第10讲追及问题.docx

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1、名师点拨学科：奥数教学内容：第10讲追及问题开始学习学问网络追及问题是行程问题中的另一种典型应用题，是同向运动问题。一般的追及问题：甲、乙两个人同时行走，甲的速度快，乙的速度慢，当乙在甲前面时, 甲经过一段时间后就可以追上乙。这就产生了 “追及问题:要计算走得快的人在某一段时 间内比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差即追及路程。追及路程二甲走的路程-乙走的路程二甲的速度X追准时间-乙的速度x追准时间二（甲的速度-乙的速度）x追准时间二速度差x追准时间重点难点追及问题中也涉及到三个量之间关系的转化：路程差=速度差义追准时间速度差二路程差+追准时间追准时间=路程差速度差这里的追准时

2、间是指共同使用的同一段时间。在追及问题中还会涉及到环形跑道和列车 问题。都可以依据详细条件转化成一般的追及问题。学法指导把握基本公式：路程差=速度差X追准时间。路程差是指在相同时间内速度快的比速度 慢的多行的距离，速度差是单位时间内速度快的与速度慢的路程差，追准时间是从动身到追 上所经受的时间。在理解以上概念时要从详细的追及问题入手，把握好公式中的数量关系， 不被外表现象所迷惑，才能正确解题。经典例题例1甲、乙二人进行短跑训练，假如甲让乙先跑40米，那么甲需要跑20秒追上乙；假 如甲让乙先跑6秒，那么甲仅用9秒就能追上乙。求：甲、乙二人的速度各是多少？思路剖析假如甲让乙先跑40米，然后甲动身追

3、乙，这40米就是二人间的路程差；甲用20秒追 上乙是追准时间，依据速度差二路程差小追准时间，可求甲、乙二人的速度差，即40 + 20=2 （米/秒）。假如甲让乙先跑6秒，那么甲需要9秒追上乙，这一过程中追准时间是9秒，由 上一过程的结论可求路程差：2X9=18 （米），这18米就是乙先跑6秒所跑过的路程，所以 可求出乙的速度是18 + 6=3 （米/秒），那么甲速可求。解答（1）甲、乙两人的速度差：40 + 20=2 （米/秒）（2）乙速：2义9 + 6=3 （米/秒）甲速：3+2=5 （米/秒）答：甲、乙二人的速度分别为5米/秒和3米/秒。例2学校组织同学步行去野外实习，每分钟走80米，动身

4、9分钟后，班长觉察有重要 东西还在学校，就以原速度返回，找到东西再动身时觉察又耽误了 18分钟，为了在到达目的地之前赶上队伍他改骑自行车，速度为260米/分，当他追上同学队伍时距目的地还有 120米。求走完全程同学队伍步行需多长时间？思路剖析此题中的追及问题发生在班长返回后，从学校动身追同学队伍，此时同学队伍已走出一 段距离。这段距离即路程差。由路程二速度义时间，同学行走速度，同学先走的时间： 9+9+18=36 （分钟），由于以原速返回，那么返回学校这段路程所用时间也是9分钟。可求路 程差=80X36=2880 （米）。由追准时间二路程差+速度差，可知班长用2880+ （260-80） =1

5、6 （分钟）追上同学队伍。那么全程可求，同学队伍走这段路所用的时间易知。解答班长从学校动身时与同学队伍的距离：80X （9+9+18） =2880 （米）追上同学队伍所用的时间：28809 （260-80） =16 （分钟）从学校到实习目的地全程：260X16+120=4280 （米）同学队伍行走所需时间：428080=53.5 （分钟）答：同学走完全程需53.5分钟。例引甲、乙、丙三人从同一地点A地前往B地，甲、乙二人早上8点一起从A地动身, 甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，丙上午11点才从A地动身。晚上8点，甲、丙同 时到达B地。求：丙在几点钟追上了乙？思路剖析此题看起来很简单，实际上

