初三几何2中点辅助线.中位线(2014-2015)教师(13页).doc

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1、-初三几何2中点辅助线.中位线(2014-2015)教师-第 12 页 2015年中考解决方案构造中位线学生姓名：上课时间：2014.构造中位线知识点一 中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线

2、判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。秘籍三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形

3、，从而转化线段关系。 他位置的也要能看出 一、构造三角形中位线考点说明：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。“题中有中点，莫忘中位线”与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也有类似功效【例1】 已知：是的中线，是的中线，且，求证：【答案】取的中点，连结，易得，而，故再证，得【练1】如右下图，在中，若，为边的中点求证：【答案】如右下图，则取边中点，连结、由中位线可得，且为斜边

4、上的中线，又，即，【练2】在中，、分别为、边上的高，求证：【考点】三角形的中位线，30所对的直角边等于斜边的一半【答案】取、的中点，连结，从而得，又因，故【练3】在中，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且【答案】过作交于又，又故且【例2】 已知四边形的对角线，、分别是、的中点，连结分别交、于、，求证：【答案】设的中点为，连结、，容易证得，从而，所以 【练1】已知四边形中，分别是的中点，交于；交于，和交于点求证：【答案】取中点，连接【练2】已知：在中，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结

5、、，求证： （2）当点旋转到图2中的位置时，与有何数量关系？请证明【答案】取的中点，连结、是的中点，是的中点同理，【例3】 如图，在五边形中，为的中点求证：【答案】取中点，中点连结、，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有，同理可证即，【练1】 如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使过、 分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、求证：（1）；（2）【答案】（1）如图所示，根据题意可知且，且，所以而、分别是直角三角形、的斜边的中点，所以，又已知，从而（2）由(1)可知，则由可得而、均为等腰三角形，所以【练2】 已知：在中，分别以、为斜边作等腰直角三角形，和，是边的中点

6、求证：【答案】取中点中点连结 (两边分别垂直)【练3】 如图所示，已知和都是直角三角形，且，连接，设为的中点（1）求证（2）设，固定Rt，让Rt移至图示位置，此时是否成立？请证明你的结论【答案】（1）如图所示，延长交于因为，故，则，从而（2）结论是肯定的取、的中点、，连接、由、是Rt、Rt斜边上的中线可得，从而，又因为，故，从而，故【练4】 在ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是 （2）如图24-2所示，若ABAC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位

7、置关系？请给出证明过程；（3）在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图24-3中补全图形，并直接判断MED的形状图24-3图24-2图24-1 2014年门头沟二模【答案】（1） （2）如图，作，垂足分别为因为分别是等腰直角三角形和等腰直角三角形斜边上的高，所以分别是的中点 又是的中点，所以是的中位线分别是直角三角形和直角三角形斜边上的中线，（3）作图正确得一分 等腰直角三角形 【例4】 以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，.连接，、分别是、的中点探究：与的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，与的位置关系是_；

8、线段与的数量关系是_；（2）将图中的等腰绕点沿逆时针方向旋转()后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由【答案】（1），;（2）结论仍然成立。证法一：如图，延长至，使，交于点，并连结 在与中，又，且【练1】（1）如图1，、分别是的外角平分线，过点作,垂足分别为，连接求证： （2）如图2，分别是的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变 则在图2、图3两种情况下，还平行吗？它与三边又有怎样的数量关系？ 请你写出猜测，并给与证明【解析】（1）如图1，证明略 （2）如图2，证明过程略（3） 如图，证明过程略【练2】已知中，边上的高线

9、与的两条内角平分线、分别交于、两点、的中点分别为、求证：【点播】（模型）双垂直+角平分线=等腰三角形，可以让学生记住该模型【答案】因为是的平分线，所以.又因为，所以因此 又是的中点，所以，延长交于，延长交于可证明,所以和分别是和的中位线所以【例5】 等腰梯形中，与交于点，、分别是、的中点，求证：是正三角形【答案】连结、是等腰梯形，、都是正三角形是的中点，是的中点，、分别是直角三角形、斜边上的中线，是的中位线，是正三角形再给一种思路：(其实方法很多)取的中点，连结、证明，再证结论【练1】是的中线，是的中点，的延长线交于求证：【答案】取的中点，连接易得，为的中点，所以，从而可证得：【例6】 如左下

10、图，在梯形中，、分别是、中点求证：，且【答案】如图，连结并延长交于【练习2】在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知，分别以为边向外作和，且，连接交于点，探究线段与的数量关系。小慧同学的思路是：过点作于，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中与的数量关系（2）如图2，若，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若原问题中

