利用导数证明不等式50题(学生版)(74页).doc

《利用导数证明不等式50题(学生版)(74页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用导数证明不等式50题(学生版)(74页).doc（73页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-利用导数证明不等式50题(学生版)-第 61 页 利用导数证明不等式1（本小题满分12分）已知函数（）(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；(3)求证（，）2（本小题满分10分）（1）设，试比较与的大小；（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由3（本小题满分14分）已知函数（其中）()当时，求函数的极值；()若恒成立，求实数a的取值范围；()求证：对任意正整数n，都有4（本小题满分14分）已知函数， 其中，是自然对数的底数函数，（）求的最小值；（）将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证：

2、（1），其中；（2）5（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当时，试比较与的大小.6已知（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数解,求实数的取值范围；（3）当,时,求证： 7已知函数在处取得极值.（1）求实数的值； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；（3）证明:对任意的正整数,不等式都成立.8已知函数（）（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式 .9已知函数.（1）证明：；（2

3、）证明：.10已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2(f(x)是f(x)的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：0，a为常数)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a1，证明：当x1时，f(x)0），设曲线C与及y轴围成图形的面积为S，求S的值。（）令函数,讨论函数是否有极值，如果有，说明是极大值还是极小值。（）证明：当42（本小题满分12分）为实数，函数（1）求的单调区间（2）求证：当且时，有（3）若在区间恰有一个

4、零点，求实数的取值范围.43（本小题满分12分）已知函数 （是自然对数的底数，）.（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）证明对一切恒成立.44（本小题满分16分）已知函数（1）当时，若函数在上为单调增函数，求的取值范围；（2）当且时，求证：函数f (x)存在唯一零点的充要条件是；（3）设，且，求证：45（本小题满分14分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当处取得极值时，若关于的方程上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）求证：当时，有46定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx +b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（

5、x）f（x）kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx +b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”已知（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；（）设P（是函数 f（x）图象上任意两点，且0x10，使得请结合（I）中的结论证明：47（本小题满分12分）已知函数在处取得极值为2，设函数图象上任意一点处的切线斜率为k。（1）求k的取值范围；（2）若对于任意，存在k，使得，求证：48（本题满分14分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）（）判断函数在上的单调性；（II）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（）若实数

6、满足，求证：49已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .50已知函数.（）求函数的单调区间；（）若对定义域每的任意恒成立，求实数的取值范围；（）证明：对于任意正整数，不等式恒成立。参考答案1(1)当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；(2)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立；（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧

7、就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：（1） ,当时，的单调增区间为，单调减区间为； 3分当时，的单调增区间为，单调减区间为； 4分（2）令 若, 是增函数, 无解. 5分若,，,是减函数;, 是增函数 , 6分若， 是减函数,， 7分综上所述 8分（3）令（或）此时，所以，由（）知在上单调递增，当时，即，对一切成立， 9分，则有， 10分 要证只需证 11分所以原不等式成立 12分考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题；3、证明不等式.2解：（1）设，则，当时，单调递减；当时，单调递增；故函数有最小值，则

8、恒成立； 3分（2）取进行验算：，猜测：， 5分存在，使得恒成立证明一：对，且，有又因，故，从而有成立，即所以存在，使得恒成立 10分证明二：由（1）知：当时，设，则，所以，当时，再由二项式定理得：即对任意大于的自然数恒成立， 从而有成立，即所以存在，使得恒成立 10分【解析】试题分析：（1）复合函数求导求最值；（2）取进行验算，得a=2,用二项式定理证明考点：复合函数的导数，二项式定理点评：本题考查了复合函数的导数，二项式定理等综合应用，属难题3()函数在处取得极小值，函数无极大值() ()证明略【解析】试题分析：第一步把代入函数解析式，求极值要先求导数，令，求出极值点，根据函数单调性求出极

9、小值；第二步，求导数，下面针对进行讨论，由于恒成立，只需的最小值大于或等于零，最后求实数a的取值范围；第三步依据第二步的结论，令，则，有，令()，得，把从取-时的n个不等式相加，之后用放缩法证明出结论.试题解析：() 当时，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，函数无极大值()由，若，则，函数单调递增，当x趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数存在唯一零点，当时，；当时，故不满足条件若，恒成立，满足条件若，由，得，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，由得，解得综上，满足恒成立时实数

10、a的取值范围是()由()知，当时，恒成立，所以恒成立，即，所以，令()，得，则有，所以，所以，即考点：1.利用导数求极值；2.利用导数导数求函数最值；3.利用导数证明不等式；本题是导数的综合应用；4（）0（）证明见解析【解析】试题分析：（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）证明不等式，利用函数的单调性很常见，一定要注意选取恰当的函数及单调区间（3）不等式具有放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好切入点.试题解析：（），当时，；当时，

