初中数学知识要点及典型例题(194页).doc

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1、-初中数学知识要点及典型例题-第 177 页初中数学知识要点及典型例题第一章 实数 第一讲 实数的有关概念【回顾与思考】知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值课标要求：1 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念2 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。3 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小4 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。考查重点：1 有理数、无理数、实数、非负数概念；2相反数、倒数、数的绝对值概念；3在已知中，以非负数a2、|a|、(a0)之和为零作为

2、条件，解决有关问题。实数的有关概念(1)实数的组成(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，(3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称(4)绝对值从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离(5)倒数实数a(a0)的倒数是(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数【例题经典】理解实数的有关概念例1 a的相反数是-,则a的倒数是_实数a、b在数轴

3、上对应点的位置如图所示:则化简b-a+=_去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约_例2.(-2)3与-23( )(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。答案：A的绝对值是 ；-3 的倒数是 ；的平方根是 分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。答案：，-2/7，2/3例4.下列各组数中，互为相反数的是 ( )D A-3与 B-3与一 C-3与 D-3与分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念掌握实数的分类例1 下列实数、sin60、（）0、3.14159、-、（-）-2、中无

4、理数有（ ）个A1 B2 C3 D4【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断第二讲 实数的运算【回顾与思考】知识点：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字。课标要求：1 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。2 了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。3 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用

5、四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。4 了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算。考查重点：1 考查近似数、有效数字、科学计算法；2 考查实数的运算；实数的运算(1)加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。(2)减法 a-b=a+(-b)(3)乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零即(4)除法 (5)乘方 (6)开方 如果x2a且x0，那么

6、x； 如果x3=a，那么在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减有括号时，先算括号里面3实数的运算律 (1)加法交换律 a+bb+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 abba (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意实数运用运算律有时可使运算简便【例题经典】例1、若家用电冰箱冷藏室的温度是4，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22，则冷冻室的温度（）可列式计算为 A 422 18 22418 22（4）26 42226点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时

7、也强调“列式”，即过程。选（A）例2我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为671103千米，总航程约为(取314，保留3个有效数字) ( ) A590 105千米 B590 106千米 C589 105千米 D589106千米分析：本题考查科学记数法 答案：A的结果是( )(A)-2 (B) +2 (C)3(-2) (D)3(+2)分析：考查实数的运算。答案：B例4.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )b+c0a+ba+cbcacabac(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个分析：考查实数的运算，在数轴上比较实

8、数的大小。答案：C例5计算：-+（-2）2（-1）0-【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。例5.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食请你帮他把标语中的有关数据填上(已知1克大米约52粒) 如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费 吨大米分析：本题考查实数的运算。答案：25例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，(这就是著名的斐波那契数列)请你仔细观察这列数中的规律后回

9、答：上10级台阶共有 种上法分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和答案：89例8.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)1!=1，2!=21，3!=321，4!=4321，计算：= 分析：阅读各算式，探究规律，发现100！=100*99*98！答案：9900第二章 代数式中考要求及命题趋势1、 掌握整式的有关知识，包括代数式，同类项、单项式、多项式等；2、熟练地进行整式的四则运算，幂的运算性质以及乘法公式要熟练掌握，灵活运用；3、熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式 ； 4、了解分式的有关概念式的基本性质；5、熟练进行分式的加、减、乘、除、乘方的运算和应用。应试对策掌握整式

10、的有关概念及 运算法则，在运算过程中注意 运算顺序，掌握运算规律，掌握乘法 公式并能灵活运用，在实际问题中，抽象的代数式以及代数式的应用题值得重视。要掌握并灵活运用分式的基本性质，在通分和约分 时 都要注意分解因式知识的应用。化解 求殖题，一要注意 整体思想，二要注意解题技巧，对于分式的应用题，要能从实际问题中抽象出数学模型。第一讲 整式【回顾与思考】知识点代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂。课标要求1、 了解代数式的概念，会列简单的代数式。理解代数式的值的概念，能正确地求出

11、代数式的值；2、 理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；3、 掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算；4、 能熟练地运用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）进行运算；5、 掌握整式的加减乘除乘方运算，会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算。考查重点1代数式的有关概念 (1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子单独的一个数或者一个字母也是代数式 (2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，

12、计算后所得的结果p叫做代数式的值 求代数式的值可以直接代入、计算如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值(3)代数式的分类2整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析(3)多项式的降幂排列与升幂排列把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列把个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂

13、排列，给出一个多项式，要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列(4)同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷 要会判断给出的项是否同类项，知道同类项可以合并即其中的X可以代表单项式中的字母部分，代表其他式子。3整式的运算 (1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接整式加减的一般步骤是： (i)如果遇到括号按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉括号里各项都改变符号 (ii)合并同类项： 同类项的系数相加，所得的结果作为系数字母和字母的指数不

14、变 (2)整式的乘除：单项式相乘(除)，把它们的系数、相同字母分别相乘(除)，对于只在一个单项式(被除式)里含有的字母，则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘(除)要用到同底数幂的运算性质：多项式乘(除)以单项式，先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式，再把所得的积(商)相加多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：(3)整式的乘方单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因式。单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质：多项式的乘方只涉及【例题经

