25函数的最大值和最小值（二） (2).ppt

《25函数的最大值和最小值（二） (2).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《25函数的最大值和最小值（二） (2).ppt（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、3.8 3.8 函数的最大值函数的最大值 与最小值与最小值（二）（二）yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期W W黄冈中学网校达州分校利用导数求函数的最值步骤利用导数求函数的最值步骤: 设函数设函数 f (x) 在在 a，b 上连续，在上连续，在 ( a，b ) 内内可导，那么求可导，那么求 f (x) 在闭区间在闭区间 a，b 上的最大值，上的最大值，最小值的步骤：最小值的步骤： (1) 求求 f (x) 在在 ( a，b ) 内的极值；内的极值； (2) 将将 f (x) 的各极值与的各极值与 f (a)， f (b)比较，其中比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值最大

2、的一个是最大值，最小的一个是最小值 . 复复 习习 回回 顾顾函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中： 导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点。导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点。黄冈中学网校达州分校 有关函数最大值和最小值的应用题有关函数最大值和最小值的应用题 在日常生活、生产和科研中，常常会遇到在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求函数的最大值和最小值问题求函数的最大值和最小值问题. 黄冈中学网校达州分校 例例 1 在边长为在边长为 60 cm 的正方形铁皮的四角分别截去的正方形铁皮的四角分别截去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一

3、个无相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，问箱底边长为多少时盖的方底箱子，问箱底边长为多少时, 箱子容积最大，箱子容积最大， 最大容积是多少？最大容积是多少？6060 xxxx 例例 题题 解解 析析黄冈中学网校达州分校23( )602xV xx602xh解法一解法一：设箱底边长为：设箱底边长为 x cm，则箱高，则箱高 cm，260)(322xxhxxV)600( x得箱子容积得箱子容积 23( )6002xV xx令令 解得解得 x=0（舍去），（舍去），x=40， 并求得并求得V(40)=16 000 由题意可知，当由题意可知，当x过小（接近过小（接近0）或过大（接

4、近）或过大（接近60）时，箱子容积很小，时，箱子容积很小，因此，因此，16 000是最大值是最大值答：当答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3 黄冈中学网校达州分校xxxV2)260()()300( x解法二：解法二：设箱高为设箱高为xcm，则箱底长为，则箱底长为(60-2x)cm，则，则得箱子容积得箱子容积（后面同解法一，略）（后面同解法一，略）260)(322xxhxxVxxxV2)260()(事实上，可导函数事实上，可导函数在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，

5、是单峰的，因而这个极值点就是解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值最值点，不必考虑端点的函数值. .黄冈中学网校达州分校 注：注： 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点的情况，如果函数在这一点有极大有一个极值点的情况，如果函数在这一点有极大值或极小值，那么不与端点值比较，根据实际意值或极小值，那么不与端点值比较，根据实际意义也可以知道在这一点处取得的是最大值还是最义也可以知道在这一点处取得的是最大值还是最小值小值. 如果函数在一个开区间内有唯一的极值点，如果函数在一个开区间内有唯一的极值点，则函数在这个点的

6、函数值肯定是函数的最值则函数在这个点的函数值肯定是函数的最值. 黄冈中学网校达州分校已已知知某某商商品品生生产产成成本本 C C与与产产量量 q q 的的函函数数关关系系式式为为1 1C C = =1 10 00 0+ +4 4q q，价价格格p p与与产产量量 q q 的的函函数数关关系系式式为为p p = = 2 25 5- -q q. .8 8求求产产量量 q q为为何何值值时时，利利润润例例2 2L L 最最大大. . 分析：分析：利润利润 L 等于收入等于收入 R 减去成本减去成本 C，而收入，而收入 R 等等于产量乘价格于产量乘价格. 由此可得出利润由此可得出利润 L 与产量与产量