11、；所以，函数在上是减函数，在上是增函数，所以，综上所述，函数的最小值是0 4分（）证明：对求导得，令可得，当时，此时；当时，此时所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和 7分因为函数在区间上单调递增，又，所以当时，因为，且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点，又在区间上是单调的，故 9分（2）证明：由（）知，则，因此，当时，记S=则S 11分由（1）知，S当时，；当时，S即，S，证毕 14分考点：利用导数求函数最值，利用单调性及放缩法证明不等式.5（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由代入函数解得a的值，既得函数的解析式，再由恒成立，分离变量得恒成立，利用导数求新

12、函数的单调性，从而得的最小值，既得实数b的取值范围；（2）先求导函数，若函数在定义域上是单调函数，则恒成立，当时，求函数的最大值，可得a的取值范围；当时，由于函数无最小值，则不恒成立，可得解；（3）由（1）知在（0,1）上单调递减，则时，即，而时， 试题解析：（1），a=1 f（x）=x2+x-xlnx.由x2+x-xlnxbx2+2x，令，可得在上递减，在上递增，所以，即 （2）时，函数在单调递增 ，必有极值，在定义域上不单调.（3）由（1）知在（0,1）上单调递减时，即 而时， 考点：1、利用导数判断函数的单调性及最值；2、恒成立问题；3、不等式、函数及导函数的综合应用.6（1）函数在区间

13、（0,1）上为增函数；在区间为减函数；（2）；（3）详见解析【解析】试题分析：（）先求出，从而得函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+）为减函数（）由（）得f（x）的极大值为f（1）=1，令，得函数 g（x）取得最小值g（1）=k-1，由有实数解，k-11，进而得实数k的取值范围（）由，得，从而 ，即，问题得以解决试题解析：解：（1）, 当时,；当时,； 函数在区间（0,1）上为增函数；在区间为减函数 4分（2）由（1）得的极大值为,令,所以当时,函数 取得最小值,又因为方程有实数解,那么, 即,所以实数的取值范围是： 8分（3）函数在区间为减函数,而, ,即即,而, 结论成立

14、 12分考点：1利用导数研究函数的单调性；2导数在最大值、最小值问题中的应用7（1）（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得，求得值；（2）关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，将问题转化为，在区间上恰有两个不同的实数根，对对进行求导，从而求出的范围；（3）的定义域为，利用导数研究其单调性，可以推出，令，可以得到，利用此不等式进行放缩证明； 试题解析：（1） ， 时, 取得极值, 故，解得 经检验符合题意. （2）由知 由,得 令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. 当时, ,于是在上单调递增; 当时, ,于是在上单调递

15、减.依题意有 解得 （3） 的定义域为,由（1）知,令得,或 （舍去）, 当时, ,单调递增;当时, ,单调递减.为在上的最大值. ,故 （当且仅当时,等号成立） 对任意正整数,取得, , 故 （方法二）数学归纳法证明：当时，左边，右边，显然，不等式成立.假设时，成立，则时，有.作差比较：构建函数，则，在单调递减，.取，即，亦即，故时，有，不等式成立.综上可知，对任意的正整数,不等式都成立考点：（1）利用导数研究函数的极值（2）利用导数研究函数的单调性.8（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）求导数，对参数进行分类讨论，当导函数大于0时，得到增区间，导函

16、数小于0时得到减区间。（2）含参数不等式恒成立问题，一般要把要求参数分离出来，然后讨论分离后剩下部分的最值即可。讨论最值的时候要利用导数判断函数的单调性。（3）证明不等式可以有很多方法，但本题中要利用（1）（2）的结论。构造函数，然后利用函数单调性给予证明。试题解析：（1）函数的定义域为， 1分当时，从而，故函数在上单调递减 3分当时，若，则，从而，若，则，从而，故函数在上单调递减，在上单调递增； 5分（2）由（1）得函数的极值点是，故 6分所以，即，由于，即. 7分令，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增； 9分故，所以实数的取值范围为 10分（3）不等式 11分构造函数，则，在上恒成

17、立，即函数在上单调递增， 13分由于，所以，得故 14分考点：1、多项式函数求导；2、利用导数判断函数的单调性，最值以及证明不等式的综合应用。9（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对函数求导，利用单调递增，单调递减，来判断函数的单调性来决定函数最值的位置；第二问，因为，所以转化为，结合第一问的结论，所以只需证明，通过对求导即可.， 1分当时，当时，即在上为减函数，在上为增函数 4分，得证 5分（2）， 6分时，时，即在上为

