中值定理及导数应用讲稿.ppt

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1、关于中值定理及导数关于中值定理及导数应用应用第一页，讲稿共九十四页哦一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理拉格朗日中值定理及中值公式4. 1 中值定理中值定理第二页，讲稿共九十四页哦 一、罗尔定理一、罗尔定理xO yCx 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等。ABaby=f(x)提问：提问：f (x)=？观察与思考：观察与思考：第三页，讲稿共九十四页哦罗尔定理：罗尔定理： 如果函数y=f(x)在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，且有f(a)=f(b)，那么在(a, b)内至少在一点x ，使得f

2、(x)=0。 简要证明：简要证明：(1)如果 f(x)=f(a) ，则 f (x)0，定理的结论显然成立的。 (2)如果有 x(a, b)，使 f(x)f(a)，不妨设 f(x)f(a)，则函数f(x)的最大值点 x 必在(a, b)内。于是因此必有f (x)=0。 f (x)= f(x)=xxxxfxfx)()(lim0， f (x)= f(x)=xxxxfxfx)()(lim0， 第四页，讲稿共九十四页哦应注意的问题：应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。xO yAB f(x)不满足条件(1)abxO yAB f(x)不满足条件(3)abxO yAB f

3、(x)不满足条件(2)abc罗尔定理：罗尔定理： 如果函数y=f(x)在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，且有f(a)=f(b)，那么在(a, b)内至少在一点x ，使得f (x)=0。第五页，讲稿共九十四页哦二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理观察与思考：观察与思考： 设连续光滑的曲线y=f(x) 在端点A、B处的纵坐标不相等。 f (x)=？， f (h)=？提问：提问： 直线AB的斜率k=？答案：答案： f (x)=f (h)= k， k=abafbf)()(， C2h xO yABaby=f(x)C1x f(b)f(a)=f (x)(ba) 。 f(b)f(a)=？

4、 第六页，讲稿共九十四页哦 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)。拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义： 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：C2h xO yABaby=f(x)C1x 第七页，讲稿共九十四页哦则函数j(x)在区间a, b上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点x(a, b)，使j (x)=0，即 简要证明：简要证明：令 j(x)=f(x)f(a)abafbf)()(xa)， j (x)=f (x)abafbf)()(=0， 由此得 f(b)f(a)=f

5、(x)(ba)。 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)。第八页，讲稿共九十四页哦 f(b)f(a)=f (x)(ba) ， f(xDx)f(x)=f (xqDx)Dx (0q 1)， Dy= f (xqDx)Dx (0q 1)。拉格朗日中值公式：拉格朗日中值公式：拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)f(a)=f (x)(ba)。第九页

6、，讲稿共九十四页哦 定理定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。 证明：证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，应用拉格朗日中值定理，就得 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1x 0)， 0limxxn ln x(n0)，2limx(sec xtan x)， 0limxxx，xlim(1x1)x，xlim(x 2a 2)21x。 第十三页，讲稿共九十四页哦二、洛必达法则二、洛必达法则 定理定理 如果函数f(x)与g(x)满足如下条件： (1)当xa时，函数极限都为零(或都为无穷大)； (2)函数在点a的某去心邻域内都可导且g(x)

7、0； (3)()(limxgxfax存在(或为无穷大)； 那么 )()(limxgxfax)()(limxgxfax=。 (2)当|x|N时f (x)及F (x)都存在且F (x)0； 说明：说明： 在上述定理中，把xa换成x， 把条件(2)换成结论仍成立。第十四页，讲稿共九十四页哦 例例 1求bxaxxsinsinlim0(b 0)。 解解：babxbaxabxaxbxaxxxx=coscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000 例例 2求123lim2331xxxxxx。 解解：) 1()23(lim123lim23312331=xxxxxxxxxxxx 23266li

8、m12333lim1221=xxxxxxxbabxbaxabxaxbxaxxxx=coscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000babxbaxabxaxbxaxxxx=coscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000babxbaxabxaxbxaxxxx=coscoslim)(sin)(sinlimsinsinlim000。 ) 1()23(lim123lim23312331=xxxxxxxxxxxx 23266lim12333lim1221=xxxxxxx23266lim12333lim1221=xxxxxxx。 “零比零零比零”型未定式的定值法：型