7、 q 的函数关系式，的函数关系式，而后再利用导数求最大利润而后再利用导数求最大利润.221125(1004 )2110088LRCqqqqq (0100)q利润利润211252588Rq pqqqq解解：收入：收入1214Lq 0L令令12104q84q 即即，求得唯一的极值点，求得唯一的极值点答：产量为答：产量为84时，利润时，利润L最大最大黄冈中学网校达州分校例例3、某产品按质量分为、某产品按质量分为10个档次个档次,生产第一档生产第一档(即最低档即最低档次次)的利润是每件的利润是每件8元元,每提高一个档次每提高一个档次,利润每件增加利润每件增加2元元,但在相同的时间内产量减少但在相同的时

8、间内产量减少3件件.在相同的时间内在相同的时间内,最最低档的产品可生产低档的产品可生产60件件.问在相同的时间内问在相同的时间内,生产第几生产第几档次的产品的总利润最大档次的产品的总利润最大?有多少元有多少元?分析分析： 在一定条件下在一定条件下,“利润最大利润最大”“”“用料最省用料最省”“”“面积面积最大最大”“”“效率最高效率最高”“”“强度最大强度最大”等问题等问题,在生产、生在生产、生活中经常用到活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题最值问题.除了常见的求最值的方法外除了常见的求最值的方法外,还可用求导法还可用求导法求函数的最值求函

9、数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行义域内进行.黄冈中学网校达州分校解法一解法一 ：设相同的时间内：设相同的时间内,生产第生产第x(xN*,1x10)档次档次的产品利润的产品利润y最大最大. 依题意依题意,得得y=8+2(x- -1)60- -3(x- -1) =- -6x2+108x+378 =- -6(x-9)2+864 (1x10), 显然显然,当当x=9时时,ymax=864(元元), 即在相同的时间内即在相同的时间内,生产第生产第9档次的产品的总利润档次的产品的总利润最大最大,最大利润为最大利润为864元元 黄冈中学网校达州分校解法

10、二解法二 ：由上面解法得到：由上面解法得到y=- -6x2+108x+378. 求导数求导数,得得y=- -12x+108. 令令y=- -12x+108=0, 解得解得x=9.因为因为x=91,10,y只有一个极值点只有一个极值点,所所以它是最值点以它是最值点, 即在相同的时间内即在相同的时间内,生产第生产第9档次的产品利润最大档次的产品利润最大,最大利润为最大利润为864元元.黄冈中学网校达州分校2222byax1、将正数、将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成分成_和和_.2、使内接椭圆、使内接椭圆 =1的矩形面积最大，矩形的的矩形面

11、积最大，矩形的长为长为_，宽为，宽为_.2a2a2b2a 练练 习习 3、有一边长分别为、有一边长分别为8与与5的长方形，在各角剪去相同的小的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？剪去的小正方形的边长应为剪去的小正方形的边长应为1，容积，容积V取最大值为取最大值为18. 黄冈中学网校达州分校4、当室内的有毒细菌开始增加时、当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂就要使用杀菌剂.刚开刚开始使用的时候始使用的时候,细菌数量还会继续增加

12、细菌数量还会继续增加,随着时间的增随着时间的增加加,它增加幅度逐渐变小它增加幅度逐渐变小,到一定时间到一定时间,细菌数量开始减细菌数量开始减少少.如果使用杀菌剂如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为小时后的细菌数量为b(t)=105+104t- -103t2. (1)求细菌在求细菌在t=5与与t=10时的瞬时速度时的瞬时速度; (2)细菌在哪段时间增加细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少在哪段时间减少?为什么为什么?解解 (1) b(t)=- -2 000t+10 000, b(t)|t=5=- -2 0005+10 000=0, b(t)|t=10=- -2 00010+10 000=-10 00

13、0,即细菌在即细菌在t=5与与t=10时的瞬时速度分别为时的瞬时速度分别为0和和- -10 00 黄冈中学网校达州分校(2) 由由- -2 000t+10 0000, 得得t5, 由由- -2 000t+10 0005, 即细菌在即细菌在t(0,5)时间段数量增加时间段数量增加,在在t(5,+)时间时间段数量减少段数量减少 黄冈中学网校达州分校 解有关函数最大值、最小值的实际问题，解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义得结果要符合问题的实际意义 根据问题的实际意义来判断函数最值时，根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较个极值就是所求最值，不必再与端点值比较 相当多有关最值的实际问题用导数方法相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单解决较简单. 小小 结结