18、减函数，在上为增函数 8分又由（1） 10分 12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.10（1）f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)（2）m0)，解f(x)0得x(1，)；解f(x)0)，f(2)1得a2，f(x)2ln x2x3，g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g(0)2，由题意知：对于任意的t1,2，g(t)0恒成立，mf(1)，即ln xx10，0ln xx1对一切x(1，)成立n2，nN*，则有0ln nn1，0(n2，nN*)11(1) ； (2)详见解析； (3)详见解析【

19、解析】试题分析：(1) 先求导，由导数的几何意义可得在点的导数即为在此点处切线的斜率。从而可得的值。 (2) 先求导，证导数在 大于等于0恒成立。(3) 因为，不妨设，因为在上单调递增，所以，所以可将问题转化为，可整理变形为，设，因为且，只需证在上单调递增即可。试题解析：(1) = ()，()，因为曲线在点处的切线与直线平行，解得。(2) =()所以函数在上为单调增函数；(3)不妨设，则要证只需证, 即证只需证设由(2)知在上是单调增函数，又，所以即 ，即 所以不等式成立.考点：1导数的几何意义；2用导数研究函数的性质；3转化思想。12(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.【解

20、析】试题分析：(1) 一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对,所以如果在单调增,则必有对的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.又,故切线方程为.综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)令,则,显然有,且的导函数为：若,则,

21、由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.综上所述,所求的最大值是.（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对，故，即对恒有：在此不等式中依次取，得：将以上不等式相加得：，即.考点：导数及其应用.13（1）；（2）实数的取值范围;（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）因为,故, ,由此可得,是以4为周期,重复出现,故;（2）若在上恒成立，求实数的取值范围,由得,即在上恒成立，令,只需求出在上的最小值即可,可利用导数法来求最小值;（3）证明：,由（2）知：时

22、，,即,这样得到，令，叠加即可证出试题解析：(1)周期为4，（2）方法一：即在上恒成立，当时，；当时，设，设，则时，增；减.而，所以在上存在唯一零点，设为，则,所以在处取得最大值，在处取得最小值，.综上：.方法二：设，.当时，在上恒成立，成立，故；当时，在上恒成立，得，无解.当时，则存在使得时增，时减，故，解得，故.综上：.（3）由（2）知：时，即.当时，考点：函数与导数,函数与不等式综合问题.14（1）；（2）证明过程详见试题解析；（3）证明过程详见试题解析.【解析】试题分析：（1）当时， . 有单调减区间，两种情况讨论的取值范围是；（2）此问就是要证明函数在上的最大值小于或等于，经过求导讨

23、论单调性得出当时，有最大值，命题得证；（3）利用（2）的结论，将此问的不等关系，转化成与（2）对应的函数关系进行证明.试题解析：（1）当时， 有单调减区间，有解，即 ， 有解.（）当时符合题意；（）当时，即。的取值范围是.（2）证明：当时，设，讨论的正负得下表：当时有最大值0.即恒成立.当时，恒成立.（3）证明：，由（2）有考点：函数与导数；不等式综合.15(1) 在，(1，)上单调递增，在上单调递减(2)见解析【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).当0a0解得0x，由f(x)0解得1x0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递增当a1时，由f(x)0解得x1或0x

24、，由f(x)0解得x1.所以函数f(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减(2)证明：当a1时，原不等式等价于ln x2x1，所以，因此ln x2x1时，h(x)x24x0，所以h(x)在(1，)上单调递减，从而h(x)h(1)0，即g(x)0，所以g(x)在(1，)上单调递减，则g(x)1时，f(x)x2.16（1）详见解析；（2），证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先对函数求导，由于函数有定义域，所以恒大于0，所以对进行讨论，当时，导数恒正，所

25、以函数在上是增函数，当时，的根为，所以将定义域从断开，变成2部分，分别判断函数的单调性；第二问，（1）通过第一问的分析，只有当时，才有可能有2个零点，需要讨论函数图像的最大值的正负，当最大值小于等于0时，最多有一个零点，当最大值大于0时，还需要判断在最大值点两侧是否有纵坐标小于0的点，如果有就符合题意，（2）由（1）可知函数的单调性，只需判断出和的正负即可，经过分析，因为,所以.只要证明:就可以得出结论，所以下面经过构造函数证明，只需求出函数的最值即可.试题解析：（I）的定义域为其导数 1分当时，函数在上是增函数； 2分当时，在区间上，；在区间上，所以在是增函数，在是减函数. 4分（II）由（

