武汉理工大学概率论考试试题.doc

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1、武汉理工大学考试试题纸（A卷）（闭卷）课程名称概率统计专业班级题号一二三四五六七八九十总分题分备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)1填空题（15分）（1）设随机事件,互不相容，且，则（2）设随机变量服从（-2，）上的均匀分布，则随机变量的概率密度函数为.（3）设随机变量和的期望分别为和2，方差分别为1和4，由切比雪夫不等式，（4）设某种清漆干燥时间（单位：小时），取容量为n的样本,其样本均值和方差分别为，则的置信度为1-的单侧置信上限为：.（5）设为取自总体的样本，参数均未知，则对于假设作检验时，使用的检验统计量（用与等表示）.2（10分）设有一箱同类产品是由三家工厂生产

2、的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。3. （10分）设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，试确定常数，并求概率。4. （15分）设二维随机变量（，）的概率分布为求：（1）随机变量X的密度函数；（2）概率。5. （10分）已知随机变量、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求：（1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。6. （10分）证明：（马尔科夫定理）如果随机变量序列，满足则对

3、任给，有.7. （15分）设，是取自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本二阶中心矩，为样本方差，问下列统计量：（1），（2），（3）各服从什么分布？8（15分）设总体服从区间0，上的均匀分布，0未知，是来自的样本,（1）求的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？武汉理工大学教务处试题标准答案与评分标准用纸课程名称概率统计（A卷）1（15分）（1）4/7；（2）;（3） (4)上限为;（5）2（10分）解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。则，且，两两互

4、不相容，（1） 由全概率公式得（2）由贝叶斯公式得=3. （10分）解：由归一性所以=2。即所以，从而=4. （15分）解：（1）时，=0；时，=故随机变量的密度函数=（2）5. （10分）解：（1）由数学期望、方差的性质与相关系数的定义得（2）从而有与的相关系数6. （10分）证明：，由切贝雪夫不等式，得，根据题设条件，当时, ，但概率小于等于1，故马尔科夫定理成立.7. （15分）解：（1）由于，又有，因此；（2）由于，又有，因此；（3）由得：，由分布的定义得：.8（15分）解：（1），令，得的矩估计量；似然函数为：其为的单调递减函数，因此的极大似然估计为。（2） 因为，所以为的无偏估计量

5、。又因为的概率密度函数为：所以因此为的有偏估计量，而为的无偏估计量。（3），于是比更有效。武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）课程名称概率统计专业班级题号一二三四五六七八九十总分题分备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题一、单项选择与填空题（每题3分103=30分）1、设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为、，则下列选项中正确的是 A B2掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为。(A) 3/6 (B)2/3 (C)1/6 (D) 1/33、设，则下列选项成立的是 A B4设随机变量的概率密度，则q=。(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/25、

6、设，且，则P-24=。(A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543 6、设，其中已知,未知,为其样本，下列各项不是统计量的是7、设D()=4, D()=9, ，则D()=（ ）。8、设A、B为互不相容的随机事件则（ ）。9、设随机变量X的方差是2，则由切比雪夫不等式可得10设k在（1，6）服从均匀分布，可方程有实根的概率是二、计算题（满分10分） 某厂有三条流水线A，B，C生产同一产品，其产品分别占总量的40，35， 25，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件，问（1）恰好取到次品的概率是多少？（2）若取得次品，

7、则该次品是流水线A生产的概率是多少？三、计算题（满分10分）一箱子有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件. 现从中随机抽取一件，记： 求二维随机变量（X，Y）的联合分布律.四、计算题（满分10分）设二维随机变量（）在由所围成的区域上服从均匀分布，求关于和关于的边缘密度函数。五、计算题(满分10分) 由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为0.9.为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率。六、计算题（满分10分）设总体X的概率密度为为未知参数.已知是取自总体X的一个样本。求：(1)

