高考数学专题复习第6单元第36讲数列求和精品课件.ppt

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1、1,第36讲 数列求和,2,1.熟练掌握等差、等比数列的求和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 3.掌握非等差、等比数列求和的几种常见的模型,3,1.若数列an为等比数列，S5=10,S10=50,则S15= .,210,解析,4,5,B,解析,6,A.35 B.33 C.31 D.29,C,7,解析,8,5.设f(x)= ，则f(x)+f(1-x)= ，并利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为 .,9,f(x)+f(1-x)= + = + = + = = . 又设S=f(-5)+f(-4)+f(6), 则S=

2、f(6)+f(5)+f(-5), 所以2S=f(6)+f(-5)+f(5)+f(-4)+f(-5)+f(6). 所以2S=12 =6 ,所以S=3 .,解析,10,数列求和的常见方法 1.公式法 常用的公式有： (1)等差数列an的前n项和 Sn= = . (2)等比数列an的前n项和 Sn= = (q1). (3)12+22+32+n2= . (4)13+23+33+n3= .,na1+ d,n(n+1)(2n+1),n2(n+1)2,11,2.倒序相加法 将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易于求和，则这样的数列可用倒序相加法求和. 3.分组转化法 分析通项

3、虽不是等差或等比数列，但它是等差数列和等比数列的和的形式,则可进行拆分，分别利用基本数列的求和公式求和，如求n(n+1)前n项的和.,12,4.错位相减法 利用等比数列求和公式的推导方法求解，一般可解决型如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和，如求数列n3n的前n项和. 5.裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，它适用于通项为 的前n项求和问题，其中an为等差数列，如 = ( - ).,13,常见的拆项方法有： (1) = ; (2) = ; (3) = ; (4) = ; (5)nn!= .,(n+1)!-n!,14,6.并项法 将数列的每两项(

4、或多次)并到一起后，再求和，这种方法常适用于摆动数列的求和.,15,求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(2n-1+2n+ +3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.,题型一 分组求和及并项法求和,例1,16,(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+（3n-2） = = n2- n, 所以Sn= (12+22+32+n2)- (1+2+n) = n(n+1)(5n-2)(nN*).,解析,17,(2)当n是偶数时， Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2 =-3-7-(2n-1)= . 当n是奇数时， Sn=1+(32-

5、22)+(52-42)+n2-(n-1)2 =1+5+9+(2n-1)= . 故Sn=(-1)n-1 (nN*).,18,求数列的前n项和，首先要研究数列的通项公式的特点，再确定相应的求和方法.如本题中的(1)小题运用分组求和法；(2)小题中，由于an的项是正负相间，故采用并项求和法，但解题中要注意分奇数、偶数讨论.,评析,19,素材1,解析,20,题型二 裂项相消法求和,已知等比数列an的首项a1= ,公比q满足q0,且q1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列. (1)求数列an的通项； (2)令bn=log3 ,试求数列 的前n项和Sn; (3)试比较 + + + 与 的大小.,例2,2

6、1,(1)依题意，10a3=a1+9a5，即 q2= + q49， 整理得9q4-10q2+1=0，解得q2= 或q2=1，又q0，且q1， 所以q= ，此时，an=a1qn-1=( )n.,解析,22,(2)因为bn=log3 =-log3an=n, = = - , 所以Sn=b1+b2+bn = ( - )+( - )+( - ) =1- = .,23,(3)因为 = = ( - ), 所以原式= ( - )+( - )+( - ) +( - )+( - )+( - ) = (1+ - - ) = - ( + ) 对nN*恒成立.,24,（1）若数列的通项能转化为an=f(n+1)-f(n

7、)的形式，常采用裂项相消法求和，关键是裂项成功，如本例第（2）（3）问. （2）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项.,评析,25,素材2,C,解析,26,求和 + + + + (a0).,(1)当a=1时，Sn=1+2+3+n= . (2)当a1，且a0时， Sn= + + + , Sn= + + + , ,题型三 错位相减法求和,例3,解析,27,由-，得 (1- )Sn= + + - = - . 两边同除以(1- )并整理得 Sn= . (a=1) (a1).,综上所述,Sn=,28,（1）若数列an为等差数列，bn为等比数列，则数列anbn的前n项和可采用

8、错位相减法求和； （2）当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论. （3）将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.,评析,29,素材3,解析,30,31,32,题型四 倒序相加及综合应用,f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)= . (1)求f( )和f( )+f( )(nN*)的值； (2)数列an满足:an=f(0)+f( )+f( )+ +f( )+f(1),数列an是等差数列吗？请给予证明; (3)令bn= ,Tn=b12+b22+b32+bn2, Sn=32- .试比较Tn与Sn的大小.,例4,33,(1)因为f( )+f(1- )=f( )+f(

9、)= , 所以f( )= , 令x= ，得f( )+f(1- )= , 即f( )+f( )= .,解析,34,(2) an=f(0)+f( )+f( )+f(1), 又an=f(1)+f( )+f( )+f(0), 两式相加2an=f(0)+f(1)+f( )+f( )+ +f(1)+f(0)= , 所以an= ,nN*, 又an+1-an= - = . 故数列an是等差数列.,35,(3) bn= = , Tn=b12+b22+bn2 =16(1+ + + ) 161+ + + =161+(1- )+( - )+( - ) =16(2- )=32- =Sn. 所以TnSn，当且仅当n=1取

10、等号.,36,（1）如果一个数列an与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和； （2）关于数列前n项和的不等式，常转化为先求和，再放缩；或者先放缩变形，再求和.,评析,37,素材4,解析,38,39,评析 当把一个数列倒过来排序，与原数列项相加后，若有公因式可提，并且剩余的项的和易求，一般可用倒序相加法求其和,40,已知数列f(x)=ax+b,当xa1,b1时，f(x)的值域为a2,b2，当xa2,b2时，f(x)的值域为a3,b3,以此类推，一般的，当xan-1,bn-1时，f(x)的值域为an,bn，其

11、中a、b为常数，a1=0,b1=1. (1)若a=1,求数列an、bn的通项公式； (2)若a0，求证：bn-an是等比数列.,41,(1)当a=1时,f(x)=x+b在R上是增函数, 由已知,当xan-1,bn-1时,f(x)的值域为an,bn, 所以an=f(an-1)=an-1+b,bn=f(bn-1)=bn-1+b, 所以an、bn都是公差为b的等差数列， 所以an=(n-1)b,bn=(n-1)b+1. (2)证明:当a0时,f(x)=ax+b在R上是减函数， 由已知得,an=f(bn-1)=abn-1+b,bn=f(an-1)=aan-1+b, 所以bn-an=-a(bn-1-an-1)(n2), 所以bn-an是以1为首项,-a为公比的等比数列.,解析,42,1.若是等差、等比数列求和问题，则直接用公式求和,应注意公式的应用范围(如等比数列求和时,要分q=1和q1两类). 2.非等差、等比数列求和问题，注意观察通项的形式与特点，善于将问题转化为等差、等比数列求和问题，或通过拆项或并项或错位相减或倒序相加求和. 3.数列求和需熟练基本方法,积累一定的经验.,43,错解,错解分析,44,正解,