奥数知识点解析之抽屉原理(5页).doc

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1、-奥数知识点解析之抽屉原理第一步：初步理解该知识点的定理及性质1、提出疑问：什么是抽屉原理？2、抽屉原理有哪些内容呢？【抽屉原理1】：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件；【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件的物品，那么至少有2个物品来至于同一个抽屉。【抽屉原理2】：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。第二步：学习最具有代表性的题目【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。【例2】对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。【总结】以上的例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中的运

2、用。以上的题目我们都是运用抽屉原理一来解决的。第三步：找出解决此类问题的关键【例3】从2、4、6、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。【例4】从1、2、3、4、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。【例5】从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。1，2，4，8，163，6，12，5，10，207，14，9，1811，13，15，17，19。【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决这类题目的关键。第四步：重点解决该类型的拓展难题我们先来做一个简单的铺垫题：【铺垫】请说明，任意3

3、个自然数，总有2个数的和是偶数。【例6】请说明，对于任意的11个正整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除。【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有典型抽屉原理题目的基础上进行的拓展。什么是抽屉原理？（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。（2）定义一般情况下，把n1或多于n1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。（一）、利用公式进行解题苹果抽屉商余数余数：（1）余

4、数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法举个例子：把3个苹果任意放到2个抽屉里，必有一个抽屉至少放了2个苹果。这个生活中最简单的道理，在数学上就叫做抽屉原理。应用抽屉原理可以解决很多奇妙的问题，当然在实际问题中，“抽屉”和“物体”的表述是不明确的，解题的关键就是找出问题中哪个概念对应的是“抽屉”，哪个概念对应的是“物体”，精心制造“抽屉”是解决此类问题

5、的关键。【题目1】：至少在多少个人中，才能找到两个同月份出生的人？【解析】：每年都有12个不同的月份，可以看着是12个抽屉。人就看着苹果。原题就相当于：多少个苹果放到12个抽屉里，可以保证至少有一个抽屉里有2个苹果?12+1=13（人）所以至少在13个人中，才能找到两个同月份出生的人。【题目2】：在任意3个自然数中，是否其中必然有两个数，它们的和为偶数？为什么？【解析】：我们先把奇数看作一个抽屉，把偶数看作一个抽屉。自然数不是奇数就是偶数，那么这任意3个自然数不是奇数就是偶数，把这3个数放到上面奇、偶数两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两个数，即3个自然数中有两个奇数或两个偶数必居其一。假如3个数

6、中有两个奇数，这两个奇数的和一定是偶数；假如3个数中有两个偶数，这两个偶数的和也一定是偶数。所以在任意3个自然数中，其中必然有两个数，它们的和为偶数。【题目3】：班上有50名小朋友，老师至少要拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书？【解析】：“保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书”意思就是：保证至少有一个小朋友最少得到两本书。我们把50个小朋友看着50个抽屉，至少要多少本书放到50个抽屉里，能保证至少有一个抽屉里最少有两本书呢：50+1=51（本）。【题目4】：在1，2，3，99，100这100个整数中，选出一些数，使得任意两数的差都不等于1，2，6，那么，

7、从中最多能选出几个数？【解析】：第一步：先从1开始列一列。先选1；至少加3（差不能为1、2）选4；至少要加4（差也不能为6）选8；接着再加3选11；加4选15可列举如下：1、4、8、11、15、18、22、25.29第二步：观察上面的数列，找规律。从1到7七个数中可以选2个数；从8到14七个数中又可以选2个数；从15到21七个数中又可以选2个数即每7个数一组可以选出2个数，这2个数可以选7个数中的第1个和第4个。1007=14（组）2（个）共有14组，每组选2个数，还剩下2个数，即第十五组的第1个数和第2个数。每组第1个数也是可选的。所以从中最多可以选出数：1421=29（个）。【题目5】：泡

8、泡糖出售机内有各种颜色的糖，有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖3颗、黄色糖20颗。如果投入1元钱钱币可得到1颗糖，那么至少投入多少元钱，就可以保证得到5颗颜色相同的糖？【解析】：这里共有4种颜色的糖果，除了蓝色糖果3颗，其它颜色糖果都不少于5颗。从最糟糕的情况考虑：投币先得到蓝色糖3颗，其它颜色糖每种4颗。这时候再买一颗糖，无论是哪种颜色的糖，就得到了这种颜色的糖5颗。一元钱一颗糖，买这些糖至少要投入钱币：3431=16（颗）。本题依据抽屉原理2：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。【题目6】：2行5列共10个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色。试论：无论如何涂法，其中至少有两列，它们的涂色方式是一样的。【解析】：2行5列的小方格，每列有2个小方格竖排，每个小方格涂上红色或蓝色，共有如下4种涂法（看着4个抽屉）：红 红 蓝 蓝红 蓝 蓝 红-第 5 页-