数学立体几何基础题型.doc

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1、立体几何基础题题库551-600（有详细答案）551. 已知：正三棱柱ABCABC中，ABBC，BC2，求：线段AB在侧面上的射影长.解析：如图，取BC的中点D.ADBC，侧面底面ABC，AD侧面是斜线AB在侧面的射影.又ABBC，BC.设BBx，在Rt中，BEBD，.E是BBC的重心.BEBCx，解得：x.线段AB在侧面的射影长为.552.ABC在平面内的射影是ABC，它们的面积分别是S、S，若ABC所在平面及平面所成二面角的大小为(090，则SScos.证法一 如图(1)，当BC在平面内，过A作ADBC，垂足为D.AA平面，AD在平面内的射影AD垂直BC.ADBC.ADA.又SADBC，S

2、ADBC，cos,SScos.证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面内或只有一点(如C)在平面内，可运用(1)的结论证明SScos.553. 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面，使PQ平面，且和AB交于R，连结AQ，交平面于N.连结MN、NR.PQ平面，MN，PQMN.在平面APQ内，PQa,PQMN,MNa,a，又PMMQ，ANNQ，同理可证NRb,RARB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.554. 如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC

3、1，AA1，M是CC1的中点，求证：AB1A1M.解析：不难看出B1C1平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1MAB1，只要能证A1MAC1就可以了.证：连AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30， ACA1C1.设AC1A1，MA1C1 tan,tg.cot(+)0,+90 即AC1A1M. B1C1C1A1，CC1B1C1，B1C1平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影. AC1A1M，由三垂线定理得A1MAB1.评注：本题在证AC1A1M时，主要是利用三角函数，证+90，及常见的其他题目不太相同.555. 矩形ABCD，AB2，AD3，

4、沿BD把BCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CDAB； (2)求CD及平面ABD所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，CM面ABD，ADAB，CDAB(2)解：CM面ABDCDM为CD及平面ABD所成的角，cosCDM作CNBD于N，连接MN，则MNBD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DMCDCDCAABAD23.CD及平面ABD所成角的余弦值为556. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为AB的中点.(1)求BC及平面PAB所成的角；(2)求证：AB平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解

5、 PAAB，APB90在RtAPB中，ABP45，设PAa，则PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB及平面PAB所成的角PBC60，BC及平面PBA的角为60.(2)由上知，PAPBa,ACBC2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.557. 在空间四边形ABCP中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB及平面ABC所成角分别为30和45。(1

6、)直线PC及AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.解析：主要考查直线及直线、直线及平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)AB及PC不能垂直，证明如下：假设PCAB，作PH平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，HCAB，PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PBBC，PAPC.BHBC，AHACACBC，平行四边形ACBH为矩形.HCAB，ACBH为正方形.HBHAPH平面ACBH.PHBPHA.PBHPAH，且PB，PA及平面ABC所成角分别为PBH，PAH.由已知PBH45，

7、PAH30，及PBHPAH矛盾.PC不垂直于AB.(2)由已知有PHh,PBH45BHPHh.PAH30，HAh.矩形ACBH中，AB2h.作HEAB于E，HEh.PH平面ACBH，HEAB，由三垂线定理有PEAB，PE是点P到AB的距离.在RtPHE中，PEh.即点P到AB距离为h.评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明及条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.558. 如图，在棱长为a的正方体AC1中，M是CC1的中点，点E在AD上，且AEAD，F在AB上，且AFAB，求点

8、B到平面MEF的距离.解法一：设AC及BD交于O点，EF及AC交于R点，由于EFBD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC面MEF，而MR是交线，所以作OHMR，即OH面MEF，OH即为所求.OHMRORMC，OH.解法二：考察三棱锥BMEF，由VB-MEFVM-BEF可得h.点评 求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.559 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求A1C1和平面AB1C间的距离.解法1 如图所示，A1C1平面AB1C，又平面BB1DD1平面AB1C.故若过O1作O1EOB1

9、于E，则OE1平面AB1C，O1E为所求的距离由O1EOB1O1B1OO1，可得：O1E解法2：转化为求C1到平面AB1C的距离，也就是求三棱锥C1AB1C的高h.由 VV，可得ha.解法3 因平面AB1C平面C1DA1，它们间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O、DO1及F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得FG.点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.560. 在ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，.沿MN把AMN到