9、未定式的定值法：第十五页，讲稿共九十四页哦 例例 3求30sinlimxxxx。 解解：30sinlimxxxx203cos1limxxx=xxx6sinlim0=61= 例例 4求xxx1arctan2lim。 30sinlimxxxx203cos1limxxx=xxx6sinlim0=61=30sinlimxxxx203cos1limxxx=xxx6sinlim0=61=30sinlimxxxx203cos1limxxx=xxx6sinlim0=61=。 解解：xxx1arctan2lim22111limxxx=11lim22=xxxxxx1arctan2lim22111limxxx=11

10、lim22=xxxxxx1arctan2lim22111limxxx=11lim22=xxxxxx1arctan2lim22111limxxx=11lim22=xxx。 “零比零零比零”型未定式的定值法：型未定式的定值法：第十六页，讲稿共九十四页哦 例例 5求nxxxlnlim(n0)。 解解：nxxxlnlim11lim=nxnxx01lim=nxnx 例例 6xnxexlim(n 为正整数，0)。 解解：xnxexlimxnxenx1lim=xnxexnn22) 1(lim= 0!lim=xnxen。 “无穷比无穷无穷比无穷”型未定式的定值法：型未定式的定值法：nxxxlnlim11lim

11、=nxnxx01lim=nxnxnxxxlnlim11lim=nxnxx01lim=nxnxnxxxlnlim11lim=nxnxx01lim=nxnx。 xnxexlimxnxenx1lim=xnxexnn22) 1(lim=xnxexlimxnxenx1lim=xnxexnn22) 1(lim=xnxexlimxnxenx1lim=xnxexnn22) 1(lim= 第十七页，讲稿共九十四页哦其它类型未定式的定值法：其它类型未定式的定值法： 未定式0、00、1、0都可以转化为 “零比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式。 例例 7求0limxx n ln x (n0)。 解解：xxnxln

12、lim0nxxx=lnlim0101lim=nxnxx0lim0=nxnx。 例例 8求xxx0lim。 解解：xxx0limxxnxlnlim0nxxx=lnlim0101lim=nxnxxxxnxlnlim0nxxx=lnlim0101lim=nxnxx =xxxeln0limxxxeln0lim=e 0=1(根据例 7)。 第十八页，讲稿共九十四页哦其它类型未定式的定值法：其它类型未定式的定值法： 未定式0、00、1、0都可以转化为 “零比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式。 解解：)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim2=0sincoslim2=xxx 例例 9求)

13、tan(seclim2xxx。 )tan(seclim2xxxxxxcossin1lim2=0sincoslim2=xxx)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim2=0sincoslim2=xxx)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim2=0sincoslim2=xxx。 第十九页，讲稿共九十四页哦 1洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。 例例10求xxxxxsintanlim20。 解解：xxxxxsintanlim2030ta

14、nlimxxxx=22031seclimxxx=应注意的问题：应注意的问题： xxxx6tansec2lim20=31tanseclim3120=xxxxxxxxxsintanlim2030tanlimxxxx=22031seclimxxx=xxxxxsintanlim2030tanlimxxxx=22031seclimxxx= xxxx6tansec2lim20=31tanseclim3120=xxxxxxxx6tansec2lim20=31tanseclim3120=xxxx。 第二十页，讲稿共九十四页哦应注意的问题：应注意的问题： 2本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，

15、所求的极限当然存在(或为)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。 例例 11求xxxxsinlim。 解解：因为极限)()sin(limxxxx1cos1limxx=不存在， 所以不能用洛必达法则。 xxxxsinlim1sin1lim=xxx但其极限是存在的：xxxxsinlim1sin1lim=xxx。 第二十一页，讲稿共九十四页哦一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法二、确定函数单调区间的步骤二、确定函数单调区间的步骤4.3 函数单调性的判定法函数单调性的判定法第二十二页，讲稿共九十四页哦一、函数单调性的判定法观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调减少 函数的单调性与

16、导数的符号有什么关系？ f (x)0 f (x)0 f (x)0，则f(x)在a, b上单调增加； (2)如果在(a, b)内f (x)0，则f(x)在a, b上单调减少。 由拉格朗日中值公式，有 f(x2)= f(x1)f (x)(x2x1) (x1x0，x2x10，所以 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1)0，即 f(x1)f(x2)，这就证明了函数f(x)在(a, b)内单调增加。 证明：证明：只证(1)。在(a, b)内任取两点x1，x2(x10，则f(x)在a, b上单调增加； (2)如果在(a, b)内f (x)0，所以函数 y=xsin x 在0, 2上的单调增加。函数单

