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(xfyxfyxfyxfyxfyxfyyx原点轴轴注：)(xfyax直线)2(xafy翻折：)(xfy|( ) |yf x保留x轴上方部分，并将下方部分沿x轴翻折到上方y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyx)(xfy(|)yfx保留y轴右边部分，并将右边部分沿y轴翻折到左边y=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx3零点定理若0)()(bfaf，则)(xfy在),(ba内有零点（条件：)(xf

9、在,ba上图象连续不间断）注：)(xf零点：0)(xf的实根在,ba上连续的单调函数)(xf，0)()(bfaf则)(xf在),(ba上有且仅有一个零点二分法判断函数零点 -0)()(bfaf？六、三角函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育7 1概念第二象限角)2 ,22(kk(Zk) 2弧长rl扇形面积lrS213定义rysinrxcosxytan其中),(yxP是终边上一点，rP

10、O4符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如sin)2(Sin，sin)2/cos(6特殊角的三角函数值0 643223sin0 2122231 0 1cos1 2322210 10 tg0 331 3/ 0 / 7基本公式同角1cossin22tancossin和差sincoscossinsinsinsincoscoscostantan1tantantan倍角cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos2tan1tan22tan降幂 cos2=22cos1 sin2=22cos1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

11、 - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育8 叠加)4sin(2cossin)6sin(2cossin3)sin(cossin22baba)(tanba8三角函数的图象性质单调性：)2,2(增), 0(减)2,2(增y=sinx y=cosx y=tanx 图象sinx cosx tanx 值域-1 ，1 -1 ，1 无奇偶奇函数偶函数奇函数周期22对称轴2/kxkx无中心0,k0,2/k0 ,2/k名师归纳总结 精品学习资料 - - -

12、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育9 注：Zk9解三角形基本关系： sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos2sinCBA正弦定理：Aasin=Bbsin=CcsinARasin2CBAcbasin:sin:sin:余弦定理： a2=b2+c22bccosA（求边） cosA=bcacb2222（求角）面积公式： S21absinC 注：ABC中，A+B+C= ？BA

13、BAsinsina2b2+c2 ?A2七、数 列1、等差数列定义：daann 1通项：dnaan)1(1求和：2)(1nnaanSdnnna)1(211中项：2cab（cba,成等差）性质：若qpnm，则qpnmaaaa2、等比数列定义：)0(1qqaann名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育10 通项：11nnqaa求和：) 1(1)1 () 1(11qqqaqnaSnn中项：acb

14、2（cba,成等比）性质：若qpnm则qpnmaaaa3、数列通项与前n项和的关系)2()1(111nssnasannn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1向量加减三角形法则，平行四边形法则BCABAC首尾相接，OCOB=CB共始点中点公式：ADACAB2D是BC中点2向量数量积ba=cosba=2121yyxx注：ba ,夹角： 001800ba,同向：baba3基本定理2211eea（21,ee不共线- 基底）平行：ba /ba1221yxyx（0b）垂直：0baba02121yyxx模：a22yx22)(baba夹角：cos|baba名师归纳总结 精品

15、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育11 注：0acbacba（结合律）不成立cabacb（消去律）不成立九、复数与推理证明1复数概念复数：biaz(a,b)R，实部 a、虚部 b 分类：实数（0b） ，虚数（0b） ，复数集 C 注：z是纯虚数0a，0b相等：实、虚部分别相等共轭：biaz模：22baz2zzz复平面：复数 z 对应的点),(ba2复数运算加减： （a+bi ）(c+di)= ？乘法

16、： （a+bi ） （c+di ）=？除法：dicbia=)()(dicdicdicbia=乘方：12i，nirrkii43合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题小前题结论）4直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差变形判断结论反证法：反设推理矛盾结论名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育12 分析法：执果索因分析法书写格式：要证 A为真，只要证 B为

17、真，即证，这只要证 C为真，而已知 C为真，故 A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5数学归纳法：(1) 验证当 n=1 时命题成立 , (2) 假设当 n=k(kN* ，k 1) 时命题成立 , 证明当 n=k+1 时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围0,斜率2121tanyykxx注：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角倾斜角为90时，斜率不存在2、直线方程点斜式)(00 xxkyy，斜截式bkxy两点式121121xxxxyyyy，截距式1byax一般式0CByAx注意适

18、用范围：不含直线0 xx不含垂直x轴的直线不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育13 平行12kk且21bb垂直121k k垂直12120A AB B4、距离公式两点间距离： |AB|=221221)()(yyxx点到直线距离：0022AxByCdAB5、圆标准方程：222)()(rbyax圆心),(ba，半径r圆一般方程：022FE

19、yDxyx（条件是？）圆心,22DE半径2242DEFr6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系22020)()(rbyax点00,P xy在圆外7、直线截圆所得弦长222ABrd位置关系相切相交相离几何特征drdrdr代数特征000名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育14 十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|) 双曲线： |PF1|-|PF2|