15、典】代数式的有关概念例1、已知1b0， 0a1，那么在代数式ab、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（ ）(A) a+b (B) ab (C) a+b2 (D) a2+b评析：本题一改将数值代入求值的面貌，要求学生有良好的数感。选（B）同类项的概念例1若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得 解出即可例2（05宝应）一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是（ ）A4xy 3xy 2xy xy评析：本题是一道数形结合题，考查了平面图形的面积的计算、合并同类项等知识，同时又隐含着对代

16、数式的理解。选（B）幂的运算性质例1（1）aman=_（m，n都是正整数）；（2）aman=_（a0，m，n都是正整数，且mn），特别地：a0=1（a0），a-p=（a0，p是正整数）；（3）（am）n=_（m，n都是正整数）；（4）（ab）n=_（n是正整数）（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_（6）完全平方公式：（ab）2=_【点评】能够熟练掌握公式进行运算.例2.下列各式计算正确的是( ) (A)(a5)2=a7 (B)2x-2= (c)4a32a2=8a6 (D)a8a2=a6分析：考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况。答案：D例3.下列各式中，运算正确的是 ( ) Aa

17、2a3=a6 B(-a+2b)2=(a-2b)2 c(a+bO) D分析：考查学生对幂的运算性质 答案：B例4、(泰州市)下列运算正确的是A ; B(2x)3=2x3 ;C(ab)(ab)=a22abb2 ; D评析：本题意在考查学生幂的运算法则、整式的乘法、二次根式的运算等的掌握情况。选 （D）整式的化简与运算例5计算：9xy(-x2y)= ；（2006年江苏省）先化简，再求值：（x-y）2+（x+y）（x-y）2x其中x=3，y=-15【点评】本例题主要考查整式的综合运算，学生认真分析题目中的代数式结构，灵活运用公式，才能使运算简便准确第二讲 因式分解与分式【回顾与思考】因式分解知识点因式

18、分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。课标要求理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。考查重点与常见题型考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式其中m叫做这个

19、多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式(2)运用公式法，即用写出结果(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则 (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.(5)求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么【例题经典】掌握因式分解的概念及方法例1、分解因式：

20、x3-x2=_;x2-81=_;x2+2x+1=_;a2-a+=_;a3-2a2+a=_.【点评】运用提公因式法，公式法及两种方法的综合来解答即可。2-y2-xy分解因式的结果是 分析：考查运用提公因式法进行分解因式。答案：(x+y)(x-y-1)例3.分解因式：a24a+4= 分析：考查运用公式法分解因式。答案：(a-2)2分 式知识点:分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算课标要求:了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。考查重点与常见

21、题型:1考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确的是（ ）（A）-40 =1 (B) (-2)-1= (C) (-3m-n)2=9m-n (D)(a+b)-1=a-1+b-12.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如：化简并求值：. +(2),其中x=cos30,y=sin90知识要点1分式的有关概念设A、B表示两个整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母

22、有公因式，要进行约分化简2、分式的基本性质 （M为不等于零的整式）3分式的运算(分式的运算法则与分数的运算法则类似) (异分母相加，先通分)； 4零指数 5负整数指数 注意正整数幂的运算性质 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数熟练掌握分式的概念：性质及运算例4 （1）若分式的值是零，则x=_【点评】分式值为0的条件是：有意义且分子为0（2）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（ ） Ax-4且x-2 Bx=-4或x=2Cx=-4 Dx=2（3）如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ） A扩大10倍 B缩小10倍 C不变 D扩大2倍例5：化简

23、()的结果是 分析：考查分式的混合运算，根据分式的性质和运算法则。答案：-例6.已知a=，求的值分析：考查分式的四则运算，根据分式的性质和运算法则，分解因式进行化简。答案：a=2-1，原式=a-1+=3例7.已知|a-4|+ =0，计算的值答案：由条件，得a-4=0且b-9=0 a=4 b=9原式=a2/b2当a=4，6=9时，原式=16/81例8.计算(xy+)(x+y-)的正确结果是( )A y2-x22-y2 cx2-4y2 D4x2-y2 分析：考查分式的通分及四则运算。答案：B因式分解与分式化简综合应用例1先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值【点评】注意代入的数值

24、不能使原分式分母为零，否则无意义例2、（05河南）有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？点评：化简可发现结果是，因此无论还是其计算结果都是7。 可见现在的考试特别重视应用和理解。第三讲 数的开方与二次根式【回顾与思考】知识点平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化课标要求1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次

25、根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。内容分析1二次根式的有关概念(1)二次根式式子叫做二次根式注意被开方数只能是正数或O(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式2二次根式的性质 3二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次

26、根式分别合并(2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)把分母的根号化去，叫做分母有理化考查重点与常见题型1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。3.考查二次根式的计算或化简求值

27、，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。【例题经典】理解二次根式的概念和性质例1 （1）式子有意义的x取值范围是_【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负（2）已知a为实数，化简【点评】要注意挖掘其隐含条件：a10 000若从节省资金的角度考虑，应选择甲工程队例7为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计118万立方米，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万立方米(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600吨土石，运输公司派出A型、B型两种载重汽车，A型汽车6辆、B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆、B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完那么每辆A型汽车、每辆B型汽车每次运土石各多少吨?(每辆汽车运土石都以标准载重量满载)解：(1)设甲水厂的日供水量是x万立方米，则乙水厂的日供水量是3x万立方米，丙水厂的日供水量是(x/2+1)万立方米由题意得：x+3x+x/4+1=118 解得：x=24 答：甲水厂日供水量