2016届高三数学模拟试题(解析版).doc

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1、2016届高三数学模拟试题一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1复数的共轭复数对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：=+，所以其共轭复数为-.故选D .2已知集合Qx|x3，Px|x3a且QRP，那么a的值可以是(A)A1 B2 C3 D4答案：由Px|x3a，得RPx|x3a因为QRP，所以3a3，所以a1，故选A.3若向量a、b满足：向量a的模长是1，且(ab)a，(2ab)b，则向量b的模长是(B)A2 B. C1 D.解析：由题意得2a2b20，即2|a|2|b|20，又|a|1，所以|b|.故选B.4已知直线l1与直线l2：4x3y60

2、垂直且与圆：x2y22y0相切，则直线l1的方程是(D)A.3x4y10 B3x4y10或3x4y90C3x4y90 D3x4y10或3x4y90解析：圆x2y22y0的圆心为(0，1)，半径为r1，因为直线l1l2，所以可设直线l1的方程为3x4yc0，由题意得1，解得c1或c9.所以直线l1的方程为3x4y10或3x4y90.故选D.5某程序框图如图所示，判断框内为“kn？”，n为正整数，若输出的S26，则判断框内的n（ C ）.An6 Bn5Cn4 Dn3解析：依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k112，S2124；进行第二次循环时，k213，S24311；进行第三次循环时，

3、k314，S211426，因此当输出的S26时，判断框内的n4.6 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(C)A16 B32C48 D144解析：由题意可得，该几何体为四棱锥PABCD，如图所示，所以VPABCD6648.故选C.7设函数f(x)2x4，函数g(x)2x25，若实数m，n分别是函数f(x)，函数g(x)的零点，则(A)Ag(m)0f(n) Bf(n)0g(m)C0g(m)f(n) Df(n)g(m)0解析：依题意，f(0)30，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0m1. g(1)30，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1n

4、f(1)0. 又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(m)g(1)0，g(m)01时，f(x)0，当1x1时，f(x)0，所以当x1时，f(x)在(1，)上取得最小值f(1)0，又f()2.若存在使f(x)的值域是0,2，只需满足.故选A.9设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ C ）A. B. C. D.解析：设，则， 因为，所以，所以，因为为直角三角形，所以，所以，因为，所以,所以，故选C10已知函数，则方程=恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）（ B ）A B C D解析：作出函数的

5、图象如图：当对应的直线和直线平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点；直线和函数相切时，当时，函数，设切点为，则切线斜率，则对应的切线方程为，即，又因为直线切线方程为，所以，解得，即此时，此时直线与只有一个交点，不满足条件，若方程=恰有两个不同的实根时，则满足；故选B二、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置）（文）11某校共有高中学生3600人，为了了解本期数学学科的考试成绩，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从高一、高二、高三年级抽取的人数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则高二年级的学生人数为 1200 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2ba

6、c，即高二年级抽取的学生人数占抽样人数总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，高二年级的学生人数占总数的三分之一，即为1200人（理）11已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8180解析：因为(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，所以2(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，所以a8C22(1)8180.12函数，若，则的最小正周期为解析： = =1，所以（），即（），因为，所以，所以最小正周期为13某高校今年计划在我市招女生a名，男生b名，若a、b满足不等式组，设这所高校今年计划招生最多x名，则x 13 解析：如

7、图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bN，可知当a6，b7时，xab13.（文）14甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，则的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】由茎叶图求出，由，得9089+，xN，由此能过河卒子 同的概率解：由已知中的茎叶图可得：乙的5次综合测评中的成绩分别为87，86，92，94，91，则乙的平均成绩： =（87+86+92+94+91）=90设污损数字为x，则甲的5次综合测评中的成绩分别为85，87，84，99，90+X甲的平均成绩： =（85

8、+87+84+99+90+x）=89+，9089+，xN，解得x的可能取值为6，7，8，9，的概率是p=（理）14某校三位数学教师参加说题、说课、上课项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 解析：三位数学教师每人选择三项中的两项有CCC33327种选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC33218(种)选法则所求概率为P.15已知数列an的通项公式为an2n，(nN*)，若数列bn满足：an，令cn(nN*)，则c1c2c3c10 18489 .解析：由an (n1)，所以an1，则an1an2，bn12(1)，故bn2(1)(nN)cnn(1)n

9、n，所以Tnc1c2c3cn(1223n)(12n)，令Hn1223n，则2Hn123n，所以Hn222232nn2n1n，所以Hn，所以数列cn的前n项和Tn.所以c1c2c3c1018489.三、解答题：16（本小题满分12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosCcsinA- b0.()求角A的大小；()若a3，求ABC的面积的最大值解：()由已知及正弦定理得，sinBsinAcosCsinCsinA，2分因为B(AC)，所以sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC.4分又C(0，)，由得sinAcosA.又A(0，)，所以A.6分()由()知，AB