17、调性的判定法：函数单调性的判定法： 设函数f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导。 (1)如果在(a, b)内f (x)0，则f(x)在a, b上单调增加； (2)如果在(a, b)内f (x)0，则f(x)在a, b上单调减少。 第二十七页，讲稿共九十四页哦二、确定函数单调区间的步骤讨论：讨论： 1设函数 y=f(x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，x1，x2是 f (x)的两个相邻的零点，问f(x)在x1, x2上是否单调？ 2如何把区间a, b划分成一些小区间，使函数 f(x)在每个小区间上都是单调的？第二十八页，讲稿共九十四页哦 (1)确定函数的定义域； (2)求出导数

18、f (x)； (3)求出f (x)全部零点； (4)判断或列表判断； (5)综合结论。二、确定函数单调区间的步骤二、确定函数单调区间的步骤第二十九页，讲稿共九十四页哦 因为在(, 0)内y0，所以函数 y=exx1在0, )上单调增加。50551015xyy=exx1 解：解：函数y=e x x1的定义域为(, )。 y=e x 1。 例例2讨论函数 y=e x x1的单调性。第三十页，讲稿共九十四页哦3210123412yx32xy = 例例 3讨论函数32xy =的单调性。 解：解：函数的定义域为(, )。 所以函数在0, )上单调增加。 因为x0时，y0，所以函数在(, 0 上单调减少；

19、 因为x0时，y0。所以函数y=x3在区间(, 0及0, )内都是单调增加的。 因此函数在整个定义域(, )内是单调增加的。第三十三页，讲稿共九十四页哦0123x1y y= 2x(3x1) 例例 6证明：当 x1 时，xx132。 证证明明：令)13(2)(xxxf=，则 ) 1(111)(22=xxxxxxf。 因为当x1时，f (x)0，所以f(x)在1, )上f(x)单调增加。因此当x1时，f(x)f(1)=0，即 0)13(2xx， 4 函函数数单单调调性性的的判判定定法法 也就是xx132(x1)。 第三十四页，讲稿共九十四页哦 44 函数的极值与最值函数的极值与最值一、函数的极值及

20、其求法一、函数的极值及其求法极值的定义取得极值的必要条件、驻点取得极值的第一种充分条件确定极值点和极值的步骤取得极值的第二种充分条件第三十五页，讲稿共九十四页哦 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义，x0(a, b)x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x) f(a)和 f(b)是否为极值？ xU(x0)，有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。如果U(x0)，个极小值；一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法极值的定义：第三十六页，讲稿共九十四页哦 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点 设函数f(x)在区间(a, b)内有定义，

21、x0(a, b) xU(x0)，有f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一。如果U(x0)，个极小值；函数的极值及其求法函数的极值及其求法极值的定义：第三十七页，讲稿共九十四页哦取得极值的必要条件：观察极值与切线的关系：在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的xyOabx1x2x3x4x5x6x7 y=f(x)第三十八页，讲稿共九十四页哦 定理1 （必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f (x0)=0驻点： 使导数为零的点(即方程f (x) = 0的实根)叫函数f(x)的驻点应注意的问题： 可 导 函 数f(x)的极值点必定是函数的驻点但反过来，函

22、数f(x)的驻点却不一定是极值点取得极值的必要条件：第三十九页，讲稿共九十四页哦 假定f(x0)是极大值，根据极大值的定义，在x0的某个去心邻域内，对于任何点 x ，f(x)f(x0)均成立于是当x 0 ， f (x 0) =00limxx 00)()(xxxfxf 0 ；00)()(xxxfxf 0 x 0时 f (x 0) =00limxx 00)()(xxxfxf 0 ； 极小值的情形可类似地证明必要条件的证明：第四十页，讲稿共九十四页哦 观察函数f(x)=x在x=0处的导数与极值情况xyOy=x3在 x=0处， f (0)=0.但函数在x=0无极值第四十一页，讲稿共九十四页哦 定理2（

23、第一种充分条件）设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续，在x0的左右邻域内可导 (1) 如果在x0的某一左邻域内f (x)0，在x0的某一右邻域内 f (x)0，那么函数f(x)在x0处取得极大值； (2) 如果在x0的某一左邻域内f (x)0，那么函数f(x)在x0处取得极小值； (3)如果在x0的左右邻域内f (x)不改变符号，那么函数f(x)在 x0处没有极值取得极值的第一种充分条件：第四十二页，讲稿共九十四页哦取得极值的第一种充分条件的几何意义：x1x2x3x4x5x6x7xyOab y=f(x) f (x)0 f (x)0 f (x)0在极小值点附近在极大值点附近第四十三页，讲稿共九

