留数在物理学中的应用.doc

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1、留数在物理学中应用摘要：留数定理是复变函数理论一个重要定理,它与解析函数在孤立奇点处洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切联系. 应用留数定理可以求解某些较难积分运算问题, 所以它可以起到采用不同方法,相互检验所得结果作用.具体物理问题中遇到一些积分在数学分析中没有对应原函数，留数定理往往是求解这些积分有效工具。本文介绍留数概念，留数定理，对留数定理进行一定拓展，以及留数理论在电磁学中安培环路定理、高斯定理公式推导，以及在阻尼振动、热传导、光衍射等问题中积分计算上一些应用，大大简化了计算过程。关键词：留数定理、安培环路定理、高斯定理、阻尼振动、热传导目录第一章 留数.3 1.1 引言 1.2

2、留数定义 1.3 留数定理 1.4 留数定理计算规则 1.5 留数定理拓展第二章 留数定理在电磁学中应用.6 2.1 安培定理及其与留数定理区别 2.2 应用留数定理对安培环路定理推导 2.3 留数定理在静电学中应用 2.4 留数在电磁学中一类积分中应用第三章 留数定理在物理学其他领域应用.15 3.1 留数在有阻尼振动狄利克雷型积分中 3.2 留数定理在研究光衍射时需要计算菲涅尔积分 中应用 3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题偏微分方程时将遇到积分中应用第四章 结语.18参考文献.19 第一章 留数1.1 引言留数是复变函数论中重要概念之一，它与解析函数在孤立奇点处洛朗展开式、柯

3、西复合闭路定理等都有密切联系. 留数定理是留数理论基础，也是复积分和复级数理论相结合产物，利用留数定理可以把沿闭路积分转化为计算在孤立奇点处留数，需要正确理解孤立奇点概念与孤立奇点分类和函数在孤立奇点留数概念.掌握留数计算法，特别是极点处留数求法，实际中会用留数求一些实积分.现在研究留数理论就是柯西积分理论继续，中间插入泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数有力工具.留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）问题有密切关系.此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”积分计算问题，还可以考察区域内函数零点分布状况.1.2 留数定义如果函数在邻域内是解析，则根

4、据柯西-古萨基本定理 （1）其中C为邻域内任意一条简单闭合曲线.但是如果是一个孤立奇点，且周线C 全在某个去心邻域内，并包围点，则积分 值，一般说来，不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它值来 （2）我们把（留下）这个积分值除以2后所得数为在留数,记作Res，即 Res= （3）从而有 Res= （4）此处是函数通过洛朗级数展开第负一次项系数.1.3 留数定理定理一 设函数在区域D内除有限个孤立奇，.，外处处解析.C是D内包围诸奇点一条正向简单闭曲线，那么 =2 （5）利用这个定理，求沿封闭曲线C积分，就转化为求被积函数在C中各孤立奇点处留数.定理二 如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇

5、点，那么在所有各奇点（包括点）留数总和必等于零.1.4 留数求法及一般规则I 如果是可去奇点，那么 Res=0，以为此时在展开式是泰勒展开式，所以=0 II 如果是本性奇点，那就往往只能把在展开成洛朗级数方法来求. III 在是极点情形，有以下三种特殊情况下规则 规则一 如果为一级极点，那么 Res=（z-） （6） 规则二 如果为m级极点，那么 Res= （7） 规则三 设=，P(z)及Q(z)在都解析，如果P(z)0，Q（z）=0，Q(z)0，那么为一级极点，而 Res= （8） 规则四 （9）1.5 留数定理拓展对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理

6、解析函数沿内部有有限个极点闭曲线复积分问题，对于积分区线上有极点情况没有提及 如果用极限方法，不但相当复杂且不能保证最终求出 当被积函数满足一定条件，即区域D 境界线为C，函数 在D 内解析且在C 上连续并满足Hlder 条件: ，(01 ) ，其中K 、 都是实常数，、为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分“积分主值”计算公式: (10)鉴于留数定理和柯西公式之间关系，可以将积分曲线上有限个极点情况推广到留数定理上 函数 在闭曲线 所围区域上除具有有限个奇点外是解析，此时，留数定理结论可改写为 （11）经过这样推广后，直接可以用到积分区间上有极点实变函数无穷积分上，无需针对实轴上极点取辅

7、助曲线，使得这类积分求解过程得以简化 第二章 留数定理在电磁学中应用2.1 安培环路定理及其与留数定理区别电磁学中安培环路定理表述：磁感应强度B沿任何闭合琦璐L线积分，等于穿过这环路所有电流强度代数和 倍.即 （12）其中电流I正负规定如下；当穿过回路L电流方向与回路L环路方向服从右手法则时，IO，反之，I0）.考虑线电荷在空间产生电场轴对称性选取线电荷沿z轴分布，它所产生电场E在平面内成径向分布，如图四所示.由电磁学知: (23)在直角坐标系中分量形式为 现在我们构造一个复函数 =那么除z=0外在空问各点都处处解析在z=0处，由留数定理有 （24）又 （25）由(24)式和(25)式可得 即

8、 （26）和 （27）有以上推导可知，利用复数 和留数定理得到方程(26)式和（27)式，(26)式即为电磁学中静电场环路定理，它表明静电场是保守场，且静电场中电力线不可能是闭合线。(27)式与电磁学中静电场高斯定理相对应，只不过这里是二维情况，因此，我们仅需利用一个复数便可以导出静电学中两个基本方程。2.4 留数在电磁学中一类积分中应用应用留数定理求解定积分问题时, 一般先进行解析延拓。解析延拓主要有两种方法:(1 ) 将原来积分区间变换为新复数平面一条闭合回路(+) , (2) 选择另一段积分与原积分区间, 构成复数平面闭合回路(+) , 如图l所示 图3 积分区间变换图即： （28）利用