10、C的面积SbcsinAbc，由余弦定理可得9b2c2bc. 9分又b2c22bc，当且仅当bc时等号成立，所以bc，S.所以ABC的面积的最大值为.12分（文）17（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市市法制办组织了普法知识竞赛统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：甲单位8788919193乙单位8589919293()根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位对法律知识的掌握更稳定；()用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率解：()甲(8

11、788919193)90，乙(8589919293)90，s(8790)2(8890)2(9190)2(9190)2(9390)2，s(8590)2(8990)2(9190)2(9290)2(9390)28，因为8，所以甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定6分()从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件(用数对表示)：(85,89)，(85,91)，(85,92)，(85,93)，(89,91)，(89,92)，(89,93)，(91,92)，(91,93)，(92,93)，共10个，则抽取的2名职工的分数差至少是4的基本事件：(85,89)，(85,91)

12、，(85,92)，(85,93)，(89,93)，共5个由古典概型的概率计算公式可知，抽取的2名职工的分数差至少是4的概率P.12分（理）17（本小题满分12分）某家用电器厂对A、B两种型号的产品进行质量检测，从检测的数据中随机抽取10 次，记录如下表（ 数值越大表示产品质量越好）：AB（）画出A、B两种产品数据的茎叶图；若要从A、 B中选一种型号产品投入生产， 从统计学角度考虑，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（）若将频率视为概率，对产品A今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5 的次数为，求的分布列及期望解：（）A、B两种产品数据的茎叶图如图2分因为3分4分因为，所

13、以从统计学角度考虑，生产A型号产品合适. 6分（）的可能取值为0，1，2，3. 7分产品A不低于8.5 的频率为，若将频率视为概率，则.8分所以，k=0，1，2，3. 9分所以的分布列为：012310分所以. 12分（文）18（本小题满分12分）已知等比数列的各项都为正数，其前项和为，且， （）求数列的通项公式； （）设，数列的前项和为，求证：解：（）设数列的公比为，由，得，所以， 因为数列各项都为正数，所以， 2分所以，又,所以， 4分所以数列的通项公式是， 6分 （II）由（I）得， 所以， 因为， 所以， 11分 又， 所以关于单调递增 所以， 综上所述： 12分（理）18（本小题满分1

14、2分）已知数列的首项，点在直线上，当时，均有()求的通项公式，()设求数列的前项和解： () 点在直线上，当或时,有，所以-=,当时,有-=1，所以=1，=2.又因为，则，所以=，4分因为=，即=.6分() ,利用乘公比错位相减法求得.12分【解析】本题考查累加求通项以及错位相减法求和.第一问通过给取特殊值得到，又有，得到，用累加法可得到=，再用累乘法得到=；第二问将第一问的结果代入后可一个差比数列，求和用错位相减法.19（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，D为AB的中点.（）求证：/平面;（）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.解（）证法1：

15、连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则E为AC1中点，-2分因为D为AB的中点，所以DEBC1，-4分因为BC1平面A1CD，DE平面A1CD，-5分所以BC1平面A1CD. -6分证法2：取中点，连结和，-1分因为平行且等于，所以四边形为平行四边形所以 -2分因为平面，平面所以平面,-3分同理可得平面-4分因为，所以平面平面又因为平面所以BC1平面A1CD. -6分(II) 因为，所以-7分又，所以，又，所以面-8分法一：设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.-9分则，.所以-10分平面的一个法向量所以直线A

16、1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为-12分方法二：取的中点，连结，则-7分因为面，故,所以因为,所以面-9分延长、相交于点，连结，则为直线与平面所成的角. -10分因为为的中点，故，又，所以即直线与平面所成的角的正弦值为.-12分方法三：取的中点，连结，则-7分因为面，故,所以因为,所以平面-9分取中点M，连结BM，过点M作，则平面，连结BN，因为,所以为直线与平面所成的角，-10分因为,即直线与平面所成的角的正弦值为.-12分20（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴的长为2，离心率等于.（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交

17、y轴于M点，若，求证：为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知所以2分，解得，4分所以椭圆C的方程为 5分（II）证法1：设A、B、M点的坐标分别为，易知F点的坐标为（2，0）. 6分显然直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线l的方程是，7分将直线的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得-9分 -10分又13分证法二：设点A、B、M的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）. -6分-7分将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得 -9分同理，由可得-10分即是方程的两个根，-13分21（本小题满分14分）已知函数（）设函数求的单调区间；（）若存在常数使得对恒成立，且对恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，试问：与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由.解：（）由于函数，因此，则，3分当时，0，所以在（0，）上是减函数；当时，0，所以在（，）上是增函数；因此，函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，）6分（）由（）可知，当时，取得最小值（）0，则与的图象在处有公共点（，）假设与存在“分界线”，则其必过点（，）7分故设其方程为：，即，由对恒成立， 则对恒成立，所以，0成立，因此，“分界线”的方程为：10分下面证明对恒成立，设，则，所以当时，当时，0，当时，取得最大值0，则对恒成立，故所求“分界线”的方程为：14分