6、只含有一个丙追乙这一个追及关系。我们先将这个追及关系 放在一边。首先看由甲和丙同时到达这个条件可以求出哪些关于这个追及问题可以采用的结 论。甲在早8点动身，晚8点到达，而且甲速，那A、B间距离可知：6X 12=72 （千米）, 而丙走这段路所用时间比甲少3小时，那么可知丙速为：72+ （12-3） =8 （千米/小时）。在 丙从A地动身时，乙已经先走了 3小时，可知路程差：4*3=12 （千米），那么追及问题中 速度差、路程差可知，追准时间易求。解答A、B两地间距离：6X 12=72 （千米）丙的速度：726 （12-3） =8 （千米/小时）丙追上乙的追准时间：4X （11-8） 4- （8

7、-4） =3 （小时）11+3=14 （点）即下午2点答：丙在下午2点钟追上乙。点津当题的表述很简单，一时找不到解题关键时，可先由题中已有的条件求出可以得到的结 论，然后再查找解题的出路。例4甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时动身，动身时乙在前，甲 在后，动身后8分钟甲、乙第一次相遇，动身后的24分钟时甲、乙其次次相遇。假设两人 的速度保持不变，你知道动身时乙在甲前多少米吗？思路剖析题目中包含有两个追及问题。第一个追及问题发生在从动身到甲追上乙，即两人第一次 相遇，在这个过程中追准时间为8分钟，其他两个量都没有给出。在其次个追及问题中应留 意到环形跑道的特别性，即当两人同时动身

8、到再次相遇，速度快的人比速度慢的人多走了一 圈，因此路程差为400米，追准时间为（24-8）分钟。那么速度差可求，再把这个速度差代回 到第一个问题中，那么可求出第一个追及问题中的路程差。解答甲、乙的速度差：4004- （24-8） =25 （米/分钟）甲、乙开头时相距：25X8=200 （米） 答：动身时乙在甲前200米。点津在环形跑道中的追及问题，路程差的计算不同于在直道上的追及问题，它是与跑道周长 的倍数相关的，同一地点动身后的第一次相遇路程差是1倍的跑道周长，其次次相遇那么为2 倍的跑道周长。例5一辆长为12米的大客车以每秒8米的速度由A地开往B地，在距B地4000米处 遇见一个行人，1

9、秒后大客车经过这个行人。大客车到达B地休息了 10分钟后返回A地， 途中追上这个行人。大客车从遇到行人到追上行人共用了多少分钟？思路剖析大客车在距B地4000米处遇见一个行人，1秒钟后大客车经过这个行人，是一个相遇 问题。由速度和二全程+相遇时间，可知客车与行人速度和：12+1 = 12 （米/秒），那么行人 速度可知：12-8=4 （米/秒），当客车到达B地10分钟后返回时，再追上行人是一个追及问 题。追准时间可求。大客车从第一次遇到行人到其次次追上行人的时间可分为3段：一段是 从距B地4000米处到B地，一段是休息10分钟，一段是追准时间。解答行人的速度：12+1-8=4 （米/秒）大客车

10、行驶4000米需时间：40004-8=500 （秒）10分钟相当于60X10=600 （秒）大客车从B地动身，大客车与行人的路程差：4000+4X （500+600） =8400 （米）大客车追上行人所需时间：8400+ （8-4） =2100 （秒）故大客车从遇到行人到追上行人共需：500+600+2100=3200 （秒）=53 分钟 20 秒。答：大客车从遇到行人到追上行人共用了 53分钟20秒。点津此题中的整个过程综合了相遇问题和追及问题，要留意不同的问题选用不同的公式。此 题目还要留意时间单位的换算。例6甲、乙两车同时同地动身去同一地点，甲车速度为42千米/小时，乙车速度为 35千米

