全套更高更妙的物理竞赛竞赛电阻等效方法.ppt

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1、全套更高更妙的物理竞赛课件竞赛课件电阻等效方法现在学习的是第1页，共26页 对称法对称法 电流叠加法电流叠加法 Y-变换法变换法 对具有一定对称性的电路对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对称电路的通过对等势点的拆、合，对称电路的“折叠折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。，将电路简化为基本的串并联电路。 直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所有电直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流分布，总源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就是电流的可叠可

2、归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就是电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称问题转化成具有对加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称问题转化成具有对称性的问题加以解决称性的问题加以解决 。利用利用Y型联接电阻与型联接电阻间等价关系的结论，通过电型联接电阻与型联接电阻间等价关系的结论，通过电阻阻Y型联接与型联接方式的互换，达到简化电路成单纯串联或并联的目的型联接与型联接方式的互换，达到简化电路成单纯串联或并联的目的 现在学习的是第2页，共26页解解: :ABCDE

3、FHGACBDEGFH3343ACR RRRRR 则则AC间等效电阻间等效电阻: 如图所示，如图所示，12个阻值都是个阻值都是R的电阻，组成一立方体框架的电阻，组成一立方体框架，试求，试求AC间的电阻间的电阻RAC 、AB间的电阻间的电阻RAB与与AG间的电阻间的电阻RAG 现在学习的是第3页，共26页ABCDEFHGAB间等效电阻间等效电阻:EGFHABCD2RR222.5222.5712ABRRRRRRRRRRRR 则则现在学习的是第4页，共26页ABCDEFHGAG间等效电阻间等效电阻:FHCABEDG6R3R3R56AGRR 则则现在学习的是第5页，共26页解解: :AB02r电源外电

4、路电源外电路等效电阻等效电阻:000002.55240.577ABrrRrrr 通过电源的电流由通过电源的电流由6.0A40/71.05A ABIR 如图所示的正方形网格由如图所示的正方形网格由24个电阻个电阻r0=8的电阻丝构成，的电阻丝构成，电池电动势电池电动势=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流，内电阻不计，求通过电池的电流 现在学习的是第6页，共26页 波兰数学家谢尔宾斯基波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形他将如图年研究了一个有趣的几何图形他将如图1所示所示的一块黑色的等边三角形的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被的每

5、一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图2的图形；接着的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图3的图的图形经三次分割后，又得到图形经三次分割后，又得到图4的图形这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯的图形这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图基镂垫它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图

6、4中的中的BJK）适当放大后，就得到图）适当放大后，就得到图2的图形如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被的图形如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空不断地镂空 图图1 图图2 图图3 图图4 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分形几分形几何学何学”的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展的物理领域，取得了有意义的

7、进展 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图电阻问题：设如图1所示的三角形所示的三角形ABC边长边长L0的电阻均为的电阻均为r；经一次分割得到如图；经一次分割得到如图2所示的图形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如的二分之一；经二次分割得到如图图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长

8、的电阻r的四分之一的四分之一；三次分割得到如图；三次分割得到如图4所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的八的八分之一分之一 试求经三次分割后，三角形试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻 试求按此规律作了试求按此规律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGI J现在学习的是第7页，共26页解解: :对三角形对三角形ABC,任意两点间的电阻任意两点间的电阻 r023

9、Rr A BC对分割一次后对分割一次后的图形的图形 2r1635925Rrr 56r对分割二次后对分割二次后的图形的图形 512r256r 225623Rr 可见可见, ,分割三次后分割三次后的图形的图形 331252235634rrR 2536nnRr 递推到分割递推到分割n次后的图形次后的图形 现在学习的是第8页，共26页 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为每一弧线段电阻丝的电阻均为r试求试求A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻 小试身手题小试身手题9 9解解: :ABABBABAr34ABRr AB现在学习的是第9