9、留数定理求出(1) 式左边值及右边第二项复变函数积分, 则即可求得待求积分值.下面结合电磁学中间题,利用留数定理进行求解,问题如下:如图4 所示, 一无限长载流直导线与一半径为R 圆电流处于同一平面内, 它们电流强度分别为与 , 直导线与圆心相距为a , 求作用在圆电流上磁力。分析: 这是有关载流导线在不均匀磁场中受力电动力学问题. 利用安培定律和毕奥萨伐尔定律, 可求得载流圆线圈所受磁场力在x 轴和y 轴上分量分别为 = （29） = （30） = 经计算得： =0 = （31）在表示式中出现定积分, 此积分被积函数为三角函数形式, 在以往求解这类积分时,采用方法为先进行三角函数式万能变换,

10、 然后进行积分, 而这种方法在计算此类积分时显得非常麻烦,不易求出正确答案。为了避免这种情况, 这里我们将用留数定理来计算此积分, 计算方法如下: 先作变换使定积分积分区间变为复平面上闭合回路, 即这里采用第一种变换方法, 作变换为: Z= 取值在之间, 对应复变数z 取值在=1范围内, 所以有关系： cos=（z+） sin=(z-) (32) d=dz 图4 直导线与圆导线通电后受力分析图 当变量从0变至2时, z从z=1 沿复平面上单位圆 =1逆时针旋转一圈回到z=1 , 此时定积分化为复变函数回路积分 = = = (33)(33) 式中参数=, (33) 式中被积复变函数形式为 = 判

11、断极点有三个，=0，=，=，且三个极点都是一阶极点, 其中在、在=1单位圆内。应用留数定理可求得 （34）所以 = = (35)将(34) 、(35 ) 式代入(31) 式即可求出: = (36)以上计算有以下有几点：（1） 思路清晰（2） 较少涉及到计算技巧，极易掌握（3） 和其他方法起到互补作用 第三章 留数定理在物理学其他领域应用3.1 留数在有阻尼振动狄利克雷型积分中应用.该积分属于 类型积分 不妨假设0，设由 所唯一确定解析函数 在复平面上半平面及实轴上仅有有限个极点 若满足当z时0( 一致地趋于零) ，根据推广留数定理，只需取图3所示辅助闭曲线，即得： 图5 由实轴上直线段（-R,

12、R）和所围闭曲线 （m0） 属于在积分路径上有单极点实变函数积分，即由所唯一确定解析函数在整个平面上仅有实轴上一个单极点z = 0，则根据上式有: 3.2 留数定理在研究光衍射时需要计算菲涅尔积分中应用设=，=在研究菲涅尔衍射时，其光场中某点振动可为下面公式表示: （37）该式称为菲涅尔衍射公式，一般来说计算式相当复杂，但在傍轴近似下，可以利用二项式近似简化，通过求解菲涅尔积分 图6 闭曲线由实轴上（0，R）,圆弧z=及z=（r从R变化到0）组成 取图6 所示辅助曲线构成复平面上闭合曲线，当R时，沿实轴积分即待求积分 在此极限下沿圆弧积分根据若尔当引理其值为零，沿射线积分可以通过第二类欧拉积分

13、( x) =,由() = ， t = ，可得 则: 从而 =3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题偏微分方程时将遇到积分中应用对于一维无源导热问题，各点在任意时刻温度可以用定解问题描述: （38）用傅里叶变换法求解该方程时， 得到像函数一部分为， 其原函数需要通过求解积分 得到辅助曲线取矩形，即: 实轴上(N,N) ，: 平行于虚轴( N，0 )( N，) ， : 平行于实轴( N,)(N，) 及: 平行于虚轴(N，)( N,0) 四段构成闭曲线，如图5 所示: 图7 矩形闭曲线图7 矩形闭曲线由于在该闭曲线内函数无奇点，根据留数定理可知函数沿闭曲线积分值为零:当N时，可以证明沿， 积

14、分值为零，沿积分在h =时可以借助第二类欧拉积分在=时值求出，即，则 因此，利用留数定理求解实变函数反常积分，一般要通过取适当辅助曲线，将实变函数积分转化为求解沿闭曲线复变函数积分这种方法前提是被积函数要满足一定条件，即并非所有实变函数反常积分都能通过这种方法来求解 对于物理问题积分，由于有明确物理意义，一般是满足数学上求解条件 第四章 结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算和一些公式推导中一个非常有力工具 本文阐述了留数定义，留数定理及计算一般规则，就区域上及区域境界线上有极点情况对留数定理进行了推广，并将留数定理及留数定理及推广了留数定理应用于电磁学、阻尼振动、菲涅尔衍射及热传导等具体物理问题所遇到反常积分求解上，使得推导求解不再繁琐，大大简化了计算过程 参考文献1 西安交通大学高等数学教研室.复变函数与积分变换（第四版）M.高等教育出版社2 朱茱，刘敏在积分路径G上柯西积分公式J卑阳师范学院学报，2004，21(4)：60633 赵凯华.陈恩谋著电磁学上册 4 戴海峰.留数定理在一类物理问题中应用.淮北师范大学学报(自然科学版) 20125 姚启钧 .光学教程M北京：高等教育出版社，20026 四川大学数学学院高等数学、微分方程教研室编.高等数学（第三版第四册）M.高等教育出版社7 胡嗣柱. 倪光炯数学物理方法M.北京：高等教育出版社，200219 / 19