全同粒子及二次量子化.ppt

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1、现在学习的是第1页，共75页5.1 全同粒子量子力学的特征之一是不能区分亚原子范围内的全同粒子. 将一群具有相同质量、相同电荷、相同自旋, 且在相同物理条件下具有相同物理行为的粒子称为全同粒子.现在学习的是第2页，共75页O图1: 在质心系中观察 粒子 在O原子核上的散射D1D2(假设能量足够低!)现在学习的是第3页，共75页O图1a 几率振幅 f( )D1D2令f()表示探测器放在 角度上 粒子散射到其中的几率振幅:现在学习的是第4页，共75页图1b 几率振幅 eif( )OD1D2f()表示 粒子散射到 () 角度上其中的几率振幅, 或探测器在 角度上探测到O原子的振幅.现在学习的是第5页

2、，共75页若所用探测器既能对粒子也能对O原子做出反应, 则在D1中探测到某种粒子的概率 = |f()|2+|f()|2现在学习的是第6页，共75页如果发生相互作用的是两个全同粒子, 将会如何呢?现在学习的是第7页，共75页首先, 这时, a, b 两图的过程将不能分别;现在学习的是第8页，共75页其次, 当我们交换两个粒子时, 我们必须在振幅上乘以某个相位因子ei , 而如果把两个粒子再交换一次, 应该回到了第一个过程, 故而ei = +1 或 1即两个全同粒子交换前后的振幅要么具有相同的符号, 要么具有相反的符号.这两种情况在自然界确实都存在!现在学习的是第9页，共75页原理5：描写全同粒子

3、系统的态矢量, 对于任意一对粒子的对调, 是对称的或反对称的. 服从前者的粒子称为玻色子, 服从后者的粒子称为费米子.玻色子: 如光子、介子和引力子;费米子: 如电子、子、中微子、核子.现在学习的是第10页，共75页图2: 在质心系中观察 粒子 对 粒子的散射D1D2现在学习的是第11页，共75页 粒子到达D1的概率 = |f() + f()|2因为, 此时(以粒子替代O原子), 我们无法再区分图1a和图1b, 且粒子对于置换是对称的, 故而应为几率幅相加.He3 + He4 ?复合粒子呢?现在学习的是第12页，共75页图3: 在质心系中观察电子 对电子的散射eeD1D2现在学习的是第13页，

4、共75页电子到达D1的概率 = |f() f()|2因为, 电子对于置换是反对称的.现在学习的是第14页，共75页图4: 在质心系中观察电子 对电子的散射eeD1D2现在学习的是第15页，共75页ee图4aD1D2ee现在学习的是第16页，共75页ee图4bD1D2ee现在学习的是第17页，共75页电子到达D1的概率 = |f()|2 + |f()|2图4现在学习的是第18页，共75页5.2 N 个全同粒子的状态在N个有自旋的粒子体系中, 体系的波函数是4N个坐标的函数(3N个空间和N个自旋坐标):),(2211tsssNNrrr(1)现在学习的是第19页，共75页用Pij表示粒子i 与粒子j

5、 间的置换算符, 由于粒子全同, 交换使得系统物理状态不变,即),(),(1111tsssstssssPNNiijjNNjjiiijrrrrrrrr(2)其中, 是任意常数因子.现在学习的是第20页，共75页如果对二个粒子再交换一次, 则恢复到原有状态, 故而22ijP1(3)现在学习的是第21页，共75页(3)式意味着可以有两种粒子体系, 对称波函数:(4)或者反对称波函数:(5)ssijPaaijP现在学习的是第22页，共75页交 换 简 并考虑N个全同粒子, 体系的 方程为),(),()(2211221121NNNNNsssEsssHHHrrrrrr(6)其中Hi(ri, si)作用于粒

6、子 i 上.现在学习的是第23页，共75页如果粒子k 的本征函数为(rk, sk), 即单粒子本征值问题是)()(kkkkksEsHrr(7)., 2 , 1;, 2 , 1Nk则(6)式的解是单粒子波函数之积(8)()()(),(2221112211NNiNiiNNssssssrrrrrr现在学习的是第24页，共75页如果有ni个粒子在态i中, 则总能量的本征值为(9)iiiiinNEnE由于粒子不可区分, 不能指明某个粒子具体处于何态, 故有)!(!21nnN种由单粒子波函数乘积形成的具有相同能量值E的(8)式. 这就是所谓的交换简并.现在学习的是第25页，共75页对称波函数与反对称波函数