10、AMN的位置，二面角AMNB为60，求证：平面AMN平面ABC.解析：作ADBC于D，设ADMNP，APD60，可证AP平面ABC.561. 四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1113，则平面M的个数应有多少个?解 这样的平面应分4种情况讨论：(1)4个顶点都在平面M的同侧，则有C4114个(平面)；(2)距离比为3的顶点及其他3个顶点不同侧，则有C4114个(平面)；(3)距离比为3的顶点及其他3个顶点中的1个同侧，则有C31C41112个(平面)(4)距离比为3的顶点及其他3个顶点中的2个同侧，则有C32C41112个(平面)； 一共应有4+4+12+1232个(平面)562. 斜四棱柱

11、侧面最多可有几个面是矩形A、 0个 B、1个 C、2个 D、3个解析：C。 只能相对的侧面均为矩形563. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有A、1个 B、2个 C、3个 D、4个解析：D。 如图，ABCD为矩形，PA平面ABCD，则PABCD的四个侧面均为直角三角形564. 正四棱柱的一个侧面面积为S，则它的对角面面积是_。解析： 设正棱柱底面边长为a，高为h，则ah=S，对角面面积为565. 正n棱柱每相邻两个侧面所成二面角度数为_。解析： 底面正多边形的每一个内角为某两个邻面所成二面角的平面角，正n边形内角度数为566. 正六棱柱的高为5cm，最长对角线为13cm，它的侧面积是_。

12、解析： 180cm2 设正六棱柱底面边长为a，高为h，则h2+(2a)2=132，h=5，a=6，侧面积=6ah=180567. 一个正棱锥的一个侧面及底面所成角是，底面积Q，则它的侧面积是_。解析： Qsec 正棱锥的底面是侧面在底面上的射影，利用面积射影定理568. 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B及对角面A1B1CD所成角为300，求证：此四棱柱为正方体。解析： A1B1平面B1C 平面A1B1CD平面BC1，交线为B1C在平面B1C内作BOB1C，O为垂足，连A1O则BO平面A1B1CD BA1O为BA1及平面A1B1CD所成的角 BA1O=300设正四棱柱底面边长为a，高为

13、h则sinBA1O= a2+h2=2ah a=h 正四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体569. 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，A1B=A1D，求证：（1）对角面AA1C1C截面A1BD；（2）对角面D1DBB1是矩形解析：（1）ABCD是菱形，BDAC设BDAC=0，又A1B=A1D， BDA1O A1OAC=O BD平面AA1C1C 平面A1BD对角面AA1C1C（1） 由（1），BD平面AC1 BDAA1又DD1AA1 BDDD1570. 正四棱锥棱长均为a，（1）求侧面及底面所成角；（2）若相邻两侧面所成角为，求证：=2。解析：如图，正四棱锥SABCD，SO、S

14、F分别为高、斜高，SFO为二面角SABO平面角，SFO=，在SBC中，作BESC，E为垂足，连DE BCEDCE DESCBED为侧面BSCD平面角，BED= （1） （2）连EO 由得： =2571. 正三棱锥的侧棱等于10cm，侧面积等于144cm2，求棱锥的底面边长和斜高。解析：设底面边长为a，斜高为h则 或572. 斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。解析：A1A=A1B=A1C 点A1在平面ABC上的射影为ABC的外心，在BAC平分线AD上 AB=AC ADBC AD为A1A在平

15、面ABC上的射影 BCAA1 BCBB1 BB1C1C为矩形，S=BB1BC=156取AB中点E，连A1E A1A=A1B A1EAB S侧=396573. 四棱锥VABCD底面是边长为4的菱形，BAD=1200，VA底面ABCD，VA=3，AC及BD交于O，（1）求点V到CD的距离；（2）求点V到BD的距离；（3）作OFVC，垂足为F，证明OF是BD及VC的公垂线段；（4）求异面直线BD及VC间的距离。解析：用三垂线定理作点到线的垂线在平面ABCD内作AECD，E为垂足 VA平面ABCD AE为VE在平面ABCD上的射影 VECD 线段VE长为点V到直线CD的距离 BAD=1200 ADC=

16、600 ACD为正三角形 E为CD中点，AE= VE= （2） AOBD 由三垂线定理VOBD VO长度为V到直线BD距离 VO= （3）只需证OFBD BDHC，BDVA BD平面VAC BDOF OF为异面直线BD及VC的公垂线 （4）求出OF长度即可在RtVAC中OC=AC=2，VC= OF=OCsinACF=OC574. 空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？解析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线

17、AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA及BC，AB及CD，AC及BD。其次添加线段PM，则除去及PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM及DA、BC、AC、BD。因QN及PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。最后注意到，PM及QN也是异面直线。 图中共有3+4+4+1=12（对）异面直线575. 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值。解析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD1和B1C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个及已知长方体相同的长方体DCEFD