20、= 2a(02ab0) 双曲线12222byax(a0,b0) 中心原点对称轴？焦点 F1(c,0) 、F2(-c,0) 顶点: 椭圆(a,0),(0, b)，双曲线 ( a,0) 范围: 椭圆-a x a,-by b 双曲线 |x| a ，yR 焦距：椭圆 2c（c=22ba）双曲线 2c（c=22ba）2a、2b: 椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率： e=c/a 椭圆 0e1 注：双曲线12222byax渐近线xaby方程122nymx表示椭圆nmnm.0,0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

21、- - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育15 方程122nymx表示双曲线0mn抛物线 y2=2px(p0) 顶点（原点）对称轴（ x 轴）开口（向右）范围 x 0 离心率 e=1 焦点)0,2(pF准线2px十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一程序框图程序框名称功能起止框起始和结束输入、输出框输入和输出的信息处理框赋值、计算判断框判断某一条件是否成立循环框重复操作以及运算名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - -

22、- - - - - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育16 二基本算法语句及格式1 输入语句： INPUT “提示内容”；变量2 输出语句： PRINT “提示内容”；表达式3 赋值语句：变量 =表达式4 条件语句“IFTHEN ELSE ”语句“IFTHEN ”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句 1 语句ELSE END IF 语句 2 END IF 5 循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE 条件 DO 循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三算法案

23、例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0 更相减损术：到达减数和差相等2、多项式 f(x)= anxn+an-1xn-1+.+ a1x+a0的求值秦九韶算法： v1=anx+an 1 v2=v1x+an2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育17 v3=v2x+an3 vn=vn 1x+a0注：递推公式 v0=an vk=vk1X+ank(k=1,2, n) 求 f(x)

24、值，乘法、加法均最多n 次3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：0111011.)(.akakakakaaaannnnnn十进制数转换成 k 进制数： “除 k 取余法”例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3 例 2 已知 f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，秦九韶算法求 f(5) 12324827 v0=2 4812721 v1=255=5 27 1216 v2=554=2121363 v3=215+3=108 623+0 v4=10856=534 v5=5345+7=2677 十三、立体几何1三视图正视图、侧视图、俯视图2直观图：斜二测画法X OY=45

25、0平行 X轴的线段，保平行和长度平行 Y轴的线段，保平行，长度变原来一半名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育18 3体积与侧面积V柱=S底h V锥 =31S底h V球 =34R3S圆锥侧=rl S圆台侧=lrR)( S球表=24 R4公理与推论确定一个平面的条件：不共线的三点一条直线和这直线外一点两相交直线两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应

26、平行，那么这两个角相等或互补。5两直线位置关系相交、平行、异面异面直线不同在任何一个平面内6直线和平面位置关系aaA/a7平行的判定与性质线面平行：ab，ab,aba，ba,a面面平行：AB，AC平面ABC，aa8垂直的判定与性质线面垂直：ABCpACpABp面,面面垂直：aa,ab名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育19 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直；

27、若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直三垂线定理：aPAaAOPO,aAOaPAPO,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？9空间角、距离的计算异面直线所成的角范围（0，90 平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角范围0 ，90 定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形二面角范围0 ，180 定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形点到平面的距离体积法 - 用三棱锥体积公式注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出10立体几何中的向量解法法向量求法：设平面ABC的法向量n=（x,y ）0,0,ACnABnA

28、CnABn解方程组，得一个法向量n线线角：设12,n n是异面直线12,l l的方向向量，aPOAABC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育20 12,ll所成的角为，则21,coscosnn即12,l l所成的角等于21,nn或12,n n线面角：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，AB与平面所成的角为，则nABnABABn,cossin二面角：设12,n n是面,的法向量，

29、二面角l的大小为，则21,coscosnn或21,cosnn即二面角大小等于21,nn或12,n n点到面距离：若n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，且B，则点A到平面的距离AB ndn十四、计数原理1. 计数原理加法分类，乘法分步2排列组合差异- 排列有序而组合无序公式mnA=)1() 1(mnnn=！)(mnnmnC=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn关系：mnmnCmA！性质：mnC=mnnCnnnnnnCCCC22103排列组合应用题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

30、 - - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育21 原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般解法：相邻问题“捆绑法” ，不相邻“插空法”复杂问题“排除法”4二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(特例1(1)1nrrnnnxC xC xx通项rrnrnrbaCT1)210(nr，注rnC- 第1r项二项式系数性质：所有二项式系数和为n2中间项二项式系数最大赋值法：取1,1 ,0 x等代入二项式十五、概率与统计1古典概型：()mP An（总的基本事件个数包含的基本事件个数A）求基本事件个

31、数：列举法、图表法2几何概型：P A积）区域总长度（面积或体积）的区域长度（面积或体A注：试验出现的结果无限个3加法公式：若事件A和B互斥，则P ABP AP B1P AP A互斥事件 :不可能同时发生的事件对立事件 :不同时发生，但必有一个发生的事件4常用抽样（不放回）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 上海腾飞教育22 简单随机抽样：逐个抽取（个数少）系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）

32、分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）5用样本估计总体众数：出现次数最多的数据中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）平均数：niixnx11方差)(112niixxnS标准差s6频率分布直方图小长方形面积 =组距组距频率=频率各小长方形面积之和为1 众数最高矩形中点的横坐标中位数垂直于x轴且平分直方图面积的直线与x轴交点的横坐标茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如众数、中位数、平均数等名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -