分解因式——主元法 题目(2页).doc

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1、-分解因式主元法 题目-第 3 页这里有详细解答主元法所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解.较为简单的例用1.因式分解 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.分析：如果懂得因式定理的话,解此题自然会流畅很多,但是用主元法的话,也十分简便.拆开原式,并按a的降幂排列得：(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b(bc+c2) =(a+c)(b+c)(a+b)-【十字相乘法】 十字相乘图为 x- b (b+c)x

2、 -bc+c2 对于低次因式分解,主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的.2.因式分解16y+2x2(y+1)2+(y-1)2x4 分析：本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了.原式=(y-1)2x4+2(y+1)2x2+16y-【主元法】 =(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)-【十字相乘法】 十字相乘图为 (y-1)2x2 -8y x2 -2 如果能很好地利用主元法,低次因式分解就不会太难了.高难度的主元法例用1.因式分解2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13x

3、yz 分析：本题属于高难度因式分解中的中档题,如果不假思索就上别的方法,就会处处碰壁.1.原式=2x3-(9y+z)x2+(13yz+7y2-16z2)x+6y3+15z3-37y2z+32yz-【主元法】 这样本题的条理就清晰多了,现抛开x,只看6y3+15z3-37y2z+32yz,这是一个2元三次因式分解,难度简单多了.原式=6y3-9zy2-(28y2z-32yz2-15z3)-【拆项法】 =(2y-3z)(y-5z)(3y+z) 再代入原题目,接下来的工作就简单了.由于首项x系数为2,所以本题难度综合来讲不是太难,算出系数2是与(y-5z)结合的.所以原式=(x-2y+3z)(2x+

4、y-5z)(x-3y-z)-【拆项法及十字相乘法】 接下来的部分,有兴趣的人可以看看.旷世难题型的因式分解竞赛类的学生,因式分解的高手可以演算一下,这是个很好的练习,6x4+18mx3-6x3y+30x2yz-42x2y2+6mx2y-6x2mz-6x2z+12x2m2+5px3+5yx3+15pm-5py+25pyz+25y2z-30py2-30y3+5mpy+5my2-5pmz-5myz-5pz2-5yz2+10pm2+10m2y+10yzx2+30myzx-10xy2z+50y2z2-60y3z+10my2z- 10myz2-10yz3+20m2yz-18my2x+6xy3-30y3z+

5、36y4-6my3+6my2z+6y2z2-12y2m2+10x2zp+30zpmx-10zpyx +50yz2p-60y2zp-2zpmy-10z2pm-10z3p-12x2zp-36mypx+12y2px-60y2pz+72y3p-12my2p+12ypmz+12ypz2-24m2yp-6p2x2-18mxp2+6xyp2-30yzp2+36p2y2-6myp2+6p2mz+6p2z2-12P2m2+24x2z2+72mz2x-24yz2+120yz3-144y2z2+24myz2-24mz3+24z4+48m2z2 终于,在其他方法都几乎失效时,主元法的威力体现了出来.分析：看题目的确很

6、长,但仔细观察也能发现其弱点.1.没有常数项.2.首项x的系数很小,预计其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式.3.自开始起,一部分是6的倍数,紧接着是5的倍数,直到至-2zpmy这一项时,这个特点断掉了.解题开始：令x,y,z,p都为0,原式变成了-2m2 令x,y为0,原式变成了-12p2m2 令x为0,原式=-12y3.+12p2m2,此时正是用主元法的时候,解得原式=(3y+4z+3p)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-【主元法,拆项法,十字相乘法,提取公因式法】 解下来抱歉的是本人实在无能为力,通过把上述的四项依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中,实际上还是要用主元法,原式=(2x+3y+4z+3p)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m) 对于这题,硬碰硬是不行的.