固体物理考试 复习(11页).doc
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1、-1、简立方原胞基矢 体心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢 2、试证面心立方的倒格子是体心立方 证:设与晶轴a、b、c平行的单位矢量分别为i、j、k。面心立方正格子的原胞基矢可取为 由倒格子公式得 可得倒格基矢为:3、考虑晶格中的一个晶面(hkl),证明:(a) 倒格矢垂直于这个晶面;(b) 晶格中相邻两个平行晶面的间距为;(c) 对于简单立方晶格有。证明:(a)晶面(hkl)在基矢上的截距为。作矢量: ,显然这三个矢量互不平行,均落在(hkl)晶面上(如右图),且 同理,有,所以,倒格矢晶面。(b)晶面族(hkl)的面间距为: (c)对于简单立方晶格: 4、一维简单格子,按德拜模型,求出晶格热
2、熔,并讨论高低温极限。解:按照德拜模型,格波的色散关系为w=vq。由图色散曲线的对称性可以看出,dw区间对应两个同样大小的波矢区间dq。对应L/a个振动模式,单位波矢区间对应有个振动模式,dw范围则包含个振动模式,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据此定义可得模式密度为:再利用式中N为原子数,a为晶格常数,得由公式得其热熔量为作变量变换得其中在高温时x是小量,上式被积分函数因此,晶格的高温热熔量在低温时中的被积函数按二项式展开成级数则积分此时期热熔量5、模式密度计算模式密度的一般表达式:德拜近似的模式密度,德拜近似的核心是假定频率正比于q。即代入式,容易得到:(1) 三维情况模式密度
3、对于三维情况,=c在q空间等频率面为球面,半径为:在球面上,是一个常数,且球面积分为:,因此:(2)二维情况模式密度对于二维情况,q空间也约化为二维空间,其等频面实际为一个圆,圆半径为:二维情况下的q空间中的密度为:A/(2),(这里A为二维晶格的面积),而且有:所以对于=c,二维情况的模式密度为:(3)一维情况模式密度同理,在一维情况下,q空间有两个等频点+q和-q。仿上面的方法可以得到:总之,色散关系为=c的形式时,在三维、二维和一维情况下,模式密度分别与频率的,0,-次方成比例。6、已知一维晶格中电子的能带可写成晶格常数,m是电子的质量,求,能带宽度,电子的平均速度,在带顶和带底的电子的
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