10、页，共26页AB 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图，试求图中中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB 小试身手题小试身手题1212解解: : 三个金属圈共有六个结点，每四分之一弧长三个金属圈共有六个结点，每四分之一弧长的电阻的电阻R/4. . 将三维金属圈将三维金属圈“压扁压扁”到到ABAB所在所在平面并平面并“抻直抻直”弧线成下图弧线成下图4R8RBA882882ABRRRRRRR 548R 4R现在学习的是第10页，共26页 正四面体框架形电阻网络

11、如图所示，其中每一小段电阻均正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小段电阻均为为R试求试求RAB和和RCD 小试身手题小试身手题1515解解: :34ABRr BAEF2R4R2R2RABHIE乙乙2R2RDCIGHL甲甲甲甲BAFDCIGHLEDC丙丙2R2R2R2R38CDRr 现在学习的是第11页，共26页解解: :解题方向解题方向:由于对称，可将由于对称，可将ABAB中垂线上各电势点拆分，原电路变中垂线上各电势点拆分，原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基本单换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基本单元如图丙元如图丙BBnAnnA nB RxR

12、RRR2R丙丙BA甲甲AABAB乙乙当当n时，多一个单元，只是使时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即按边长同比增大，即 222222222xxxxxRRRRRRRRRRRRR 713xRR 713ABaR 试求框架上试求框架上A、B两点间的电阻两点间的电阻RAB此框架是用同种细金属制作的，单此框架是用同种细金属制作的，单位长度的电阻为位长度的电阻为一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，如图所示取一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，如图所示取AB边长为边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半以下每个三角形的边长依次减少一半 小试身手题小试身手题5 5现在学习的是第12页，共2

13、6页解解: :解题方向解题方向:将原无限长立体正三棱柱框架沿左、将原无限长立体正三棱柱框架沿左、右递缩为三棱台再右递缩为三棱台再“压压”在在AB所在平面，各电所在平面，各电阻连接如图阻连接如图 ABC2rr23r3r33rxrxrx 由由3216xr AB2 2121ABrR 如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已知每如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已知每一段电阻丝的电阻均为一段电阻丝的电阻均为r，试求，试求A、B两点之间的总电阻两点之间的总电阻 小试身手题小试身手题1111ABC返回返回现在学习的是第13页，共26页解解: :ABABOO2I8IABO2 4I52 4I52842

14、422ABIRIRIRII 2924ABRR 田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R，试求网络中试求网络中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB R2R现在学习的是第14页，共26页 如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两个结点的导如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两个结点的导线的电阻为线的电阻为r0，如果将，如果将A和和B接入电路，求此导线网的等效电阻接入电路，求此导线网的等效电阻RAB 解解: :BA044ABIrIRI 02ABRr 现在学习的是第15页，共26页解解: :ba006336abIIIIRRIR 0

15、abRR 有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为R0，求间位结点，求间位结点a、b间的等效间的等效电阻电阻 现在学习的是第16页，共26页 如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，两点接入电路中时，AB间的电阻间的电阻RAB 小试身手题小试身手题4 4解解:

16、:AB66ABIIIRR 3ABRR 现在学习的是第17页，共26页 半径为半径为R的薄壁导电球由连在的薄壁导电球由连在A、B两点上的（两点上的（AOBO，O点是球心）两点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为根细导线接到直流电源上，如图通过电源的电流为I0问在球面上问在球面上C点处（点处（OCOA，OCOB）电荷朝什么方向运动？若在电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作两个小标志，使它们相距点附近球面上作两个小标志，使它们相距R1000，其连线垂，其连线垂直电荷运动方向问总电流中有多大部分通过这两标志之连线？直电荷运动方向问总电流中有多大部分通过这两标志之连线？ 小试身手题

17、小试身手题6 6解解: :BAB A Ci1i2C处单位长度上电流处单位长度上电流0212 2cIiR C处垂直于电荷运动方向上处垂直于电荷运动方向上一段弧是的电流为一段弧是的电流为0212 21000IRiR 024000I 现在学习的是第18页，共26页 如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为2r，求，求A、B间的电阻间的电阻 小试身手题小试身手题1010解解: :ABBACC15I1115I415IBA815I715IC215I1151072415151515ABRrIIIr 2ABRr 2rr4r返回返回现在学习的是第19页，共26