7、对于玻色子, 对称波函数由(8)式中全部可能的N!种单粒子波函数变量交换后的和构成, 即(10)其中P为对换算符, 这里假定单粒子波函数正交.!1222111)()()(!1NPNNiNiibosonsssPNrrr现在学习的是第26页，共75页反对称波函数最好的表示形式是行列式-行列式-它由N个单粒子波函数组成(11)()()()()()()()()(!1222111222111222111NNiNiiNNiNiiNNiNiifermionsssssssssNrrrrrrrrr现在学习的是第27页，共75页5.3 产生和湮灭算符上述有关全同粒子的对称性假设将不同种类的粒子的态限制为对称、或者

8、反对称. 这极大地简化了多粒子态理论, 从而允许我们引进一种包含产生和湮灭算符的更简洁的理论形式, 即所谓的二次量子化.这种形式将不限制于固定粒子数的系统, 而是将粒子数作为一动力学变量处理. 进而, 这种理论形式可以较容易的推广到描述高能情况下粒子的产生和湮灭.现在学习的是第28页，共75页现在学习的是第29页，共75页在坐标表象中, 这些矢量将为:),(xx.2)()()()(,212121xxxxxx现在学习的是第30页，共75页一、费 米 子首先, 由下列关系定义产生算符:(12),0,0,0CCCCCCCC现在学习的是第31页，共75页这些矢量在置换时是反对称的, 因此下面为了方便我

9、们将称函数x为一轨道, 而对于矢量则说 被占据, 同时其他轨道未被占据.如果 轨道未被占据, 则表示为:现在学习的是第32页，共75页方程(12)的无穷序列可总结为下述表达式(13),C当然如果 轨道已被占据, 则. 0C因此不相容原理自动得到满足.于是(14). 0C现在学习的是第33页，共75页产生算符C+由(13)、(14)式而完全被定义, 而且其伴随算符C= (C+)+ 的性质也可从中推出：. 0, 0, 1ifCC从(14)式, 我们有. 0C(15c)(15a)(15b)现在学习的是第34页，共75页从(15)的三个关系式可以分别得到(16)(17)(18). 0, 0, 0, 1

10、CifCC)(0(17), (18)(18), (16)(17), (18)现在学习的是第35页，共75页若令, 从(17)及(18)式我们可以看出C|0与任意基矢正交, 故而(19). 00 C现在学习的是第36页，共75页另外, 由(18)令, 可得C与任意 轨道被占据的态正交; 同时, 由(16) C与, 除了C=1, 任意 轨道未被占据的其它态正交. 因此(20).0C现在学习的是第37页，共75页又由(16),(21). C若在(17),(18)中(), 则知(22). 0C现在学习的是第38页，共75页现在学习的是第39页，共75页算 符 方 程, 0CC对任意成立(23)(24)

11、, 0CC. 0CC1.考虑算符C C ,现在学习的是第40页，共75页2.考虑算符C C + C C,. 0CCCC(25)(26), 0CCCC. 0CCCC现在学习的是第41页，共75页考虑算符C C + C C :3.若 , 则当 轨道空、或 轨道已被占据, 则上述算符作用结果必定为0. 因此只需考虑其作用于形式的态矢情况. 0,CCCCCCCC现在学习的是第42页，共75页若 = , 则分别考虑 轨道被占据或空的情况:,0CCCCC.0CCCCCICCCC现在学习的是第43页，共75页ICCCC(27)现在学习的是第44页，共75页容易验证, 所有基矢皆为算符C C的本征矢, 更严格

12、地, 为其本征值为 0 ( 轨道空) 、或为 1 ( 轨道被占据)的本征矢, 因此C C的功能相当于 轨道的占有数算符; 而总粒子数算符是:(28)CCN现在学习的是第45页，共75页基 的 变 换现在学习的是第46页，共75页现若作一基变换, 则需要考虑新的产生和湮灭算符与原有的算符之间的关系.设 bj和bj为相应于基函数 fjx 的产生和湮灭算符, 这里 bj j, fjx = xj.现在学习的是第47页，共75页两组函数集合x和fjx都既是完备的又是正交的, 于是或等价的,)()(jxxfj.00jCbj现在学习的是第48页，共75页新的产生和湮灭算符当然也必须(25),(26)及(27

13、)式.上述要求经下面的线性变换都将得到满足:.,CjbjCbjj现在学习的是第49页，共75页作为例子, 我们考虑如下的一组产生位置本征矢的算符 .0 xx应用上述结果, 有 .,CCxxxx现在学习的是第50页，共75页其中x = x正是原有基函数在坐标表象中的表示, 因此 .,*CCxxxx这些在空间某点产生和湮灭的新算符被称之为场算符(field operators). 积 (x)(x) 称为数密度算符, 而类似于(28)式的总粒子数算符等于xdxxN3)()(现在学习的是第51页，共75页二、玻 色 子现在学习的是第52页，共75页如果单粒子基矢由集合:(=1,2,3)组成, 则多玻色