18、1C1E1F1。具体作法是：延长A1D1，使A1D1=D1F1，延长B1C1至E1，使B1C1=C1E1，连E1F1，分别过E1、F1，作E1EC1C，F1FD1D，连EF，则长方体C1D1F1ECDFE为所作长方体。 BCD1F1 BD1CF1 B1CF1就是异面直线BD1及B1C所成的角。 BD2=a2+b2 RtBDD1中，BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 CF12=BD12=a2+b2+c2 B1C2=b2+c2，B1F12=a2+4b2 B1CF1中 cosB1CF1=（1） 当cb时， cosB1CF10 B1CF1为锐角，B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角（

19、2） 当cb时，cosB1CF10 B1CF1是钝角 -B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角（3） 当c=b时，B1CF1=900 BD1B1C法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。如图，分别取BC、BB1、B1D1的中点P、M、Q，连PM、MQ、PQ 则 MPB1C，MQBD1 PMQ（或其补角）就是异面直线BD1及B1C所成的角 PMQ中，MP=B1C= MQBD1=，PQ=利用余弦定理可以得到及解法一同样的结果576. M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点，求证：MN（AD+BC）。证明：取AC中点P

20、，则MP=BC，NP=AD MNEH。 四边形EFGH是梯形。 则直线EF、GH相交，设EFGH=P 则PEF，又EF平面ABC P平面ABC，同理P平面ADC。 又平面ABC平面ADC=AC 由公理2，得PAC， 即EF、GH、AC三条直线共点。点评：证明四边形是平行四边形或者梯形，首先必须证明它是平面图形，本题中的EHFG是关键582. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1D1，A1B的中点，求证：EFAD1。解析：要证两条直线平行一是证这两条直线在同一平面内，再用平面几何知识证明它们平行；二是用平行公理即平行直线的传递性，找到及它们都平行的“公共”直线。这里E为D1

21、B1的中点，易想到用构造三角形的中位线的方法直接证明平行。因此，连AB1是非常重要的步骤。证明：连AB1，则AB1过A1B的中点F。 又E为D1B1的中点， EF为AD1B1的中位线， 则EFAD1 583. 如图，=C，a，ac=A，b，bc=B，A、B为不同点。则a及b的位置关系为（ ） A、平行 B、异面 C、平行、异面均可能 D、平行、相交、异面均可能解析：B符合两条异面直线的判定，选B584. 下面的三个命题：四边相等的四边形是菱形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形。其中正确命题的个数是：（ ） A、1个B、2个C、3个D

22、、0个解析：D均不能保证它们是平面图形，故均不正确，选D585. 空间两个角和，若和的两边对应平行，当=50时，= 。解析：50或130及相等或互补586. 正方体的12条面对角线所在的直线中，互相异面的直线共有 对。解析：30面对角线中，及AC相交的有5条，平行的有1条，（自身为1条）故及AC异面的直线有12-5-1-1=5（条）。则共有125=30（对587. 四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC，则BAC+CAD+DAB= 。解析：180四个三角形均是全等的三角形，故所求三个角即其中任一三角形的三个内角588. 在四面体ABCD中，已知点M，N，P分别在棱AD，BD，CD

23、上，点S在平面ABC内，画出线段SD及过点M，N，P的截面的交点O。解析：图中，SD及平面MNP的交点O点画在MNP内的任何位置好象都“象”，即直观上不能直接看出画在何处才是准确的。采用上一题的思想方法，找出经过直线SD的平面，如平面ASD（平面CSD），作出它及平面MNP的交线。解：连接AS交BC于E，连ED交NP于F，连MF。MAD，AD平面AED，M平面AEDFED，ED平面AED，F平面AED又M平面MNP，F平面MNP，平面AED平面MNP=MFOSD，SD平面AED，O平面AED，又O平面MNP则OMF即O为MF及SD的交点。589. 已知直线ab，ca=A，cb=B。求证：a、b

24、、c在同一平面内。证明：ab 经过a、b可确定一个平面 ca=A，Aa，而a A，同理B 则AB，即c a、b、c在同一平面内点评：利用ab，可确定平面，易证c 。若利用ca=A，也可确定平面，但证b就较困难。因此，选择恰当的点或线确定平面是非常重要的。590. 空间四边形ABCD中，P、Q、R分别AB、AD、CD 的中点，平面PQR交BC于S , 求证：四边形PQRS为平行四边形。 证明：PQ为AB、AD中点 PQBD 又PQ平面BCD ，BD平面BCD PQ平面BCD 又平面PQR平面BCDRS , PQ平面RQR PQRS R为DC中点, S为BC中点,PQ RS PQRS 为平行四边形

