2022年专题九解三角形典型例题及详解 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载专题九解三角形的必备知识和典型例题一、知识必备：1直角三角形中各元素间的关系：在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。 （勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sinAcosBca，cosAsinBcb，tanAba。2斜三角形中各元素间的关系：在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等RCcBbAa2sinsinsin（R为外接圆半径）（3）余弦定理： 三角形任何一边的平

2、方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。 3三角形的面积公式：（1）S21aha21bhb21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）S21absinC21bcsinA21acsinB；4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边） 求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地， 这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他

3、的两边及一角. 第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角. 第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5三角形中的三角变换名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（ 1）角的变换因为在 ABC中， A+B+C= ， 所以 sin(A

4、+B)=sinC； cos(A+B)= cosC； tan(A+B)= tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（ 2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 . 6求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（ 4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 1 （1）在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形；（2）在ABC中，已知20acm ，28bcm，

5、040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm） 。解： （1）根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8 )066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA（2）根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为00B0180，所以064B，或0116 .B当064B时，00000180() 180(4064 )76CAB，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

6、- - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载00sin20sin7630().sinsin40aCccmA当0116B时，00000180() 180(40116 )24CAB，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形； （2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型 2：三角形面积例 2在ABC中，sincosAA22，AC2，3AB，求Ata n

7、的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A, 4560 ,105.AA13tantan(4560 )2313A, .46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。解法二：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA22名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

8、- 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载21(sincos )212sincos20180 ,sin0,cos0.1(sin 2)2AAAAAAAA另解23cossin21)cos(sin2AAAA, sincosAA62+得sin A264。得cos A264。从而sin264tan23cos426AAA。以下解法略去。点评： 本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在ABC中，a、b、c分别是A、B、C

9、的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及cBbsin的值。分析：因给出的是a、 b、c 之间的等量关系，要求A，需找 A 与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac 可变形为cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=bcacb2222=bcbc2=21，A=60。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4

10、 页，共 6 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载在ABC中，由正弦定理得sinB=aAbsin，b2=ac，A=60，acbcBb60sinsin2=sin60 =23。解法二：在ABC中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。cBb sin=sinA=23。评述： 解三角形时， 找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型 4：正、余弦定理判断三角形形状例 4在ABC中，若 2cosBsinAsinC ，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等

11、边三角形答案： C 解析： 2sinAcosBsinC =sin （AB）=sinAcosB+cosAsinB sin （AB） 0，AB另解：角化边点评： 本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型 5：正余弦定理的实际应用例 6 （2009 辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得 B点和 D点的仰角分别为075，030，于水面 C处测得 B点和 D点的仰角均为060，AC=0.1km 。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B， D的距离（计算结

12、果精确到0.01km，21.414 ，62.449 ）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载解: 在ABC中， DAC=30 , ADC=60 DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=180 6060=60，故 CB是CAD底边 AD的中垂线，所以BD=BA ，在ABC中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60因此， BD=。km

13、33.020623故 B，D的距离约为0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C） ，由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c） ，应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A） ，应用正弦定理求B，由A+B+C= 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角学中的射影定理：在ABC 中，AcCabcoscos，3两内角与其正弦值：在ABC 中，BABAsinsin，4解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -