不定积分与定积分换元法讲稿.ppt

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1、关于不定积分与定积分换元法第一页，讲稿共十二页哦定理定理:（不定积分换元法）不定积分换元法），连连续续假假设设)(xf单单调调，连连续续，函函数数)(tx 如果如果,)(d)()(ctGtttf 则有则有cxG )(1 . )(1xt 并并且且存存在在反反函函数数 tttfxxfd)()(d)( 第二页，讲稿共十二页哦定理定理2: :（定积分的换元积分法）（定积分的换元积分法），连连续续在在假假设设,)(baxf.,)(连连续续在在 tx 并且满足下列条件：并且满足下列条件：;)(,)()1(ba ；连连续续在在,)()2( t . ,)(,)3(batt不不超超出出，变变动动时时在在当当 t

2、ttfxxfbad)()(d)(则有则有第三页，讲稿共十二页哦定积分元法与不定积分换元法的比较定积分元法与不定积分换元法的比较为为例例和和以以 axxaxxa02222ddtaxsin ttaxdcosd 详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同.)0( a计算两种积分都需要作换元计算两种积分都需要作换元(1)(1)两者的第一个区别是：两者的第一个区别是：.20 tt 的变化范围：的变化范围：定积分必须说明变量定积分必须说明变量对于不定积分得换元法则没有这个必要对于不定积分得换元法则没有这个必要第四页，讲稿共十二页哦 ttaxxadcosd2222t

3、axacos22 ?cos22taxa ctttatta )cossin21(2d22cos122?cos22taxa 还还是是不定积分重视形式运算不定积分重视形式运算,可以取可以取于是于是第二个问题是：第二个问题是：但是对于定积分的换元法，但是对于定积分的换元法，中中变变化化时时在在由由于于1 , 0 x，中中变变化化，对对应应地地在在20 t.cos22taxa 所以所以第五页，讲稿共十二页哦caxaxax )arcsin(21222 xxad22，还还原原成成必必须须将将变变量量)(1txt 第三个问题是：第三个问题是：求出不定积分求出不定积分以后，以后，Ctttatta )cossin

4、21(2d22cos122进一步得到进一步得到才能得到最终结果才能得到最终结果. .另一方面，另一方面，对对于于定定积积分分 axxa022d：分分将其转化为另一个定积将其转化为另一个定积用换元用换元taxsin: 2/022dcos tta直接计算着个积分就可以了直接计算着个积分就可以了. .第六页，讲稿共十二页哦 1d4xxxI，令令tx1 .d1d2ttx 则则 244)111(d1dttttxxxI，因因为为II 这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？例题：例题：于是于是Ittt 1d2.0 I所以所以第七页，讲稿共十二页哦解解: :.1d

5、2是是不不成成立立的的等等式式Ittt 虽然在形式上，虽然在形式上，,111144是相同的函数关系是相同的函数关系和和 xxtt但是他们不相等但是他们不相等. .不是互相独立的变量不是互相独立的变量和和因为因为tx注释注释:这个例子告诉我们，这个例子告诉我们，进进行行换换元元对对于于积积分分)(d)(txxxf ，之之后后求求出出ctGtttf )(d)()( ,)(1回回代代必必须须用用反反函函数数xt cxGxxf )(d)(1 才能得出最后结果才能得出最后结果.第八页，讲稿共十二页哦.1d222 xxx计算计算例题例题:，令令txsec tttxdtansecd 解解: : ,43,32

6、变变化化时时在在当当 t.2, 2变变化化对对应应地地在在 x,232 xt时时当当 .243 xt，时时 ,0tan43,32 tt，时时当当 .tantan2tt 所所以以 4332d)tan(sectansec1d222 tttttxxx于是于是 4332d t12 第九页，讲稿共十二页哦这个例题说明：这个例题说明：，计计算算定定积积分分时时利利用用换换元元法法)(tx 这一不仅关系到积分上下限的确定，这一不仅关系到积分上下限的确定，,的的变变化化范范围围必必须须注注意意新新变变量量 t.的取值对应关系的取值对应关系和和明确明确xt还可能涉及到被积函数的形式的确定还可能涉及到被积函数的形

7、式的确定第十页，讲稿共十二页哦关于两个换元积分法的小结关于两个换元积分法的小结 不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法，有相不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法，有相近的思路和大体相同的过程近的思路和大体相同的过程. .但是，两者要解决的问题不同但是，两者要解决的问题不同，因此所需要的条件不同，解决问题的过程也有重大区别，因此所需要的条件不同，解决问题的过程也有重大区别. ., )()(xFxf的原函数的原函数是求是求不定积分的换元法目的不定积分的换元法目的，之之后后求求出出ctGtttf )(d)()( .)()(1cxGdxxf 得得到到，代入代入必须用反函数必须用反函数)(1xt baxxfd)(计计算算定定积积分分定定积积分分换换元元法法的的目目的的是是 tttfxxfbad)()(d)(转转化化为为方方法法是是将将定定积积分分第十一页，讲稿共十二页哦感谢大家观看第十二页，讲稿共十二页哦