18、页ACIAIc甲甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙乙RaRbRcbIbA CA BAA BA CB CB ABA BB CC AC BCC AB CUUIRRUUIRRUUIRR 0a baabba caaccb cbbccabcUIRIRUIRIRUIRIRIII abcacbaacabbcU RU RIR RR RR R AaBbCcIIIIII ABabACacBCbcUUUUUU bcabacbacabbcU RU RIR RR RR R cabcbacacabbcU RU RIR RR RR R abcacbacabbcU RU RR RR RR R bcabacacabbc

19、U RU RR RR RR R cabcbaacabbcU RU RR RR RR R 1cacabbcABRR RR RR RR 1bacabbcACRR RR RR RR 1aacabbcBCRR RR RR RR Y变换变换 YYYABBCcaACbRRRRRR Y变换变换 ABACABBCACBCabcRRRRRRRRR ABBCACRRR 现在学习的是第20页，共26页解解: :abBAdcDCAB4r AB间等效电阻间等效电阻:cabO/2r/2r/4r2rr1.5r1.25rOBAC2Y6r 24 /5r4r4rABR 242445245525242445245525r 4780

20、r 如图所示如图所示,一个原来用一个原来用12根相同的电阻丝构成的立方体框架，根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为每根电阻丝的电阻均为r，现将其中一根拆去，求，现将其中一根拆去，求A、B两点间的电阻两点间的电阻 244acbr rr rrRRRr 221.264451.2655ACABBCRRrrrrrR r现在学习的是第21页，共26页 如图所示如图所示,甲中三端电容网络为型网络元，乙中三端电甲中三端电容网络为型网络元，乙中三端电容网络为型网络元，试导出其间的等效变换公式容网络为型网络元，试导出其间的等效变换公式 小试身手题小试身手题1 1解解: :ACqAqC甲甲BqBCA

21、BCACCBC乙乙acqaqcbqbCbCaCcOAaBbCcqqqqqq ABabACacBCbcUUUUUU AABABACACBBAABBCBCCCACACBBCqUCUCqUCUCqUCUC0abababacacacabcqqUCCqqUCCqqqY变换变换 YYYabbcacABBCCAC CC CCCCCC Y变换变换 abBCCAABcCCCCCCYabcCCC ABACBABCCBCACCCCCC 现在学习的是第22页，共26页小试身手题小试身手题2 2解解: :RABR/3R/8R/2R/6ABR 1511R 电阻均为电阻均为R的九个相同的金属丝组成构架如图所示的九个相同的金

22、属丝组成构架如图所示，求构架上，求构架上A、B两点间电路的电阻两点间电路的电阻 现在学习的是第23页，共26页 如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱柱框架，如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱柱框架，每根导线的电阻为每根导线的电阻为R，导线之间接触良好，求，导线之间接触良好，求BD之间的电阻值之间的电阻值 小试身手题小试身手题3 3解解: :BDRBR/3DR/62R/32R/15312231512BDRR 1115R 现在学习的是第24页，共26页小试身手题小试身手题1414解解: :AB2RRR/8R/4ABR131118421242R 4722R 如图所示，由电阻丝构成的网络中，每一段电阻如图所示，由电阻丝构成的网络中，每一段电阻丝的电阻均为丝的电阻均为R，试求，试求RAB 现在学习的是第25页，共26页 由由7个阻值相同的均为个阻值相同的均为r的电阻组成的网络元如图所示，的电阻组成的网络元如图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图所示，试求由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图所示，试求P、Q两点之间的两点之间的等效电阻等效电阻 小试身手题小试身手题1313解解: :Rxrr/4r/2534225342xxxxxR rrrRrrRR rrrRr 55515xRr rrrrrrrPQ现在学习的是第26页，共26页