25、评述:灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行 线面平行”是证平行关系的常用方法。变式题：如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形求证：AB平面EFG证明面EFGH是截面点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EHGFEH面ABD又 EH 面BAC，面ABC面ABD=ABEHABAB面EFG591. 两个惟一性定理(1)过一点有且只有一条直线和一已知平面垂直(2)过一点有且只有一个平面和一已知直线垂直过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A，且垂直于直线a的平面内，试证之已知：A，a于点O，ABa求证：证明：假AB不在平面内，连结A

26、OaaAO又aAB，且AOAB=Aa垂直于相交直AO、AB所确定的平面说明：关于直线和平面垂直的问题中，有两个基本作图：(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直这两个基本作图可作为公理直接使用592. 直线上有两点到平面的距离相等，这条直线和平面的位置如何？解析：(1)若直线上的两点到平面的距离都等于0，这时直线在平面内(如图)(2)若直线上的两点在平面的两侧,且到平面的距离相等,这时直线及平面相交(如图)(3)若直线l上的两点在平面的同一侧，且到平面的距离相等(如图)AA1于点A1，BB1于点B1又 A、B均在l上，且在的同侧AA1 BB1AA1B

27、B1为一平行四边形ABA1B1 这时直线l及平面平行想一想：若直线l上各点到平面的距离都相等，那么直线l和平面的位置关系又怎样？593. 经过两条相交直线，有且只有一个平面 证明：如图：设直线a、b相交于点A，在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在一直线上的三点A、B和C，过这三点有且只有一个平面（公理3），因此a、b各有两点在平面内，所以a、b在平面内，因此平面是过相交直线a、b的平面如果过直线a和b还有另一个平面，那么A、B、C三点也一定都在平面内，这样过不在一条直线上的三点A、B、C就有两个平面、了，这和公理3矛盾，所以过直线a、b的平面只有一个594. 经过两条平行直线，有且只有

28、一个平面证明：因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，所以两条平行直线a和b必在某个平面内，就是说过两条平行直线有一个平面如果过a和b还有一个平面，那么在a上的任意一点A一定在内这样过点A和直线b有两个平面和，这和推论1矛盾，所以过平行直线a和b的平面只有一个595. 直线及平面所成角的范围是（ ） A、090 B、090 C、0180 D、0180解析：B596.两条一异面直线所成的角的范围是？直线及平面所成的角的范围是？两个半平面所成二面角的范围是？斜线及平面所成的角的范围是？解析：，直线在平面内或直线及平面平行定为0，规定两个半平面重合时为0，两个半平面展成一个平面为180度

29、。597. AB、CD为夹在两个平行平面、间的异面线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN.解析：过C作CEAB交于E，取CE中点P则ABCE ACBE MPAC BP(1)MP；(2)PNEDPN.面MN面MN面，MN598. 平面平面，A、B，C，AA于A，BB于B，若ACAB，AC及成60的角，AC=8cm,BC=6cm,求异面直线AC及BB间的距离.解析：BBBBAB 又ACAB AB为AC及BB的公垂线又AB=AB ABAB ACABACABAB=599. 某人买了一罐容积为V升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别

30、在两条棱上且距底面高度分别为b、c的地方(单位：米).为了减少罐内液油的损失，该人采用罐口朝上，倾斜罐口的方式拿回家.试问罐内液油最理想的估计能剩多少?解析：如图所示，建立模型，设直三棱柱为ABCABC，破损处为D、E.并且ADb,ECc,BBa.则罐内所剩液油的最大值即为几何体ABCDBE的体积.连结BD、CD，而,V,.又，VD-ABC.故 +VD-ABC，即最理想的估计是剩下升.600. 要修建一座底面是正方形且四壁及底面垂直的水池，在四壁及底面面积之和一定的前提下，为使水池容积最大，求水池底面边长及高的比值.解析：为了建立体积V的函数，我们选底面边长和高为自变量.设水池底面边长为a，水池的高为h，水池容积为v，依题意，有a2+4ahk(k为定值).va2ha2(v0),v2a2(k-a2)22a2(k-a2)(k-a2)()3(当且仅当2a2k-a2时，即k3a2时等号成立)，故 a2+4ah3a2,即ah21时，水池容积最大为.14 / 14