24、十四页哦确定极值点和极值的步骤： (1)求出导数f (x)； (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点； (3)列表判断（考察f (x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值）； (4)确定出函数的所有极值点和极值第四十四页，讲稿共九十四页哦 函数f(x)的极大值为f(1)=10，极小值为f(3)= 22 例1 求函数f(x)=x 33x 29x 5的极值 解 (1)f (x)=3x 26x 9=3(x1)(x3)(2)令3(x1)(x3)=0， 得驻点x 1=1，x 2=3(3)列表判断：(3, )

25、22(,1)1(1, 3)3 f (x) 00 f(x) 10极大极小10123x2010y y=x3-3x2-9x+5第四十五页，讲稿共九十四页哦 例2 求函数f(x)=1(x2)2/3的极值解 (1)当x 2时，(2)函数无驻点， x=2是导数不存在的点； (3)列表判断： f (x) f (x)(，2)2(2， )不存在1极大值函数f(x)在x=2取得极大值，极大值为f(2)=1101234x1y f(x)=1(x2)2/3 f (x)= 3232x；第四十六页，讲稿共九十四页哦应注意的问题： 如果函数f(x)在驻点x 0处的二导数f (x 0) 0，那么点x 0一定是极值点，并且可以按

26、二阶导数f (x 0)的符来判定f(x 0)是极大值还是极小值但如果f (x 0)=0，定理3就不能应用 定理2 (第二种充分条件) 设函数f(x)在点x 0处具有二阶导数且f (x 0)=0，f (x 0)0，那么 (1)当f (x 0)0时，函数f(x)在x 0处取得极小值取得极值的第二种充分条件：第四十七页，讲稿共九十四页哦从而知道，对于这去心邻域内的x来说， f (x)与xx0符号相反因此，当xx00即x0；当xx00即xx0时，f (x)0于根据定理2，f(x)在点x0处取得极大值 在情形(1)，由于f (x0)0，按二阶导数的定义有0)()(lim)(0000= xxxfxfxfx

27、x根据函数极限的局部保号性，当x 在x0的足够小的去心邻域内时，0)()(00 xxxfxf但f (x0)=0，所以上式即0)(0 xxxf 类似地可以证明情形(2)第二种充分条件的证明：第四十八页，讲稿共九十四页哦讨论：函数 f 1(x)=x 4，f 2(x)=x 3在点x=0是否有极值？ f 1(x)=4x 3， f 1(0)=0， f 1(x)=12x 2， f 1(0)=0当x0时， f 1(x)0时， f 1(x)0 f 1(0)为极小值 f 2(x)=3x 2， f 2(0)=0， f 2(x)=6x ， f 2(0)=0 f 2(x)0， f 2(0)不是极值 1012112xy

28、101x1234y第四十九页，讲稿共九十四页哦 (2)令f (x)=0，求得驻点x 1=1，x 2=0，x 3=1 (3)f (x)=6(x 21)(5x 21) (4)因f (0)=60，所以x=0为极小值点，极小值为 f(0)=0 (5)因f (1)=f (1)=0，用定理 3 无法判别 例3 求函数f(x)=(x 21)31的极值 解法一(1)f (x)=6x(x 21)2同理，f(x)在1处也没有极值 因为在1的左右邻域内f (x)0，所以f(x)在1处没有极值；2101x12y f(x)=(x 21)31第五十页，讲稿共九十四页哦 f (x) f(x) (1)f (x)=6x(x 2

29、1)2 (2)令f (x)=0，求得驻点x 1=1，x 2=0，x 3=1 (3)列表判断：(，1)1(1，0)0(0，1)1(1， )00+00无极值无极值极小值 f (x)在x=0处取得极小值，极小值为 f(0)=0 例3 求函数f(x)=(x 21)31的极值 解法二第五十一页，讲稿共九十四页哦 二、二、 最大值、最小值问题最大值、最小值问题极值与最值的关系最大值和最小值的求法最大值和最小值的应用最大值、最小值问题最大值、最小值问题特殊情况下的最大值与最小值第五十二页，讲稿共九十四页哦最大值、最小值问题最大值、最小值问题极值与最值的关系：x1x2x3x4x5xyOab y=f(x)最大值

