概率论与数理统计教程第七章答案.docx

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1、.第七章假设检验7.1设总体JN（。2）,其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些 是简洁假设，哪些是复合假设：（1） Ho：4 = O,。= 1；（2） ”o： = O, ct1；（3） H（）:3,。= 1；（4） H（）:03；（5） H0 = 0.解：（1）是简洁假设，其余位复合假设设。,务,聂取自正态总体N（,9）,其中参数未知，无是子样均值，如 对检验问题（）： = （），： = （）取检验的拒绝域： c,试打算常数c,使检验的显著性水平为0. 05 _ o解:由于自N（/,9）,故JN（,一）在”0成立的条件下，一_13 5cA（IJlc）= p（K但才）=2 1-申=0

2、.05（）= 0.975,1 = l.96,所以c=L176。 33设子样。&,，基取自正态总体，而，对假设检验国：户 No，H：NNo,取临界域。=（西，X2,3,4）：1； /，（1）求此检验犯第一类错误概率为a时，犯其次类错误的概率夕，并争论它 们之间的关系；（2）设o=O.O5,=0. 004, 6=0. 05, n=9,求=0.65 时不犯其次类错误的概率。解：（1）在”0成立的条件下，ENo，d，此时所以深的置信区间为置信下限二置信下限二置信上限二0.5419495(勺 一1,2 -1)片。5(小一 1，21)0.60650.28102.84137.22解：由于。未知，儿的置信区间

3、为7.22解：由于。未知，儿的置信区间为( *一言2(一点+( *一言2(一点+、4a/2 ( I)*sy/n*sy/n*2八4 j“2(Dn石(Z3)= 46石(Z3)= 46*2n5 l)SCT22T2=4产 1)E167/2、，/1、n(n l)4，i-a/2 (H 1)CT244 (Z3) = 彳975(4)02 = (2.7764)202 =616670244(z7)E(L2) = 975 (9)cf2 =正(2.2622)2 c/ =2.0470。244(位)后(?) = 一/；975(29)。2 = (2.0452)2/ =2.5577/44(zv)E(L2) = -475(7)

4、cr2 =-(1.8946)2cr2 = 1.7948cr28844(v)E(2) = -,975(7)cr2 =-(2.3646)2cr2 =2.7957cr28844(v，)(Z?) = 扁 75(7)/ = (3.4995)2/ =61233/ 887. 23假设六个整数1, 2, 3, 4, 5, 6被随机地选择，重复60次独立试验中消 失1, 2, 3, 4, 5, 6的次数分别为13, 19, 11, 8, 5, 4。问在5%的显著性水 平下是否可以认为以下假设成立：”0: P(匕=1) = C = 2)= 6) = )。6解：用/一拟合优度检验，假如H。成立/=理3炉/=1叩 i

5、列表计算/的观看值：组数i频数”*i - npi(一叫/叫1131030.92191098. 13111010. 14810-20.45510-52. 56410-63.6%2=15.6, 95（5）=11.07由于/，；95（5）,所以拒绝H0。即等概率的假设不成立。7. 24对某型号电缆进行耐压测试试验，纪录43根电缆的最低击穿电压，数据列 表如下：测试电压 3.8 3.9 4.0 4. 1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8击穿频数 试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和/ -拟合优度检验）。解：用正态概率纸检验出数据基本上听从正态分布，下面拟合优度检验假设HoN

6、（a，62）其中“夕为和人的极大似然估量，其观看值口 = 7 = 4.3744所以要检验的假设=0.048420 七N(4.3744,0.04842)分组列表计算Z2-统计量的观看值。组Xi-距玉频数%标准化区间Pi =中（%）-（W）秋i(一/例X-i%004. 1500-1.250. 10564. 54080. 04644. 14.27-1.25-0. 790. 10874. 67411. 15744.24.38-0. 79-0. 340. 15266. 56180.21524.34.512-0. 340. 570. 348814. 99840. 59944.54.660. 571.030

7、. 13285. 71040.01474.60050.31000. 15156. 51450. 3521（叩i 一 %）2 咱r=t i=lr=t i=l=2.4852用二= 0.1查表/6-2-1)=卷(3) = 6.251由于/9(3),所以不能否认正态 分布的假设。7. 25用手枪对100个靶各打10发，只纪录命中或不命中，射击结果列表如下 命中数天：0 1 2345 67 8 9 10频数力：0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在显著水平a = O.O5下用/拟合优度检验法检验射击结果所听从的分布。解对每一靶打一发，只纪录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十 发

8、，其射击结果可用二项分布。(K;1O,必来描述，其中p未知，可求其极大似然 估量为110设J是十放射击中射中靶的个数，建立假设H0:p/ = k)=(0.5)，0.5严二长=0，.,101KJ用Z2拟合优度检验法列表如下:1%Pi咱(4一%/叫000.0009770. 0980. 098120.0097650. 9761.074240.0439454. 3950. 0363100.11718811. 7190. 2524220.20521220. 5210. 1075260.24609424. 6090. 0796180.20521220. 5210.3107120.11718811. 719

9、0. 007840.0439454. 3950. 036920.0097650. 9761.0741000.0009770. 0980. 098（叩i - 叩i10z=0=3.171取 = 0.05, /IT 1尸力；95（9） = 16.919由于/ /.95(9)，所以接受儿。7. 26解：离散型随机变量的匀称分布是指等概率地取各个值，即要检验H0:= 0) = 1)=9)= 由于母体二是离散型随机变量，所以不能用柯尔莫哥洛夫检验”0,应用力2-拟合优度检验法。列表计算/值。1“Pi% 几Pi1274920. 100. 1080800. 4501.8003830. 10800. 11347

10、90. 10800.0125800. 108006730. 10800.6137770. 10800. 1128750. 10800.3129760. 10800. 20010910. 10800. 51210(明 一% Y= 5.1241=1nPiz2io二 Ei=l= 5.124取。=0.10。忘9o（lO）二忌go=14. 684o 由于/卷。（9）,所以接受现。7.27解：设25个数据来自母体4,检验假设Ho： CWM)柯尔莫哥洛夫检验法检验H。的统计量为Dn = sup | (x)尸(x) |= max 2-coxoo1,田)onIx(i)0（%）In,i 10(%)n0（%）n1-

11、2.460. 00690. 040. 00690. 03310. 0331列表计算。的观看值2-2. 110.01740. 08-0. 02260. 06260. 06263-1.230. 10930. 120. 02930.01070. 02934-0. 990. 16110. 160. 0411-0.00110. 04115-0. 420. 03370. 200. 1772-0. 13720. 17726-0. 392. 34830. 240. 1483-0. 10830. 14837-0.210.4168o. 280. 1769-0. 13680. 17688-0. 150. 44040

12、. 320. 1604-0. 12040. 16049-0. 100. 46020. 360. 1402-1. 10020. 140210-0. 070. 47210. 400. 1121-0.07210. 112111-0. 02o. 49200. 440. 0920-0. 05200. 0920120. 270. 60640. 480. 1664-0. 12640. 1664130. 400. 65540. 520. 1754-0. 13540. 1754140. 420. 66280. 560. 1428-0. 10280. 1428150. 440. 67000. 600. 1100-

13、0. 07000. 1100160. 700. 75800. 640. 1580-0. 11800, 1568170.810. 79100. 680. 1510-0. 11100. 1510180. 880.81060. 720. 1806-0. 09060. 1306191.070. 85770. 700. 1377-0.09770. 1377201.390.91770. 800. 1577-0.11770. 1577211.400.91920. 840. 1192-0. 07920. 1192221.470. 92920. 880. 0892-0. 04920. 0892231.620.

14、94740. 920. 0674-0. 02740. 0674241.640. 94950. 960. 0295-0. 01050. 0295251.760. 96081.000. 0008-0. 03920. 0392取二= 0.10,查柯尔莫哥洛夫检验的临界值（，2。）表，025010 =。2376由 于所以接受“0。b。b。所以，上丛五=4_小 由此式解出/=半4+45）7H在出成立的条件下，JN（,，），此时 n5）丁 +。一二G）二山G）%=卬-匕丛品）5）由此可知，当a增加时，4f减小，从而夕减小；反之当a削减时，那么夕增加。（2）不犯其次类错误的概率为1-夕=1-(嗔-匕4而。0

15、1 不/ o= 194.951尸3)VZ0乙=1-0(-0.605) = 0(0.605) = 0.72747.6设一个单一观测的J子样取自分布密度函数为/（x）的母体，对考虑统计假设:4/(%)= 10%1u /L(x) =0其他 j2x 0xl。其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满意a+ 2 = min,并求其最小值。解设检验函数为I x G- C甘心（C为检验的拒绝域） 。其他a + 2/3 =4(工 e c) + 2(x g c)=4(X C)+ 2口一租c)= &/(%) +21-耳。(x)1 1=j(/)(x)dx + 2(1 - j 2x(/)(x)dx) =2 +j(

16、l- 4x)(/)(x)dx0要使a + 2 = min ,当 1一4%2 0时，0(x)=。当 1 -4x-0847.7 设某产品指标听从正态分布，它的根方差。为150小时。今由一批产品 中随机抽取了 26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下, 能否认为该批产品指标为1600小时？解总体4N(,1502),对假设，“0： = 1600,采纳U检验法，在H。为真时， 检验统计量 =26=1.25785)临界值 7/2 =%975 =L96|%2，故接受H。7.8 某电器零件的平均电阻始终保持在2. 640,根方差保持在0.06Q,转变加 工工艺后，测得100个零件，其平均

17、电阻为2.62。，根方差不变，问新工艺对 此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平a =0.01。解 设转变工艺后电器的电阻为随机变量那么未知，04 = (0.06)2,假设为HQ ju = 2.64 ,统计量u = fn = 3.33 cr由于 42=%995 =21011，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。7.9 (1)假设新旧安眠药的睡眠时间都听从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间自N(20.8,1.82),新安眠剂的睡眠时间N(，cr2),为检验假设H。: = 23.8H : 23.8从母体取得的容量为7的子样观看值计算得% = 24.2寸=5.27由于的方差。2未知，可用t检验。仁上冲

18、血=24.R3.8近= q461527取Q = 0.10Mo (7 1) = 1.4398 沅o io,所以接受 H。7. 11有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人试验分析的结果如下:试验号12345678甲4.33.283.53.54.83.33.9乙3.74. 13.83.84.63.92.84.4试问甲乙两人的试验分析之间有无显著差异？解 此问题可以归结为推断自=为-2是否听从正态分布N(002),其中未知，即要检验假设“0： = 0。由t检验的统计量，=之学册=吐心7 = -0.389s： 0.727取a =0.10,又由于，/095(7) = 1.8946|/|,故接受儿7.

19、 12某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为0. 973根, 每台布机的平均断头率的根方差为0.162根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减 低20%,在200台布机上进行试验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994 根，根方差为0.16,问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05。解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量，有子样试验可得其均值和 方差的无偏估量为0.994及s： =(0.16)2,问新上浆率能否推广就要分析每台布 机的平均断头率是否增大，即要检验Ho: Er/= 0.973 乩 曲 0.973由于。未知，且n较大，用t检验，统计量为r = L = -994

20、-0-973 V200 = 1.856s：0.16查表知t095(199) = 1.645,故拒绝原假设，不能推广。7.13在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为（.，,与）， （%，%，.，为），假设作物产量听从正态分布，并计算得元= 30.97,5= 21.79, s； = 26.7, s；=12.1取显著性水平0.01,问是否可认为两个品种的产量没有显著 性差异？解甲作物产量J乙作物产量7?即要检验由于其，或未知，要用两子样t检验来检验假设”。9；=。；，由F检验, 统计量为F = /s；2 = 26.% f = 4.869 7,995（9,9） = 6.54 （取显著性水平 0.

