2017届北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(文科) 含解析.doc

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1、2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集U=R，集合A=x|x1，B=x|x20，则（UA）B）=（）Ax|x2Bx|1x2Cx|1x2Dx|x22复数=（）A2iB22iC1+iD1i3已知非零实数a，b满足ab，则下列不等式中一定成立的是（）Aa+b0BCabb2Da3b304已知平面向量=（1，0），=（，），则与+的夹角为（）ABCD5若a0，且a1，则“函数y=ax在R上是减函数”是“函数y=（2a）x3在R上是增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不

2、充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，MF1F2=30，则该双曲线的离心率是（）ABCD或7某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）ABCD8某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A23B20C21D19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9已知等差数列an的前n项和为Sn若a1=2，S

3、2=a3，则a2=，S10=10圆C：x2+y2+2x2y2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是11执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为12在ABC中，已知，则C=13设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是14甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数f（x）=2sin

4、xcosx+2cos2x1（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，上的最大值和最小值16已知等比数列an的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b1=3，b2=6，且bnan是等差数列，求数列bn的前n项和17甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲 82 82 79 95 87乙 95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由18如图

5、，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD平面ABEF，AFBE，ABBE，AB=BE=2，AF=1（）求证：AC平面BDE；（）求证：AC平面DEF；（）求三棱锥CDEF的体积19在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）若曲线C上的两点M，N满足OMPA，ONPB，求证：OMN的面积为定值20设函数f（x）=（x1）ex+ax2，aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（ III）设函数g（x）=lnx+xex+1，当a=

6、0时，证明f（x）g（x）02016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集U=R，集合A=x|x1，B=x|x20，则（UA）B）=（）Ax|x2Bx|1x2Cx|1x2Dx|x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：全集U=R，集合A=x|x1，B=x|x20=x|x2，UA=x|x1，则（UA）B=x|1x2，故选：C2复数=（）A2iB22iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运

7、算法则即可得出【解答】解： =1i，故选：D3已知非零实数a，b满足ab，则下列不等式中一定成立的是（）Aa+b0BCabb2Da3b30【考点】不等式的基本性质【分析】根据不等式的性质求解即可【解答】解：对于A：ab，则ab0，ba0，A不对对于B：ab，当a0b，则，B不对对于C：ab，当ab0，则abb2，C不对对于D：ab，则a3b3，即a3b30，D对故选D4已知平面向量=（1，0），=（，），则与+的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算法则，求得cos= 的值，可得的值【解答】解：向量=（1，0），=（，），+=（

8、，），（+）=（1，0）（，）=，设与+的夹角为，则由cos=，可得=，故选：B5若a0，且a1，则“函数y=ax在R上是减函数”是“函数y=（2a）x3在R上是增函数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数单调性之间的关系以与充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若函数y=ax在R上是减函数，则0a1，此时2a0，则函数y=（2a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2a）x3在R上是增函数，则2a0，即0a2，则函数y=ax在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数

9、y=ax在R上是减函数”是“函数y=（2a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A6已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，MF1F2=30，则该双曲线的离心率是（）ABCD或【考点】双曲线的简单性质【分析】利用正弦定理计算MF2F1=60或120，分类求出c的值，利用双曲线的定义计算a，即可求得双曲线的离心率【解答】解：M是双曲线上的一点，|MF1|=，|MF2|=1，MF1F2=30，由正弦定理可得， =，即=，解得sinMF2F1=，MF2F1=60或120，当MF2F1=60时，MF2F1为直角三角形，此时2c=

10、|F2F1|=2即c=1，2a=|MF1|MF2|=1，即a=e=+1，当MF2F1=120时，MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=|MF1|=1即c=，2a=|MF1|MF2|=1，即a=，e=，故选：D7某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的某四棱锥的三视图，画出几何体的直观图，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2=，高h=，故体积V=，故选：C8某校高三（1）班32名学生参加跳远和

11、掷实心球两项测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A23B20C21D19【考点】Venn图表达集合的关系与运算【分析】设这两项成绩均合格的人数为x，根据集合关系建立方程进行求解即可【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26x，则26x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9已知等差数列an的前n项和为Sn若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10=110【考点】等差数列的前

12、n项和【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1=2，S2=a3，2a1+d=a1+2d，即2=d，a2=2+2=4S10=102=110故答案为：4，11010圆C：x2+y2+2x2y2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是3【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标，利用点到直线的距离公式即可求出圆心到已知直线的距离【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y1）2=4，可得圆心坐标为（1，1），则圆心到直线3x+4y+14=0的距离d=3故答案为：311执行如图所示的程序框图，

13、则输出S的结果为30【考点】程序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论【解答】解：第一次，i=1，满足条件，i6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件i6，程序终止，输出S=30，故答案为：3012在ABC中，已知，则C=105【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得角A，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到C【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，0A135A=30则C=1803045=105故答案为：105

14、13设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是，0【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可判断的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2=，由约束条件xy0，可知0，令z=，可得z2=1，令t=，由可行域可得（，11，+）求解的最小值，就是解z2的最大值，即1的最大值，可知（，1，

15、显然=1时，z2取得最大值2所以z，的取值范围是，0）故答案为：，0）14甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是甲【考点】进行简单的合情推理【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手中只有一个人说的是真话”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题【解答】解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意若丁是获奖的歌

16、手，则乙、丙都说真话，不符合题意若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意故答案为：甲三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，上的最大值和最小值【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性与其求法；正弦函数的定义域和值域【分析】（）先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式T=求周期；（）根据正弦函数的最值结合定义域求函数y=2sin（2x+）最值【解答】解：（）f（x）=2sinxcosx+2co

17、s2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）T=（）x，2x+，12sin（2x+）2函数f（x）在区间，上的最小值为1，最大值为216已知等比数列an的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b1=3，b2=6，且bnan是等差数列，求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）设正项等比数列an的公比为q，由可求得q，从而可求得数列an的通项公式；（）由b1=3，b2=6，且bnan是等差数列，可得数列bnan是首项为1，公差为d=1的等差数列，继而可得，利用分组求和法即可求得数列bn的前n项和【解答】（本小题满分13分

18、）解：（）设等比数列an的公比为q，依题意 q0因为，两式相除得：q2+q6=0，解得 q=2，q=3（舍去）所以所以数列an的通项公式为（）解：由已知可得b1a1=32=1，b2a2=64=2，因为bnan为等差数列，所以数列bnan是首项为1，公差为d=1的等差数列所以 bnan=1+（n1）=n则因此数列bn的前n项和： =（1+2+3+n）+（2+22+23+2n）=17甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲 82 82 79 95 87乙 95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩

19、比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；古典概型与其概率计算公式【分析】（1）直接由题目给出的数据画出茎叶图；（2）求出甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数，查出甲的成绩比乙高的个数，直接利用古典概型计算公式求解；（3）求出甲乙的平均数和方差即可得到答案【解答】解：（1）茎叶图如图，（2）设甲被抽到的成绩鞥即为x，乙被抽到的成绩为y，则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为55=25其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为（82，75），（82，80），（79，75），（87，75）

20、，（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为；（3）派甲参赛比较合理理由是=31.6因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定18如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD平面ABEF，AFBE，ABBE，AB=BE=2，AF=1（）求证：AC平面BDE；（）求证：AC平面DEF；（）求三棱锥CDEF的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）推导出BEAC，ACBD由此能证明AC平面BDE（）

21、设ACBD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AOFG，即ACFG，由此能证明AC平面DEF（）推导出点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，由VCDEF=VADEF，能求出三棱锥CDEF的体积【解答】（本小题满分14分）证明：（）因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，且ABBE，所以BE平面ABCD因为AC平面ABCD，所以BEAC又因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD因为BDBE=B，所以AC平面BDE（）设ACBD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点设G为DE的中点，连结OG，FG，则OGBE，