30、：f (b)， 最小值：f (x3) 观察：第五十三页，讲稿共九十四页哦x1x2x3x4x5xyOab y=f(x)最大值：f (x4)， 最小值：f (x3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题极值与最值的关系： 观察：第五十四页，讲稿共九十四页哦 设函数f(x)在闭区间a，b上连续，则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a，b)内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在闭区间a，b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理，函数在闭区间a，b上的最小值一定是函数的所有

31、极小值和函数在区间端点的函数值中最小者最大值、最小值问题最大值、最小值问题极值与最值的关系：第五十五页，讲稿共九十四页哦 设f(x)在(a，b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值)为x1，x2， ，xn，则比较f(a)，f(x 1)， f(x 2)， ，f(x n)，f(b)的大小，其中最大的便是函数f(x)在a，b上的最大值，最小的便是函数f(x)在a，b上的最小值 求最大值和最小值的步骤： (1)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点； (2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值； (3)比较上述函数值，找出最大的和最小的最大值和最小值的求法：第五十六页，讲稿共九十四页哦 例1

32、 求函数y=2x33x212x14在3, 4上的最大值与最小值 解 f(x)= 2x 33x 212x 14， f (x)=6x 26x12=6(x2)(x1)， 解方程f (x)=0，得一 x1=2，x2=1，由于 f(3)= 2(3)33(3) 212(3) 14=23； f(2)= 2(2)33(2) 212(2) 14=34； f(1)=231214=7； f(4)=24 334 2 12414=142， 比较可得f(x)在 x=4取得它在3，4上的最大值f(4)=142 ,在x=1取得它在3，4上的最小值f(1)=7第五十七页，讲稿共九十四页哦 例2 铁路线上AB段的距离为100km

33、工厂C距A处为20km，A C垂直于AB 为 了 运 输 需 要 ， 要 在AB线上选定一点D向工厂修 筑 一 条 公 路 已 知 铁 路 每 公 里 货 运 的 运 费 与 公 路 上 每 公 里 货运的运费之比3:5为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？100kmDABC20km最大值和最小值的应用：第五十八页，讲稿共九十四页哦 解 设AD=x (km)，则 DB=100 x ，100kmDABC20kmCD=2220 x=2400 x 设从B点到C点需要的总运费为y，那么y=5kCD3kDB (k是某个正数)，即 y=5k2400 x3k(100 x) (0 x10

34、0)第五十九页，讲稿共九十四页哦先求y对x的导数： y =k340052xx，解方程y=0，得x=15(km)由于 y|x=0=400k，y|x=15=380k，y|x=100=500k2511，其中以y|x=15=380k为最小，因此当AD=x=15km时，总运费为最省 解 设AD=x (km)，则 DB=100 x ，CD=2220 x=2400 x 设从B点到C点需要的总运费为y，那么y=5kCD3kDB (k是某个正数)，即 y=5k2400 x3k(100 x) (0 x100)第六十页，讲稿共九十四页哦 如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个

35、驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值特殊情况下的最大值与最小值： f(x0) Oa x0 b x y=f(x ) y f(x0) Oa x0 b x y=f(x ) y第六十一页，讲稿共九十四页哦 如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值特殊情况下的最大值与最小

36、值： 应 当 指 出 ， 实 际 问 题 中 ， 往 往 根 据 问 题 的 性 质 就 可 以 断 定 函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定 f(x0)是最大值或最小值第六十二页，讲稿共九十四页哦 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W 最大?其中d hb 解 b 与h 有下面的关系： h 2=d 2b 2，因而 W=61b(d 2b 2) (0bd)W=61bh 2 例 3第六十三页，讲稿共九十四页哦 由于梁的最大抗弯

37、截面模量在(0，d)内一定存在，而函数在(0，d)内只有一个驻点，所以当b= d 时，31 W=61b(d 2b 2) (0bd)W的值最大这时， b=31d 是唯一的驻点 W =61(d 23b 2)， h=32d 于是有d :h :b =3:2:1 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W 最大?其中 解 b 与h 有下面的关系： h 2=d 2b 2，因而 W=61b(d 2b 2) (0bd)W=61bh 2 例 3第六十四页，讲稿共九十四页哦45 曲线的凹凸、拐点与渐近线曲线的凹凸、拐点与渐近线曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点曲