21、 01）故接受假设H。9；=封，于是对于要检验的假设H。： 户外取统计量= 0.99x-y几 1电（几1 + % 一2）7（-l）2 + （n2-l）v V 4+4又。= 0.01时，%99式18） = 2.878|%,所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差异。7. 14有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽 取假设干产品，测得产品直径为（单位：mm）：甲 20.5 , 19.8 , 19.7 , 20.4 , 20. 1 , 20.0 o 19.6 , 19.9乙 19.7 , 20.8 , 20.5 , 19.8 , 19.4 , 20.6 , 19.2 o试

22、比拟甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为a = 0.05。解：假定甲产品直径听从N（从，由子样观看值计算得1 = 20.0（）,康=（0.3207）2 =0.1029。乙产品直径听从阳2，无），由子样观看值计算得S = 20.00,靖=0.3967。要比拟两台机床加工的精度，既要检验H。: b =（72由F-检验*2*20.10290.3967=0.2594 a = 0.05 时查表得：8975（7.6） = 5.70,6（7.6）=!= 0.1953,75（6.7）5.12由于乙025(7.6)尸乙975(7.6),所以接受口,即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。7. 16随

23、机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为(cm)2. 142. 102. 132. 152. 132. 122. 132. 102. 152. 122.142.102. 132. 112. 142. 11设钉长听从正态分布，分别对下面两个状况求出总体均值4的90%的置信区间(1) = 0.01cm ；(2) .未知解(1)由子样函数。=之上 CN(0,l), p(|U|095)= 0.9。，可求的置信 a区间置信下限己%殍= 2.121 y/n置信上限；+同殍= 2.129 yjn（2）在。未知时，由子样函数，=1 +册/（一 1）, p（ t tQ 95 （n -1） = 0.90 nJ s求

24、得4置信区间为置信下限 遣_九95(、居=2.1175 yjn置信上限孑+返粤= 2.1325 y/n7. 17包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为9.9 10. 1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10. 1 10.0 9.8 10.3 假定重量听从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量求置信水平为 95%的区间估量。解由于。未知，用统计量 =三幺5-1）,计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信上限为；+的置信区间，置信上限为；+，0.975（1 I），14n10.2556,下限为；_0975夕PL =9.92847.19随机取9发炮弹做试验，得炮口

25、速度的方差的无偏估量 =11 （米/秒）2,设炮口速度听从正态分布，分别求出炮口速度的标准差。和方差/的置信水平为90%的置信区间。解 选取统计量生雪/5一1）,可得4的置信区间为： （7（） = （5.6749,32.199）Zl-a/2-1）先z/2（ l）由于p（p（而F： 尸s：）/2（T）7a/2（l）L/2（D gd）= l-a故，标准差的置信区间取方差的根方即可。7. 20解:用子样函数42一（4一 o） 回+%-2）病必需要求=所以先应检验假设H。：第二无由样子观看值计算得0=81.625=145.6965二75.875噌=102.125S*2方二号=1.4266敢取。=0.1

26、0,片)95(7-7) = 3.79,由于耳 05(7-7) F J%95(7.7),所以接受原假设o，可以用两子样t统计量求41-42的置信水平为95%的置信 区间。置信下限0.975 C14)J(4l)S；+(%1)；，(勺 +% 2)2= 81.625-75.875 -2.145x J145.696 + 102.125= -6.1885置信上限MM =81.625-75.875 +2.145 x V145.696 + 102.125=17.1885S 17 7.21解：由于一二S 17 7.21解：由于一二*2%*2不I听从尸%1）分布，由 综95 (% - L 2 -1)=p4Sb 4.95 (1 1, 2 1)BSb4.05 (1 L 2 1)= 0.90