2022年专题：基本不等式常见题型归纳 .pdf

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1、第 1 页 共 9 页专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号三个不等式关系：（1）a， bR，a2b22ab，当且仅当ab 时取等号（2）a， bR，ab2ab，当且仅当a b 时取等号（3）a， bR，a2b22(ab2)2，当且仅当a b 时取等号上述三个不等关系揭示了a2b2，ab ，ab 三者间的不等关系其中，基本不等式及其变形：a，bR，ab2ab(或 ab(ab2)2)，当且仅当ab 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例 1】已知1ba且7log3log2abba，则112ba的

2、最小值为. 练习： 1 若实数满足， 且， 则的最小值为2.若实数,x y满足133(0)2xyxx，则313xy的最小值为3.已知0,0,2abc，且2ab，则522acccbabc的最小值为. 【典例 2】已知 x，y 为正实数，则4x4xyyxy的最大值为【典例 3】若正数a、b满足3abab,则ab的最小值为 _. 变式： 1.若,a bR,且满足22abab,则ab的最大值为 _. 2.设0, 0 yx，822xyyx，则yx2的最小值为 _ 3.设Ryx,，1422xyyx，则yx2的最大值为 _ 4.已知正数 a ，b满足195abab，则ab的最小值为,x y0 xy22log

3、log1xy22xyxy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 9 页【题型二】含条件的最值求法【典例 4】已知正数yx,满足1yx，则1124yx的最小值为练习 1已知正数yx,满足111yx，则1914yyxx的最小值为. 2.已知正数满足，则的最小值为3已知函数(0)xyab b的图像经过点(1,3)P，如下图所示，则411ab的最小值为. 4己知a，b 为正数，且直线与直线互相平

4、行，则 2a+3b 的最小值为 _5.常数 a， b 和正变量x， y 满足 ab 16，ax2by12. 若 x 2y 的最小值为64， 则 ab_.6.已知正实数,a b满足12122ab bba a，则ab的最大值为, x y22xy8xyxy60axby2(3)50 xby名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 9 页【题型三】代入消元法【典例 5】 （苏州市2016 届高三调研

5、测试14）已知14ab，,(0,1)a b，则1211ab的最小值为练习 1设实数x，y 满足 x22xy10，则 x2y2的最小值是名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 9 页2已知正实数x，y 满足，则 x + y 的最小值为3已知正实数, x y满足 (1)(1)16xy，则 xy 的最小值为4.若2,0 ba，且3ba，则使得214ba取得最小值的实数a= 。5.设实数 x、y

6、 满足 x22xy10，则 x y 的取值范围是_ 6.已知Rzyx,，且1zyx，3222zyx，求xyz的最大值为 _ 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 9 页【题型四】换元法【典例 6】已知函数f(x)ax2x b(a，b 均为正数 )，不等式 f(x)0 的解集记为P，集合 Qx| 2tx 2 t若对于任意正数t，PQ ，则1a1b的最大值是2已知正数a， b，c 满足 b

7、+c a，则+的最小值为练习 1若实数x，y 满足 2x2xyy21，则的最大值为2设是正实数 ,且,则的最小值是 _. 3.若实数 x，y 满足 2x2xyy21，则x 2y5x2 2xy2y2的最大值为244若实数满足222522xyxxyy, x y1xy2221xyxy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 9 页，当取得最大值时，的值为.名师归纳总结 精品学习资料 - - -

8、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 9 页【题型五】 判别式法【典例 7】已知正实数x，y 满足24310 xyxy，则 xy 的取值范围为练习1.若正实数满足名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 9 页，则的最大

9、值为2.设Ryx,，1322xyyx，则yx2的最大值为 _ 变式 1在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A，(0 1)B， ，()C ab，()D cd，若不等式2(2)() ()CDmOC ODm OC OBOD OAuuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruur对任意实数abcd， ，都成立，则实数m的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精

10、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 9 页),0()(2Rxacbxaxxf,有1）0)(xf对Rx恒成立00a2）0)(xf对Rx恒成立.00a分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag2）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作

11、参数，则可简化解题过程。2设二次函数cbxaxxf2（cba,为常数）的导函数为xf对任意Rx，不等式xfxf恒成立，则222cab的最大值为【题型六】分离参数法【典例 8】 已知 x0， y0， 若不等式 x3+y3 kxy （x+y） 恒成立，则实数 k 的最大值为 _ 练习 1已知对满足42xyxy的任意正实数, x y，都有22210 xxyyaxay，则实数a的取值范围为. 2若不等式x22xya(x2y2)对于一切正数x，y 恒成立， 则实数 a 的最小值为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -