多目标最优化数学模型(44页).doc
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1、-第六章 最优化数学模型1 最优化问题11 最优化问题概念12 最优化问题分类13 最优化问题数学模型2 经典最优化方法 21 无约束条件极值22 等式约束条件极值23 不等式约束条件极值3 线性规划31 线性规划32 整数规划4 最优化问题数值算法41 直接搜索法42 梯度法43 罚函数法5 多目标优化问题51 多目标优化问题52 单目标化解法53 多重优化解法54 目标关联函数解法55 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型1 最优化问题11 最优化问题概念(1)最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中,我们经常会遇到求函数的极值或
2、最大值最小值问题,这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个:求出满足一定条件下,函数的极值或最大值最小值;求出取得极值时变量的取值。最优化问题所涉及的内容种类繁多,有的十分复杂,但是它们都有共同的关键因素:变量,约束条件和目标函数。(2)变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说,它们都有一些限制条件(约束条件),与目标函数紧密关联。设问题中涉及的变量为;我们常常也用表示。(3)约束条件 在最优化问题中,求目标
3、函数的极值时,变量必须满足的限制称为约束条件。 例如,许多实际问题变量要求必须非负,这是一种限制;在研究电路优化设计问题时,变量必须服从电路基本定律,这也是一种限制等等。在研究问题时,这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种:等式约束条件 不等式约束条件 或 注:在最优化问题研究中,由于解的存在性十分复杂,一般来说,我们不考虑不等式约束条件或。这两种约束条件最优化问题最优解的存在性较复杂。(4)目标函数 在最优化问题中,与变量有关的待求其极值(或最大值最小值)的函数称为目标函数。 目标函数常用表示。当目标函数为某问题的效益函数时,问题即为求极大值;当目
4、标函数为某问题的费用函数时,问题即为求极小值等等。求极大值和极小值问题实际上没有原则上的区别,因为求的极小值,也就是要求的极大值,两者的最优值在同一点取到。12 最优化问题分类 最优化问题种类繁多,因而分类的方法也有许多。可以按变量的性质分类,按有无约束条件分类,按目标函数的个数分类等等。 一般来说,变量可以分为确定性变量,随机变量和系统变量等等,相对应的最优化问题分别称为:普通最优化问题,统计最优化问题和系统最优化问题。 按有无约束条件分类:无约束最优化问题,有约束最优化问题。按目标函数的个数分类:单目标最优化问题,多目标最优化问题。按约束条件和目标函数是否是线性函数分类:线性最优化问题(线
5、性规划),非线性最优化问题(非线性规划)。按约束条件和目标函数是否是时间的函数分类:静态最优化问题和动态最优化问题(动态规划)。按最优化问题求解方法分类:解析法(间接法)数值算法(直接法)数值算法(梯度法)多目标优化方法网络优化方法13 最优化问题的求解步骤和数学模型 (1)最优化问题的求解步骤最优化问题的求解涉及到应用数学,计算机科学以及各专业领域等等,是一个十分复杂的问题,然而它却是需要我们重点关心的问题之一。怎样研究分析求解这类问题呢?其中最关键的是建立数学模型和求解数学模型。一般来说,应用最优化方法解决实际问题可分为四个步骤进行:步骤1:建立模型提出最优化问题,变量是什么?约束条件有那
6、些?目标函数是什么?建立最优化问题数学模型:确定变量,建立目标函数,列出约束条件建立模型。步骤2:确定求解方法分析模型,根据数学模型的性质,选择优化求解方法确定求解方法。步骤3:计算机求解编程序(或使用数学计算软件),应用计算机求最优解计算机求解。步骤4:结果分析对算法的可行性、收敛性、通用性、时效性、稳定性、灵敏性和误差等等作出评价结果分析。(2)最优化问题数学模型最优化问题的求解与其数学模型的类型密切相关,因而我们有必要对最优化问题的数学模型有所掌握。一般来说,最优化问题的常见数学模型有以下几种:无约束最优化问题数学模型由某实际问题设立变量,建立一个目标函数且无约束条件,这样的求函数极值或
7、最大值最小值问题,我们称为无约束最优化问题。其数学模型为: 目标函数例如:求一元函数和二元函数的极值。又例如:求函数的极值和取得极值的点。有约束最优化问题数学模型由某实际问题设立变量,建立一个目标函数和若干个约束条件(等式或不等式),这样的求函数极值或最大值最小值问题,我们称为有约束最优化问题。其数学模型为: 目标函数 约束条件有约束最优化问题的例子:求函数在约束条件条件下的最大值和取得最大值的点。线性规划问题数学模型由某实际问题设立变量,建立一个目标函数和若干个约束条件,目标函数和约束条件都是变量的线性函数,而且变量是非负的,这样的求函数最大值最小值问题,我们称为线性最优化问题,简称为线性规
8、划问题。其标准数学模型为: 目标函数 约束条件矩阵形式: 目标函数 约束条件其中 , 在线性规划问题中,关于约束条件我们必须注意以下几个问题。注1:非负约束条件,一般来说这是实际问题要求的需要。如果约束条件为,我们作变量替换;如果约束条件为,我们作变量替换。注2:在线性规划的标准数学模型中,约束条件为等式。如果约束条件不是等式,我们引入松驰变量,化不等式约束条件为等式约束条件。情况1:若约束条件为,引入松驰变量原约束条件变为 。情况2:若约束条件为,引入松驰变量原约束条件变为 在其它最优化问题中,我们也常常采取上述方法化不等式约束条件为等式约束条件。实际问题中,我们经常遇到两类特殊的线性规划问
9、题。一类是:所求变量要求是非负整数,称为整数规划问题;另一类是所求变量要求只取或,称为0-1规划问题。例如:整数规划问题 。又例如:0-1规划问题 。非线性规划问题数学模型由某实际问题设立变量,建立一个目标函数和若干个约束条件,如果目标函数或约束条件表达式中有变量的非线性函数,那么,这样的求函数最大值最小值问题,我们称为非线性规划最优化问题,简称为非线性规划问题。其数学模型为: 目标函数 约束条件其中目标函数或约束条件中有变量的非线性函数。例如:非线性规划问题 。 上述最优化问题中,目标函数是非线性函数,故称为非线性规划问题。 前面介绍的四种最优化数学模型都只有一个目标函数,称为单目标最优化问
10、题,简称为最优化问题。 多目标最优化问题数学模型由某实际问题设立变量,建立两个或多个目标函数和若干个约束条件,且目标函数或约束条件是变量的函数,这样的求函数最大值最小值问题,我们称为多目标最优化问题。其数学模型为: 目标函数 约束条件 上述模型中有个目标函数,个等式约束条件。例如:“生产商如何使得产值最大而且消耗资源最少问题”“投资商如何使得投资收益最大而且风险最小问题”等都是多目标最优化问题。2 经典最优化方法 经典最优化方法包括无约束条件极值问题和等式约束条件极值问题两种,不等式约束条件极值问题可以化为等式约束条件极值问题。 经典的极值理论:首先,根据可微函数取极值的必要条件确定可能极值点
11、;其次,根据函数取极值的充分条件判断是否取极值?是极大值?还是极小值?这种方法已经几百年的历史了。21 无约束条件极值 设元函数,求的极值和取得极值的点。这是一个无约束条件极值问题,经典的极值理论如下。定理1(极值必要条件):设元函数具有偏导数,则在处取得极值的必要条件为: 。 定理在此不给出证明,读者可自己参看有关资料。注1:对于一元函数上述定理当然成立,只是偏导数应为导数;注2:定理只是在偏导数存在的前提下的必要条件。如果函数在某一点偏导数不存在,那在这一点处仍然可能取得极值;注3:如果函数在某一点偏导数存在,且偏导数都等于零,那么函数在这一点处也不一定取得极值。例如,函数在点处偏导数不存
12、在,但在这一点处函数仍然取得极小值零。函数在点处偏导数存在,且偏导数都等于零,但在这一点处函数不取极值。定理1的作用在于,求出函数的可能极值点,然后,我们再研究这些点是否取得极值。对于许多实际问题来说,函数一定能够取得极大值或极小值,而函数的可能极值点(满足必要条件的点)又只有一点,则这一点当然是函数取得极大值或极小值的点。对于一般函数而言,我们怎样判定函数在某点是否取极值?是极大值?还是极小值?我们有下面的极值的充分条件定理。定理2(极值充分条件):设元函数具有二阶偏导数,则在处取得极值的充分条件为: (1); (2)黑塞矩阵在处正定或负定;(3)黑塞矩阵在处正定时,函数取极小值;负定时,函
13、数取极大值。 本章内容简要讲解理论,注重实际应用,对于许多经典的定理都不进行证明,读者可自己参看有关资料。例1:求函数的极值。解:(1)根据极值存在的必要条件,确定可能取得极值的点: ,令,解得 。(2) 根据极值存在的充分条件,确定是否是极值点:计算 ,; ,;函数的黑塞矩阵为 因为 ,;所以黑塞矩阵负定,故函数在处取得极大值。22 等式约束条件极值下面我们研究的是有若干个等式约束条件下,一个目标函数的极值问题,其数学模型为: 目标函数 约束条件拉格朗日(Lagrange)乘数法:(1)令 称为上述问题的拉格朗日乘数函数,称为拉格朗日乘数。(2)设和均可微,则得到方程组(3)若是上述方程组的
14、解,则点可能为该问题的最优点。 拉格朗日(Lagrange)乘数法的本质是:将求有约束条件极值问题转化为求无条件极值问题;所求得的点,即是取得极值的必要条件点。 拉格朗日乘数法没有解决极值的存在性问题,但是,如果拉格朗日乘数函数具有二阶连续偏导数,我们也可以应用黑塞矩阵来判定函数是否取得极值。在具体问题中,点是否为最优点通常可由问题的实际意义决定。例2:求表面积为定值,而体积为最大的长方体的体积。解:设长方体的三棱长为,体积为;建立数学模型如下: 构造拉格朗日乘数函数,则有解得 , 为所求。23 不等式约束条件极值 对于不等式约束条件极值问题: 目标函数 约束条件我们有与拉格朗日乘数法密切相关
15、的方法库恩图克定理。定理3(库恩图克定理):对于上述不等式约束条件极值问题,设和均可微,令 假设存在,则在最优点处,必满足下述条件:(1);(2);(3);(4)。 根据库恩图克定理我们可以求解许多不等式约束条件极值问题,值得注意的是应用库恩图克定理求解不等式约束条件极值问题,定理并没有解决最优解的存在性问题,因此,我们必须另行判断。例3:求解最优化问题(最优解存在) 解:构造函数 ,根据库恩图克定理则有 解得: ;所求最优解为,最优值为。3 线性规划31 线性规划设线性规划标准数学模型为: 目标函数 约束条件矩阵形式: 目标函数 约束条件其中 ,线性规划问题的求解有一整套理论体系,一般来说,
16、应用单纯形法求解。此方法尽管比较复杂,然而在计算机上实现并不困难。解线性规划问题的单纯形法已在许多数学计算软件中实现,我们求解线性规划问题可根据需要,应用数学计算软件求解即可。在此,我们不系统研究其理论,只是简单介绍线性规划的穷举法和单纯形法的基本思想。3.2 线性规划的穷举法 (1)穷举法基本原理和步骤步骤1:将线性规划问题化成矩阵的标准形式,设系数矩阵的秩,则对应线性方程组的基础解系自由变量的个数为个。步骤2:穷举法求解:令,解得对应线性方程组一组解为 ;对应目标函数值为。 从个变量中选个作为自由变量,令它们的值为0,可得到组解。步骤3:确定最优解:如果最优解存在,则上述求解得到的对应个目
17、标函数值中,最小者(或最大者)即为所求最小(或最大)最优值,对应的解为最优解。步骤4:证明解为最优解:将最优解对应的自由变量看成参数;解对应线性方程组得 。将对应线性方程组解代入目标函数得:。 如果,则所求为最小值最优解;否则,线性规划问题无最小值最优解。 如果,则所求为最大值最优解;否则,线性规划问题无最大值最优解。 例1:目标函数:解:约束条件的增广矩阵为: ,;令,解得;令,无解;令,解得,不满足非负条件,舍去;令,解得;令,解得;令,解得,不满足非负条件,舍去;令,无解;令,解得;令,解得,不满足非负条件,舍去;令,解得;所以,最优解为。证明:令解得 目标函数;因为非负,所以,故最优解
18、存在。(2)单纯形法基本原理和步骤将线性规划问题化成矩阵的标准形式,设系数矩阵的秩,则对应线性方程组的基础解系的个数为个,即有个自由参数变量。选取个非基变量(自由参数变量),不妨假设为;解得线性规划问题的典式 定理1:如果线性规划问题的上述典式中所有;则为最优解。定理2:如果线性规划问题的上述典式中存在某个,且对应;则线性规划问题无最优解。由定理1和定理2知,如果我们选择适当的个非基变量,就可以根据所求得的典式判断最优解的存在与否,从而求解该线性规划问题。单纯形法的思想是:选择适当的基变换(进基和退基),不断地变换典式,使得典式中目标函数值不断下降,从而求得最优解。其核心为如何选择进基和退基。
19、进基规则和退基规则进基规则正检验数最小下标规则,即选取,由此确定为进基。退基规则:选取这样的下标(表示第个基变量的下标) 由此确定离基。单纯形法的基本步骤:步骤1:化线性规划问题为标准形式。步骤2:确定基变量,求得基本可行解和典式;是否满足最优解定理或最优解不存在定理的条件?判断最优解的情况。步骤3:根据进基规则和退基规则,选择进基和退基,进行基变换,求得对应典式。重复进行基变换,直到求出最优解或判断出无最优解为止。例2:解线性规划问题 解:(1)约束条件的增广矩阵为: ,;所以非基变量个数为两个。(2)选取作为非基变量,作为基变量,解得典式为 不满足最优解定理和最优解不存在定理的条件,故必须
20、进行基变换。(3)进行基变换选取进基: ,根据得为进基。选取退基:,根据,得为离基。进行基变换,求新基的典式: 判断:不满足最优解定理和最优解不存在定理的条件,故继续进行基变换。(4)继续进行基变换选取进基: ,根据得为进基。选取退基:,根据,得为离基。进行基变换,求新基的典式: 满足最优解定理的条件,根据定理最优解为 。32 整数规划设纯整数线性规划数学模型为: 目标函数 约束条件 这一类问题与一般线性规划比较起来,似乎是变简单了,但实际上恰恰相反,由于解集是一些离散的整数点集,使得单纯形法失去了应用的基础,求解变得困难而复杂。整数线性规划目前还缺乏统一的解法,这里只介绍分枝定界法,它是目前
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