38、线的凹凸性曲线凹凸性的判定定理曲线的拐点确定曲线的凹凸性和拐点的步骤第六十五页，讲稿共九十四页哦曲线的凹凸性：那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)； 定义定义 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有221xxf2)()(21xfxf，那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧) x1，x2，恒有曲线的凹凸性：那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)； 定义定义 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有221xxf0，则f(x)在a，b上的图形是凹的； (2)若在(a，b)内f (x)0，则f(x)在a，b上的图形是凸的确定

39、曲线的凹凸性和拐点的步骤： (1)确定函数y=f(x)的定义域； (2)求出在函数二阶导数f (x)； (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点； (4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点； 注：根据具体情况（1）（3）步有时省略曲线凹凸性的判定：第七十页，讲稿共九十四页哦 例1 判断曲线y=ln x 的凹凸性 解 (1)函数y=ln x 的定义域为(0，)； (3)因为当0 x时，y0，所以曲线y=ln x是凸的 (2) y=x1，y=x1，y=21x； 例2 判断曲线y=x 3的凹凸性 解 (1) 函数y=x 3的定义域为(，)； (2) y=3x 2，y=6x ； (3)

40、由y=0，得x=0； (4) 判断：因为当x0时，y0时，y0，所以曲线在0，)内为凹的第七十一页，讲稿共九十四页哦(，0)(0，)0f (x) f (x)+0 曲线在(，0内为凸的，在0，)内为凹的 (4)列表判断： 例1 判断曲线y=ln x 的凹凸性 解 (1)函数y=ln x 的定义域为(0，)； (3)因为当0 x时，y0，所以曲线y=ln x是凸的 (2) y=x1，y=x1，y=21x； 例2 判断曲线y=x 3的凹凸性 解 (1) 函数y=x 3的定义域为(，)； (2) y=3x 2，y=6x ； (3) 由y=0，得x=0；第七十二页，讲稿共九十四页哦 例3 求曲线y=2x

41、 33x 22x14的拐点 解 (1)函数y=2x 33x 22x14的定义域为(，)； (2) y=6x 26x12，y=12x 6=12(x(2) y=6x 26x12，y=12x 6=12(x21) ； (3) 令 y=0，得 x=21； (4) 判断：当x21时，y21时，y0因此，点(21，2021)是这曲线的拐点第七十三页，讲稿共九十四页哦 (4)列表判断：(，1/2)(1/2，)1/2f (x) f (x)+0 41/2因此，点(21，2021)是这曲线的拐点 例3 求曲线y=2x 33x 22x14的拐点 解 (1)函数y=2x 33x 22x14的定义域为(，)； (2) y

42、=6x 26x12，y=12x 6=12(x(2) y=6x 26x12，y=12x 6=12(x21) ； (3) 令 y=0，得 x=21；第七十四页，讲稿共九十四页哦 例4 求曲线y=3x 44x 31的拐点及凹、凸的区间 解 (1)函数y=3x 44x 31的定义域为(，)； (4) 列表判断： (，0)0(0，2/3)2/3(2/3，) f (x) f(x) +0 0+1 11/27在 区 间 ( ， 0 和 2 / 3， ) 上 曲 线 是 凹 的 ， 在 区 间 0，2 / 3 上 曲 线 是 凸 的 点 ( 0 ， 1 )和 ( 2 / 3 ，1 1 / 2 7 )是曲线的拐点

43、 (2) y=12x 312x 2， y=36x 224x =36x (x(2) y=12x 312x 2， y=36x 224x =36x (x32)； (3) 解方程 y=0，得 x 1=0，x 2=32；第七十五页，讲稿共九十四页哦 例5 问曲线y=x 4是否有拐点？ 解 y=4x 3，y=12x 2当x0时，y0，在区间(，)内曲线是凹的，因此曲线无拐点 (3)无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为x=0； (4)判断：当x0；当x0时，y0因此，点(0，0)曲线的拐点 解 (1)函数的定义域为(，)； 例 6 求曲线 y=3x的拐点 (2) y=32 31x，y=，y=32 92x

44、x；第七十六页，讲稿共九十四页哦46 函数图形的讨论（描绘）函数图形的讨论（描绘）复习观察与思考描绘函数图形的一般步骤画图举例函数图形的描绘函数图形的描绘第七十七页，讲稿共九十四页哦 f (x)0， f (x)0，abxyO y=f(x)ab函数单调增加 f (x)0，复习：函数图形的描绘函数图形的描绘第七十八页，讲稿共九十四页哦xyO函数单调减少曲线是凹的 y=f(x) f (x)0，abxyO y=f(x)ab函数单调减少曲线是凸的 f (x)0， f (x)0，1、函数的单调性与曲线的凹凸性复习：函数图形的描绘函数图形的描绘第七十九页，讲稿共九十四页哦xyOx1x2x3 f(x3)(x2

