函数列与函数项级数.ppt

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1、函数列与函数项级数现在学习的是第1页，共21页 1 一致收敛性n一、一、函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性n二、二、函数项级数及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性n三、三、函数项级数的一致收敛性判别法函数项级数的一致收敛性判别法现在学习的是第2页，共21页设设)1(,21nfff是一列定义在同一数集是一列定义在同一数集 E 上的函数，称为定义在上的函数，称为定义在 E 上的函数列，简记为上的函数列，简记为 fn 或或 fn , n = 1, 2, . . . 设设 x0 E , 将将 x0 代入上述函数列，可得数列代入上述函数列，可得数列.),(,),(),(00201xfxfxfn一

2、、函数列及其一致收敛性一、函数列及其一致收敛性若此数列收敛，则称若此数列收敛，则称 x0 为函数列为函数列 (1) 的收敛点，若此的收敛点，若此数列发散，则称函数列数列发散，则称函数列 (1) 在在 x0 发散发散现在学习的是第3页，共21页使函数列使函数列 (1) 收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数列列 (1) 的收敛域的收敛域若函数列若函数列 (1) 在数集在数集 DE 上每一点都收敛，则称函数上每一点都收敛，则称函数列列 (1) 在数集在数集 D 上收敛上收敛记极限函数为记极限函数为 f , 则有则有Dxxfxfnn , )()(lim此极限的此极限

3、的 N 的定义是：对任何的定义是：对任何 xD , 任给的任给的 0 ,存在存在 N 0 , 使得当使得当 n N 时，总有时，总有 | fn(x) f (x) | 0 , 存在存在 N 0 , 使得当使得当 n N 时，时，对任何对任何 xD , 都有都有 | fn(x) f (x) | 0 , 取取 N = 1/ , 当当 n N 时，时，对任何对任何 x( , +) , 都有都有|0sin| nnxn1 N1 , 所以函数列所以函数列sinnnx在在 ( , +) 上一致收敛于上一致收敛于 0 现在学习的是第6页，共21页 函数列函数列 fn 在在 D 上不一致收敛于上不一致收敛于 f

4、的定义：的定义：若存在若存在0 0 , 对任何对任何 N 0 , 都存在都存在 n0 N ，且存在且存在 x0D , 使得使得 | fn0(x0) f (x0) | 0则称则称 fn 在在 D 上不一致收敛于上不一致收敛于 f 现在学习的是第7页，共21页例例 证明函数列证明函数列 xn 在在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于上不一致收敛于 0 证证取取,210 对任何正整数对任何正整数 N ，当当 n N 时，时，取取nnnx10)1( , )1, 0( 则有则有|0)( |0 nx1 nn.21 所以所以 xn 在在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于上不一致收敛于 0 现在学习的是第8页，

5、共21页 定理定理 13.1 (函数列一致收敛的柯西准则函数列一致收敛的柯西准则)函数列函数列 fn 在在 D 上一致收敛于上一致收敛于 f 的充要条件是：的充要条件是：对任给的对任给的 0 , 存在存在 N 0 , 使得当使得当 n, m N 时，时，对任何对任何 xD , 都有都有 | fn(x) fm (x) | 0 , 存在存在 N 0 , 使得当使得当 m n N 时，时，对任何对任何 xD , 都有都有 | Sm(x) Sn (x) | 或或.| )()()(|21 xuxuxumnn.| )(|1 mnkkxu现在学习的是第14页，共21页 推论推论 函数项级数函数项级数un(x

6、) 在在 D 上一致收敛的必要上一致收敛的必要条件是：函数列条件是：函数列 un(x) 在在 D 上一致收敛于零上一致收敛于零 设函数项级数设函数项级数un(x) 在在 D 上的和函数为上的和函数为 S(x), 称称 Rn(x) = S(x) Sn (x)为函数项级数为函数项级数un(x) 的余项的余项 定理定理 13.4 函数项级数函数项级数un(x) 在在 D 上一致收敛于上一致收敛于 S(x) 的充要条件是的充要条件是.0| )()(|suplim xSxSnDxn现在学习的是第15页，共21页例例 4 函数项级数函数项级数,102 nnnxxxx的收敛域为的收敛域为 (-1, 1)，其

7、和函数为，其和函数为.11)(xxS 级数在级数在 -a , a ( a 0, 使得对使得对任何任何 xI ， |vn(x)|M , n = 1, 2, . . . 则函数项级数则函数项级数un(x)vn(x) 在数集在数集 I 上一致收敛上一致收敛现在学习的是第20页，共21页定理定理 13.7 （狄利克雷判别法）（狄利克雷判别法） 设设 un(x) 的部分和函数列的部分和函数列, 2, 1)()(1 nxuxUnkkn在在 I 上一致有界；上一致有界； 对每一个对每一个 xI ， Un(x) 是单调的；是单调的； vn(x) 在在 I 上一致收敛于上一致收敛于 0 ，则函数项级数则函数项级数un(x)vn(x) 在数集在数集 I 上一致收敛上一致收敛现在学习的是第21页，共21页