8、 未知参数q的矩估计量； (2) 未知参数q的极大似然估计量；.七、计算题（满分10分）设总体X服从N(, )分布，相互独立地从X抽出容量分别为n1与n2的两个样本，和是两个样本的均值，试证明对于常数a和b只要a+b=1，则Y=a+b就都是的无偏估计量，再确定a和b的值使a+b在这一类无偏估计量中是有效估计量。八、计算题（满分10分）有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值克，样本方差。求总体均值的置信度为0.95的置信区间。（，查表 附表： ， ，武汉理工大学教务处试题标准答案与评分标准用纸一、单项选择与填空题（每题3分310=30分）1、A 2、D 3、B 4、B 5、A 6

9、、C 7、19 8、0.7 9、 10、二、(10分) 设2分 :6分10分三。(10分) 6分故所求的联合分布律为Y 0100.10.810.10 10分四、(10分) ， 4分7分10分五设3分10分六、为所求的矩估计4分为所求的极大似然估计量 10分七 .分 设 所以，当时是这类无偏估计量中的有效估计量10分八、7分为所求的置信区间。10分武汉理工大学考试试题纸（ B 卷）课程名称 概率统计专业班级题号一二三四五六七八九十总分题分备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题一,填空题(满分15分)（1）设，条件概率，则（2）设随机变量的联合分布律为若，则.（3）设连续随机变量

10、的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为 （4）设和分别取自正态总体和的样本，且两样本相互独立，则统计量 服从 分布.（5） 假设，取统计量，当 时，拒绝域为 二, 计算题（满分10分）已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.三、计算题（满分15分）设连续型随机变量的密度为 (1)确定常数 (2)求 (3)求分布函数F(x).四, 计算题（满分15分）设随机变量（）的联合密度函数为(做表打)（1）求边缘密度函数； （2）是否相互独立？为什么？（3）计算五计算题（

11、满分10分）盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数的数学期望和方差。六、计算题(满分10分)某食品厂自动包装线包装饼干，每箱重量是随机的。设每箱的平均重量为50公斤，标准差为5公斤。现用最大载重量5000公斤的汽车承运，用中心极限定理估计每辆汽车最多装多少箱，可使不超载的概率大于0.977（）。七计算题（满分15分）设随机变量的分布密度函数，未知。为取自总体的一个样本，（1）求的矩估计量和极大似然估计量；（2）问：与是否是的无偏估计? 为什么？（要求写出证明过程）八、计算题（满分10分）有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值克，样本方差。求总体均值的

12、置信度为0.95的置信区间。附表： ，,，武汉理工大学教务处试题标准答案与评分标准用纸课程名称概率统计（B卷）一,(1) ,(2) 0.1,(3) (4) F(1,2n) ,(5) 或 二解:设:被查后认为是合格品的事件，:抽查的产品为合格品的事件. ，三解: 故 。当x (为已知数)，则当（ ），拒绝.A、 B、C、 D、二、填空题(本大题共5空，每空3分，共15分)1、设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=，且P（A）=P（B）=P（C）=x，则当x= 时，2、设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，则P（B）= .3、设随机变量即指数分布，则

13、的密度函数为，4、设二维随机向量的概率密度为则当时，关于的边缘概率密度.5、设为随机变量，且，则以下每题12分三 已知一批产品中有90是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.05.求：(1)任意抽查一件产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.四 设试求(1)分布函数 (2)五 在长为的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望。六 设总体,是从此总体中抽取的一个样本,指出下面估计量, ,是的无偏估计,并指出哪一个更有效.七 设总体在区间服从均匀分布。未知，为来自于总体的样本，求 的矩估计量。八 （10分）加法器在做加法运算时根据四舍五入原则先对每个加数取整后再运算。多少个数相加时，可使误差总和的绝对值不超过10的概率大于0.95?()武汉理工大学教务处试题标准答案与评分标准用纸一(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、B 2、A 3、C 4、A 5、D 二 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、 2、 3、, 4、 5、1三 表示合格品事件，产品检验合格事件 (1) (2)四 五 ，=六 , , 故都是的无偏估计 4分, , 4分因为2时9分四、,故,2分 且4分又相互独立，故相互独立,从而它的自由度为n-1