45、, f(x2)极大值极小值极小值点极大值点拐点 y=f(x) f(x1) f (x1)=0f (x2)=0 f (x3)=02、极值点、极值与拐点第八十页，讲稿共九十四页哦 观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？ 函数的图形有无渐近线？有无对称性？21012xy2xey=观察与思考：第八十一页，讲稿共九十四页哦21012xy2xey= 观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？ 函数的图形有无渐近线？有无对称性？观察与思考：第八十二页，讲稿共九十四页哦21012xy2xey= 观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点

46、？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？ 函数的图形有无渐近线？有无对称性？观察与思考：第八十三页，讲稿共九十四页哦21012123xy1) 1(32= xy第八十四页，讲稿共九十四页哦21012123xy1) 1(32= xy第八十五页，讲稿共九十四页哦21012123xy1) 1(32= xy第八十六页，讲稿共九十四页哦321O1234532112345xy111=xyx=1是函数的间断点，无极值点和拐点 画函数的图形都要考虑什么？,lim01=yx,lim01=yx. 1lim=yx第八十七页，讲稿共九十四页哦 (1)确定函数的定义域； (2)观察函数y=f(x)是否具有奇偶性、周期性

47、； (3)求出一阶、二阶导数为零的点和一阶、二阶导数不存在的点； (4)列表， 确定曲线的单调性、极值点和极值，确定曲线的凹凸性和拐点； (5)确定曲线有无渐近性； (6)确定一些特殊点(曲线与坐标轴的交点等); (7)在直角坐标系中，描出所有关键性的点，画出渐近线，最后按照曲线的性态逐段描绘描绘函数图形的一般步骤：第八十八页，讲稿共九十四页哦 (4)计算特殊点：f(0)=1； f(1)=0. 解 (1)函数的定义域为(，)， (2) f (x)=3x22x1=(3x1)(x1)，f (x)=6x2=2(3x1)驻点为x= 1/3和x=1；二阶导数为零的点为x= 1/3 (3)列表分析： f

48、(x)f (x) f (x)(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3， 1)(1， )1+000+x32/27极大0极小16/27拐点 (5)描点联线画出图形： 例1 画出函数y=x 3x 2x1的图形第八十九页，讲稿共九十四页哦补充： f(3/2)=5/8Oxy12-11 y=x 3x 2x1 f (x)f (x) f (x)(,1/3) 1/3 (1/3,1/3)1/3(1/3， 1)(1， )1+000+x32/27极大0极小16/27拐点 (5)描点联线画出图形： (4)计算特殊点：f(0)=1； f(1)=0)2732,31()2716,31()85,23(第九十页，讲稿共

49、九十四页哦请比较:1011xyOxy12-11 y=x 3x 2x1)2732,31()2716,31()85,23(第九十一页，讲稿共九十四页哦 (4)列表： 解 (1)所给函数的定义域为(，3)(3，)； (2)所给函数是非奇非偶函数； (3)当x=3时，f (x)=0，当x=6时， f (x)=0； (，3)(3，3)3(3，6)6(6，)x f (x) f (x) f (x)004极大11/3拐点 (5) x = 3是曲线的铅直渐近线，y = 1是曲线的水平渐近线； (6)特殊点：f(0)=1 (7)绘图补充f(1)=8， f(9)=8， f(15)=11/4；,)3()3(36)(3

50、=xxxf,)3()6(72)(4= xxxf 例2 描绘函数 的图形2)3(361=xxy 例2 第九十二页，讲稿共九十四页哦 y=1Oxy63912-3-6-9-12-153-3x = 3(3,4)(9,8)(1,8)(，3)(3，3)3(3，6)6(6，)x f (x) f (x) f (x)004极大11/3拐点 (5) x = 3是曲线的铅直渐近线，y = 1是曲线的水平渐近线； (6)特殊点：f(0)=1 (7)绘图补充f(1)=8， f(9)=8， f(15)=11/4；)411,15()311, 6(2)3(361=xxy第九十三页，讲稿共九十四页哦感谢大家观看第九十四页，讲稿