26、I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得， 6分此时，且，令，则，所以在上单调递增，所以，即所以的取值范围是 8分证法一：.设 . .当 时， ；当 时， ；所以在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 .由于 ，且 ，所以 ，所以.下面证明：当时， .设 ，则 .在 上是增函数，所以当时， .即当时，.由得 .所以.所以 ，即，.又 ，所以，.所以 .即.由，得.所以， . 12分证法二：由（II）可知函数在是增函数，在是减函数.所以.故 第二部分:分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论下面给出证

27、明：构造函数：则：所以函数在区间上为减函数.,则,又于是. 又由(1)可知 .即 12分考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用函数求函数最值；3.构造函数法；4.放缩法.17（）F(x)在(0，)上是增函数；（）f(x1)f(x2)f(x1x2)；（）f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn).【解析】试题分析：（）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F(x)，f (x)，x0，则xf (x)f(x)0，即F(x)0，F(x)在(0，)上是增函数.（）要证明f(x1)f(x2)f(x1x2)，可以从第（）的结论入手，x10，x20，0x1x1x2，F(x)在(0，)上是增函

28、数，则F(x1)F(x1x2)，即，而x10，所以f(x1)f(x1x2)，同理f(x2)f(x1x2)，两式相加，得f(x1)f(x2)f(x1x2)，得证.（）（）中结论的推广形式为：设x1，x2，xn(0，)，其中n2，则f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)证明的方法同（）的证明，x10，x20，xn0，0x1x1x2xnF(x)在(0，)上是增函数，F(x1)F(x1x2xn)，即，而x10，所以f(x1)f(x1x2xn)，同理f(x2)f(x1x2xn)，f(xn)f(x1x2xn)，以上n个不等式相加，得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)，得证.试题解析

29、：（）对F(x)求导数，得F(x)f (x)，x0，xf (x)f(x)，即xf (x)f(x)0，F(x)0故F(x)在(0，)上是增函数（）x10，x20，0x1x1x2由（），知F(x)在(0，)上是增函数，F(x1)F(x1x2)，即x10，f(x1)f(x1x2)同理可得f(x2)f(x1x2)以上两式相加，得f(x1)f(x2)f(x1x2)（）（）中结论的推广形式为：设x1，x2，xn(0，)，其中n2，则f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)x10，x20，xn0，0x1x1x2xn由（），知F(x)在(0，)上是增函数，F(x1)F(x1x2xn)，即x10，f(x

30、1)f(x1x2xn)同理可得f(x2)f(x1x2xn)，f(x3)f(x1x2xn)，f(xn)f(x1x2xn)以上n个不等式相加，得f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)考点：1.利用导数求单调性；2.利用函数单调性证明不等式.18（）在内是增函数，在内是减函数.当时，取得极大值=.（）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（）求出导函数=，然后令=0，解得.画出，随着 变化而变化的表格，即可得出的单调区间和极值；（）先求出，然后令，求出，求出当时，即可得证；（）由得，不可能在同一单调区间内，则根据（）的结论，设，根据（）可知，而，故，即得证.试题解析：（）=，=.令=0，解

31、得.20极大值在内是增函数，在内是减函数.当时，取得极大值=.（）证明：，,当时，0，4，从而0，0，在是增函数.（）证明：在内是增函数，在内是减函数. 当，且，不可能在同一单调区间内.不妨设，由（）可知，又，.，且在区间内为增函数，即考点：1.导数求函数的单调性和极值；2.导数求函数的最值；3.函数单调性在证明不等式中的应用,19（1）时，在（0,1）是增函数，在是减函数； 时，在（0,1），是增函数，在是减函数； 时，在是增函数. （2）见解析.【解析】试题分析：（1）求导数得到，而后根据两个驻点的大小比较，分以下三种情况讨论.时，在（0,1）是增函数，在是减函数； 时，在（0,1），是增

32、函数，在是减函数； 时，在是增函数. （2）注意到时，在是增函数当时，有.从而得到：对任意的，有通过构造，并放缩得到利用裂项相消法求和，证得不等式。涉及数列问题，往往通过“放缩、求和”转化得到求证不等式.试题解析：（1） 1分时，在（0,1）是增函数，在是减函数； 3分时，在（0,1），是增函数，在是减函数； 5分时，在是增函数. 6分（2）由（1）知时，在是增函数当时，.对任意的，有 8分 10分所以 12分考点：应用导数研究函数的单调性，应用导数证明不等式，“裂项相消法”求和.20（），；（）实数的取值范围是；（）详见解析【解析】试题分析：（）求常数的值，由函数(是常数)在处的切线方程为，只需对求导，让它的导数在处的值即为切线的斜率，这样能得到的一个关系式，由，代入函数中，又得到的一个关系