11、的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。【答案】（1）（2）猜想：证明：过点作于，则，是等边三角形是等边三角形，(3)猜想：证法一：过点作于，连接，交于，则，四边形是平行四边形，证法二：分别过点，作于，于，连接则，点在同一条直线上中考真题拔高【例7】 已知：中，中，. 连接、，点、分别为、的中点. （1）如图1，若、三点在同一直线上，且，则的形状是_，此时_；（2）如图2，若、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；（3）在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.（10年海淀一模）图1 图2【答案】（1）等边三角形，1； （2）证明：

12、连接、.由题意，得，,. 、三点在同一直线上， 、三点在同一直线上. 为中点， 在Rt中，.在Rt中，. . 、四点都在以为圆心，为半径的圆上.又 ， .由题意，又.在Rt中，. ，（3）.【例8】 如图，D是ABC中AB边的中点，BCE和ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.（1）求证：DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，CPEF于点P. 求证：DPDQ. 同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面 两位同学的解题思路作为参考： 小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要 证明线段相等，可通过证明三角形

13、全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.（12年朝阳二模）【答案】（1）取AC的中点G，连接NG、DG.DGBC，DGBC；NGC是等边三角形. NG = NC，DG = CM. 1 + 2 = 180，NGD + 2 = 240.2 + 3 = 240，NGD =3.NGDNCM . ND = NM ，GND =CNM. DNM =GNC = 60.DMN是等边三角形. （2）连接QN、PM.QN =CE= PM. RtCPE中，PM =EM，4= 5. MNEF，5= 6，7= 8.NQCE，7= 4.6= 8.Q

14、ND= PMD. QNDPMD. DQ= DP. 【例9】 在ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得ABP=ACP过点P作PEAB于点E，PFAC于点F （1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当ABAC，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由（12年丰台二模）图1 图2【答案】（1）DE=DF （2）DE=DF不发生改变理由如下：分别取BP、CP的中点M、N，联结EM、DM、FN、DN D为BC的中点， 同理 四边形MDNP为平行四边形EMDDNF DE=DF【例10】 探究问题：已知AD、BE分别为ABC 的

15、边BC、AC上的中线，且AD、BE交于点O.（1）ABC为等边三角形，如图1，则AOOD=_；（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若ABC为一般三角形（如图2），中的结论仍成立，请你给予证明.（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在ABC中，点E是边AC的中点，AD平分BAC, ADBE于点F，若AD=BE=4.求：ABC的周长.（2012年房山二模试题） 图1 图2 图3【答案】（1）2：1 （2）证明略（3）方法一：过点C作CGBE，交AB延长线于点G，故是的中位线，点为重心，故周长为方法二：取中点，中点，连接，交于点，易证四边形为菱形，故为重心，=，故周长为【例11】 如图

16、1，在四边形中，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）（温馨提示：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得）问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在中，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明（13年延庆一模） 图1 图2 图3【答案】（1）等腰三角形（2）判断出直角三角形证明：如图连结，取的中点，连结， 是的中点，ABCDFGHE123，同理，60，是等边三角形 即是直角三角形 【例12】 我们知道三角形三

17、条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点为等腰直角三角形的重心，直线过点,过三点分别作直线的垂线，垂足分别为点. （1）当直线与平行时（如图1），请你猜想线段和三者之间的数量关系并证明；（2）当直线绕点旋转到与不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明（10年石景山一模）【答案】（1）猜想：证明：如图，延长交于点，点为等腰直角三角形的重心且又 （2）图2结论：证明：

18、联结并延长交于点 过做于由重心性质可得为重心为中点为中点(3)如图2，取中点，连接并延长交于点，连接，（梯形中位线），【例13】 以平面上一点 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 和 ，其中 （1） 点 、 、 分别是 、 、 的中点，连接 、 （2） 如图1，当点 、 分别在 、 的延长线上时，=_；如图2，将图1中的 绕点 沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若 ，点 在线段 上，且 点 是线段 上的一个动点，在将 绕点 旋转的过程中，线段 长度的最小值为_，最大值为_ (13年西城九上期末)【答案】（1）； 图8 结论：的值不变.（阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接 、 、 .（如图8） 中， ， ， . 中， ， ， 又 ， ，点 、 、 分别是 、 、 的中点， ， ，且，. ， ，即 . . 在 中， ，（2）线段PN长度的最小值为，最大值为.