14、子态可表示为|n1,n2,n3, 其中n .现在学习的是第53页，共75页产生算符可根据下列性质定义:(29)., 1, 0 , 1, 0 , 002121nnnnnnana现在学习的是第54页，共75页既然态矢是对称的, 必定有:a a = a a .现在学习的是第55页，共75页利用在有关费米子的论述中相似的方法, 可以知道, a = (a) 的作用相当于一湮灭算符, 并有下述性质:. 0, 0,1, 1,0212121nnnannnnnnnaa(30)现在学习的是第56页，共75页类似地, 定义 轨道的数算符为a a ,.,2121nnnnnnnaa因此, 由关系.,2121nnnnaa

15、nnn(31)., 1,212/121nnnnnnna(32)现在学习的是第57页，共75页现在方程(29)中的正比因子可以确定如下, 首先., 1,2121nnncnnna(33)作用以a 并注意到(32)式, 我们得.,1,212/121nnncnnnnaa再作用以a 得., 1,1,2122/121nnncnnnnaaa(34)现在学习的是第58页，共75页另一方面上一方程的左边还可表示为:., 1,1,2121nnncnnnnaaa(35)比较(34)与(35), 得.12/1nc现在学习的是第59页，共75页因此最终有., 1,1,212/121nnnnnnna(36)现在学习的是第

16、60页，共75页从(32)、(36)我们导出以下对易关系Iaaaa(37)前已述及的另一关系式为. 0aaaaaaaa(38)现在学习的是第61页，共75页与(25)、(26)及(27)式比较, 我们看到费米子的产生、湮灭算符满足反对易关系, 而玻色子的相应算符满足对易关系.现在学习的是第62页，共75页5.4 算符的二次量子化形式对于玻色子和费米子来说, 用产生算符、湮灭算符表示动力学变量的形式在本质上是相同的, 这里采用费米子来引入这一形式, 因为它的反对易关系需要更加注意 +、 号.现在学习的是第63页，共75页n个全同粒子系统的力学量有几种类型, 一种可以写成n个单体力学量Ri之和,

17、如:动量动能外势一般的(39)niiP1niiM1222 niixW1)(niiRR1现在学习的是第64页，共75页另一种类型可以写成 n(n1) 个双体力学量之和, 如一对粒子的相互作用势能(xi, xj)等.当然更复杂的还有三体力学量, 等.现在学习的是第65页，共75页上述的单体可相加算符可以利用产生、湮灭算符表示为(40).1CCRR它的优点是无需涉及虚拟的粒子下标, 也不依赖于粒子数.现在学习的是第66页，共75页下面证明(39)、(40)之间的等价性, 这可通过它们对于任意一对n-体态矢具有相同矩阵元而得证:现在学习的是第67页，共75页首先, 我们证明(40)对于基矢的变换不变,

18、 比如考虑另一基矢表示的相似的算符为.1jkkjkjbbfRfR利用前述基变换的相关结果我们得.11RCCRCffRffCRjkkkjj现在学习的是第68页，共75页既然(40)不依赖于基, 则我们就可选择任意方便的基来证明(39)、(40)之间的等价性.这里我们选择新的基函数|fk, 它使得单粒子算符R1对角化: R1 |fk = rk|fk, 从而得在这个基中, 算符R的对角矩阵元等于k(rknk) , 这里nk为轨道 fk 的占有数, 而非对角矩阵元为0. 这显然与(39)的矩阵元相一致 (假定粒子数确定 knk = n)kkkkbbrR现在学习的是第69页，共75页下一个须要考虑的动力

19、学变量形如:.,21,iijjiiijjiVxxxx(41)现在学习的是第70页，共75页上述算符根据产生、湮灭算符表示为:(注意下标的顺序).21,CCCCV(42)现在学习的是第71页，共75页上式中矩阵元有一定的对称性.dd)()(),()()(231321212*1*,xxxxxxxx(43).,)(,*,现在学习的是第72页，共75页而根据反对称态矢表示的矩阵元为.2.,21xx现在学习的是第73页，共75页CCCCCCCCCCCCV)(212121,又(42)式可表示为其中利用了:. 0CCCC(42)式哑元 现在学习的是第74页，共75页结合(42)式得到CCCCCCCCV41)(41,(44)现在学习的是第75页，共75页