22、且由已知AFBE，且，则AFOG，且AF=OG所以四边形AOGF为平行四边形所以AOFG，即ACFG因为AC平面DEF，FG平面DEF，所以AC平面DEF解：（）由（）可知BE平面ABCD，因为AFBE，所以AF平面ABCD，所以AFAB，AFAD又因为四边形ABCD为正方形，所以ABAD，所以AD平面ABEF由（）可知，AC平面DEF，所以，点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，所以 VCDEF=VADEF因为AB=AD=2AF=2所以=故三棱锥CDEF的体积为19在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C（）求曲线C

23、的方程；（）若曲线C上的两点M，N满足OMPA，ONPB，求证：OMN的面积为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）设P（x，y），由题意可得kPAkPB=，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P的轨迹为曲线C；（）设方程为y=kx+m，由两点M，N满足OMPA，ONPB与（）得直线OM，ON的斜率乘积为，可得到m、k的关系，再用弦长公式与距离公式，求出OMN的底、高，表示：OMN的面积即可【解答】解：（）设P（x，y），则，整理得（x2）（）依题直线OM，ON的斜率乘积为当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=1取，则所以OMN的面积为当直线MN的斜率存

24、在时，设方程为y=kx+m由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m24=0因为M，N在椭圆C上，所以=16k2m24（2k2+1）（2m24）0，解得4k2m2+20设M（x1，y1），N（x2，y2），则，；所以=设点O到直线MN的距离为d，则所以OMN的面积为因为OMPA，ONPB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以所以=由，得2k2+1=m2由，得20设函数f（x）=（x1）ex+ax2，aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（ III）设函数g（x）=lnx+xex+1，当a=0时，证明f（x）g（x）0【考

25、点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，计算f（1），f（1），求出切线方程即可；（）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性结合函数的零点个数求出a的范围即可；（）当a=0时，f（x）g（x）=（x1）ex+exlnxx1设h（x）=xexlnxx1，其定义域为（0，+），只需证明h（x）0即可【解答】解：（）当a=1时，函数f（x）=xex+x2，因为f（x）=xex+2x，所以f（1）=e+2又f（1）=1，则所求的切线方程为y1=（e+2）（x1）化简得：y=（e+2）xe1（）因为f（x）=x（ex+2a）当a=0

26、时，函数f（x）=（x1）ex只有一个零点；当a0，函数当x（，0）时，f（x）0；函数当x（0，+）时，f（x）0所以f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增又f（0）=1，f（1）=a，因为x0，所以x10，ex1，所以ex（x1）x1，所以g（x）ax2+x1取，显然x00且g（x0）0所以f（0）f（1）0，f（x0）f（0）0由零点存在性定理与函数的单调性知，函数有两个零点当a0时，由f（x）=x（ex+2a）=0，得x=0，或x=ln（2a）若，则ln（2a）0故当x（0，+）时，f（x）0，所以函数f（x）在（0，+）在单调递增，所以函数f（x）在（0，+）至多有一个

27、零点又当x（，0）时，f（x）0，所以函数f（x）在（，0）上没有零点所以函数f（x）不存在两个零点若，则ln（2a）0当（ln（2a），+）时，f（x）0，所以函数f（x）在（ln（2a），+）上单调递增，所以函数f（x）在（ln（2a），+）至多有一个零点当x（，0）时，f（x）0；当x（0，ln（2a）时，f（x）0；所以函数f（x）在（，0）上单增，（0，ln（2a）上单调递减，所以函数f（x）在（，ln（2a）上的最大值为f（0）=10，所以函数f（x）在（，ln（2a）上没有零点所以f（x）不存在两个零点综上，a的取值范围是（0，+） （ III）证明：当a=0时，f（x）g（x）=（x1）ex+exlnxx1设h（x）=xexlnxx1，其定义域为（0，+），则证明h（x）0即可因为，所以h（0.1）0，h（1）0又因为，所以函数h（x）在（0，+）上单调递增所以h（x）=0有唯一的实根x0（0，1），且当0xx0时，h（x）0；当xx0时，h（x）0所以函数h（x）的最小值为h（x0）所以=1+x0x01=0所以f（x）g（x）02017年2月15日