11、/小时。途中甲车停车5小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地，求两地间的 距离？思路剖析此题也可被看做是追及问题，甲车在中途停留5小时，比乙车迟1小时到达。说明走这 段路程甲车比乙车少用5-1=4 （小时）。由于甲车的车速比乙车快42-35=7 （千米/小时），那 么将此题转化为追及问题的形式为，乙车先开出4小时，然后甲车开出，甲、乙两车同时到 达目的地。路程差：35X4=140 （千米），速度差为7千米/小时，因此追准时间可求，即 140 + 7=20 （小时），也是甲车行驶完全程所需的时间。那么两地间的距离可求。解答追及路程：35X （5-1） =140 （千米）追准时间：1404- （4

12、2-35） =20 （小时）两地之间的距离：42X20=840千米）答：两地间的距离是840千米。点津此题目求解的关键是将题目中的条件转化成追及问题来考虑。由时间差进而确定路程差之后，问题就简单解决了。发散思维训练1 .在一条长400米的环形跑道上，正在进行一场5000米的长跑竞赛。1号队员的平均 跑步速度是每秒6米，2号队员平均每分钟跑8圈。当1号队员与2号队员在竞赛开头 一段时间后又并肩而跑的时候，1号队员距离终点还有多远？2 .小美以每秒2米的速度沿着铁路晨跑。这时从后面开来一列客车。客车经过她的身 边共用了 1。秒。这列客车车身长130米，求客车的速度是多少？3 .快车车速19米/秒，

13、慢车车速15米/秒。现有慢车、快车同方向齐头行进，20秒 后快车超过慢车，首尾分别。如两车车尾相齐行进，那么15秒后快车超过慢车，求两列火车 的车身长。4 .甲、乙、丙三人从同一地点动身，沿同一路线追逐前面的小舟，这时三人分别用5 分钟、8分钟、10分钟追上小舟。甲每小时走36千米，乙每小时走30千米。求丙的速 度？5 .甲、乙两城间的铁路长360千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时 相遇。假如两车从两城同时同向动身，慢车在前，快车在后，12小时快车可以追上慢车， 求两车的速度各是多少？6 .有甲、乙两列火车，甲车车长115米，每秒钟行驶27米，乙车车长130米，每秒钟 行驶32米

14、。从甲车追及乙车到两车离开，共需多长时间？7 .环形跑道一圈长为400米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分 钟走120米，乙每分钟走100米。问（1）甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？ （2）甲 其次次追上乙时，在起跑线前多少米？ （3）甲其次次追上乙时，两人各走了多少圈？8 . 一架飞机从机场动身到某地执行任务，原方案每分钟飞行8千米。为了争取时间， 现将飞行速度提高到每分钟12千米，结果比方案早到了 40分钟。问机场与目的地相距多远？9 .甲、乙、丙三人，甲每分钟走30米，乙每分钟走25米，丙每分钟走27米，甲、乙 从A镇、丙从B镇，同时相对动身，丙遇到甲后，10分钟后再

15、遇到乙，求A、B两镇的距 离？10 . 一架敌机侵害我们国家领空，我机马上起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机调 转机头，以每分钟15千米的速度逃跑。我机以每分钟23千米的速度追击，当追至距敌机2 千米时，我机与敌机绽开激战，仅用半分钟就将敌机击落。敌机从逃跑到被我机歼灭这段时 间共用儿分钟？清东之1E业后再官答紧！参考答案发散思维训练11 解：（1）先统一两个队员跑步的速度单位：1号队员：6X60=360 （米/分钟）2号队员：400X0. 8=320 （米/分钟）（2）追准时间:4004- （360-320） =10 （分钟）（3）此时1号队员跑了: 360X 10=3600 （米）（4）

16、距离终点：5000-3600=1400 （米）答：1号队员距终点还有1400米。12 解：客车经过小美的身边，这一过程客车与小美的路程差是客车的车身长：130米，经过所 需的时间是追准时间：1。秒。速度差：130+10=13 （米/秒）客车速度：2+13 = 15 （米/秒）答：客车的速度为15米/秒。13 解：当两车同时同向齐头行进，快车超过慢车时，两车的路程差相当于一个快车的车身长。那么快车车身长=速度差X追准时间=（19-15） X20=80 （米）当两车车尾相齐同向行进，快车超过慢车时，多行的路程即路程差，相当于一个慢车的 车身长。那么慢车的车身长（1915） X 15 = 60 （米

17、）答：快车车身长为80米，慢车车身长60米。14 解：由于三人从同一地点动身追逐小舟，因此他们与小舟的路程差是相等的，设小舟的速度 为x米/分钟，36千米/小时=（364-60）千米/分钟=06千米/分钟，30千米/小时二（30 4-60）千米/分钟=0.5千米/分钟。甲与小舟的路程差：（0.6x） X5乙与小舟的路程差：（0.5-x） X8（0. 6-x） X5=（0. 5-x） X81x =31 4（0.5）x8 = -三人与小舟的路程差为： 33 （千米）丙与小舟的速度差：3 , 15 （千米/分钟）127I 丙的速成度：3 15 15 （千米/分钟）15千米/分钟二（15）千米/小时=

18、28 （千米/小时）答：丙的速度是每小时28千米。5 .解：相遇问题中，全程360千米，相遇时间3小时。快车与慢车的速度和：360 + 3=120 （千 米/小时）。追及问题中，路程差360千米，追准时间12小时，快车与慢车的速度差：360+12 = 30 （千米/小时）。那么快车的速度：（120+30） 4-2=75 （千米/小时）慢车的速度：（120-30） 4-2=45 （千米/小时）答：快车与慢车的速度分别为75千米/小时和45 千米/小时。6 .解：从甲车追及乙车到离开乙车的过程中，路程差为两个列车的车身长和：115+130=245 （米）。甲、乙两车的速度差：32-27=5 （米/

19、秒）追准时间：245 + 5=49 （秒）答：从甲车追及乙车到两车离开，共需49秒。7 .解：（1）甲第一次追上乙时所用时间:4004- （120-100） =20分钟）这时：甲走了 120X20=2400 （米）乙走了 100X20=2000 （米）（2）其次次追上乙时所用时间为第1次的2倍，即40分钟，这时甲走了 120X40=4800 （米）48004-400=12 （圈），说明甲此时在起跑线上。（3）甲其次次追上乙时，甲走了 120X40+400=12 （圈）乙走了 100X40+400=10 （圈）答：甲第一次追上乙时，甲走了 2400米，乙走了 2000米。甲其次次追上乙时，甲恰好

20、 在起跑线上。这时甲走了 12圈，乙走了 10圈。8 .解：将此题可看作是追及问题。一架每分钟飞行8千米的飞机，飞行40分钟后，另一架每 分钟飞行12千米的飞机，沿第一架飞机的飞行路线从后面赶来，两架飞机同时到达目的地。路程差：8X40=320 （千米）追准时间：3204- （12-8） =80 （分钟），即其次架飞机的飞行时间。那么这段路程：12X80=960 （千米）答：机场与目的地相距960千米。9 .解：甲、丙在C地相遇，此时乙在D地，10分钟后，乙、丙在E地相遇。甲在C地时；乙 在D地，D、C这段距离是乙、丙10分钟内共同走的。距离为：10X （25+27） =520 （米）, 即甲、丙相遇时，乙比甲少走520米。乙比甲少走520米，所需时间：5204- （30-25） =104（分钟），也是甲、丙的相遇时间，那么A、B两镇间距离：（30+27） X 104=57X104=5928 （米）答：两镇相距5928米。10 .解:路程差：50-2=48 （千米）速度差:23-15=8 （千米/分钟）追准时间：484-8=6 （分钟）敌机从逃跑到被歼灭所用时间：6+0.5=6.5 （分钟）答：敌机从逃跑到被我机歼灭共用6.5分钟。