概率论和数理统计.docx

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1、概率论和数理统计试卷(1)一、选择题(6X3分):1 设0 v P(A) 1,0 P(B) 1,尸(A | B) + P(A | B) = 1,贝()(A) P(A|B) = P(A) (B) B = A (C) ABw )P(A3)wP(A)P(3).设 X N(2,/)且尸(0x4) = 0.5,那么 P(X0)=()(A) 0.65(B) 0.45(C) 0.95(D) 0.25.设X的分布函数为尸，那么Y = 3X + 1的分布函数G(y)为()F -y-/、(A)(3 3j(B) F(3y + 1)(C) 3F(y) +1(D) 一4,设X N(0,l),令y = x 2,那么 丫

2、()(A) N(21)(B) N(0,l)(C) N(2,1)(D) N(2,l).假如x,y满意0(x+ y)= d(x-y),那么必有()(A)x 与 y独立 (B)x 与 y不相关 (o dy = o (D)dx=o.设随机变量X*(% = 1，2)相互独立，具有同一分布，EXk=0, DXk =/,且成；存在，女= i,2,对任意0,正确地为()1 lim( -cr2 ,)1n k=x盘2.1 lim(-/ ve) = l (B) Ilim( (y2 )= 0(D) * I二、填空题(9X3分):1 .设 P(A) = 0.7 P(B) = 0.5 .那么 P(AB)的最小值为192

3、.三次独立的试验中，胜利的概率相同，至少胜利一次的概率为27 ,那么每次试验胜利 的概率为 ；设 P(A) = 0.5 P(B) = 0.4 P(A | B) = 0.6 那么 P(A | A u 月)二。3 .设XN(l,2),yN(3,4),Z = 2X y + 3 ,那么Z的概率密度函数 f(z)=。4 . x,y相互独立 x,y不相关。(肯定有或未必有).假设XU(L5),方程V+2Xx+5X4 =。有实根的概率。5 .假设X石(，那么EX=, DX=z 0/z(z) = Fz(z) =l 6一X 6、解： 易知:EX =1.1,3分(0.3 0.3EK = 1.3A-z -z e -

4、 eV7分2 )0.4J0.30.1 0.6JEX2 =1.9 EY2 =2.5DX =EX2 -(EX)2 =0.69 同理 DY = 0.81COV(4 77) = E 刻=E(X Y)(X + Y)-E(X 0Y)E(X + Y) =E(X2-y2)-(EX-EY)(EX + EY) = EX2 - EY2 - (EX)2-(EY)2= DX-DE = 0.69-0.81 = -0.127分7 解,X(即) 3(100,0.05)分EX = np = 5, DX = np(l p) = 4.753分由中心极限定理，得P(x-5|1) = P(4X6) = P( 4 fp X-np 6-n

5、pJnpQ - p) Jnp( p) Jnp( - p)八 /1X up1 、 . . 1 . _ z 1 、1 fP(一= 10,那么必有(A)P(A)0(B) P(B) =尸(A)(C)尸(闻3) = 0(D) P(AB) = P(A)P(B)(2)某人花钱买了 4、B、C三种不同的奖券各一张.各种奖券中奖是相互独立的，中奖 的概率分别为=0。3,尸=。.。1, P(C) = 0.02,假如只要有一种奖券中奖此人就肯 定赚钱，那么此人赚钱的概率约为(A) 0.05(B) 0.06(C) 0.07(D) 0.08 X N(,42), 丫 N(,52),月=PX 2 (4)设随机变量X的密度函

6、数为了(%),且/(%)= /(X)，/是X的分布函数, 那么对任意实数。成立的是(5)二维随机变量(X,Y)听从二维正态分布，那么X+Y与X-Y不相关的充要条件为(A) EX = EY(B) EX2-EX2 = EY2-EYf(O EX2 = EY2(D) EX2EX2 = EY2+EY2二、填空题(本大题5小题，每题4分，共20分)(1) P(A) = 0.4 P(B) = 0.3 P(A u B) = 0.4 那么 P(AB) =j 4x3, 0 x 。)= P(X a)的常数。二设随机变量 XN(2,02),假设 p0X4 = 0.3,那么 PX)(4)设两个相互独立的随机变量X和Y均

7、听从 5，假如随机变量X-aY+2满意条件D(X-aY + 2) = E(X-aY + 2yf 那么。=(5) X 即,P),且石(X) = 8,D(X) = 4.8,那么*.三、解答题(共65分)(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的 25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2)假设任取一件产品觉察是次品，此次品是甲车间生产的概率是多少？1. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 k(6-x-y),Qx2 ,0 y 4fy) = 0,其它求：常数左(2) P(X + YW4)(10分)

8、设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为仆=:0%o；y wo.求:随机变量z = x+y的概率密度函数.2. (8分)设随机变量X具有概率密度函数 fx/8, 0 x 4;/x(x) = o,其他，求：随机变量丫=-1的概率密度函数.3. (8分)设随机变量X的概率密度为:1 _| J/(x)-e H -oo % /（羽z x）公，又由于x与Y相互独立，所以p+oofz(z)= fx (x)fY(z-x)dx J-00P+8当 ZWO 时，/z(Z)= L/x(X)/y(Z-%) =。； 分当 Ovzvl 时，加 z) = 口x(M(zr)&f 分吆 c =rx(z - dx=r当

9、z 之 1 H、J,J-8jo所0z0r+oo/z(z)= fx(x)fY(z-x)dx= -ez0z 、4、解：y = e1的分布函数入(y)6(y) = P(Yy) = P(ex -y) = P(X ln( +1) =2分0,y 0； ln2(y + l), 0 y e4 -1; 16_1,e4 - y. 分 fln(y + l) 九(y) = 7 工(y) = 8(y + i)于是y的概率密度函数10分3分5e-(z-x)dx = -ez;7e-(z-x)dx = ez(e-);以10分My+Dfx(X)公X)60 y e4 1;其他OO铲 FM = I /力5、角牛：J-8当1 1%1

10、x33分fix1+ e 1 dt = 1 e 1J。28PX=k= 0.20.85a = 0,1,5 3*6分5EY = Eg(X) = g(k)PX=kk=0= 10xPX=0 + 5xPX = 1 + 0xPX =2-2xPX = 3 + PX =4 + PX =5二10 x 0.328 + 5x 0.410-2x 0.057 = 5.216(万元)9分7、解：（1）由于XN（oj）,yN（O,1）,且相互独立，所以u = x + y+LV = x_y + i 都听从正态分布，所以同理所以 分EU = E(X + Y +1) = EX + EY + El = 1DU = D(X + Y +

11、 ) = DX + DY = 23分1 -fu ()= -, C 4N(l,2),所以几一历EV = E(X-Y + 1) = EX-EY+E1 = 1DU = D(X-Y + l) = DX-i-DY = 2ify ()= I e 4V N(1,2),所以ylAjr(2)euv = e(x + y +1)( x y +1)= e(x 2 丫？ + 2X +1)= EX2 -EY2 +2EX +1 = DX +(EX)2 -(DK+ (EK)2) + 2EX+ 1=1 EUV EUEV 八Puv -1。分概率论和数理统计试卷（4）一、填空题（本大题共有5小题，每题3分，总分值15分）（1）设A

12、、B互不相容，且P（A）0, P（B）0,那么必有（）尸（同 A）0（b）P（3） =尸（A）（C）P（AB） = P（A）P（B） （D）尸（婀=0（2）某人花钱买了 A、B、c三种不同的奖券各一张.各种奖券中奖是相互独立的，中奖 的概率分别为= 0.0,尸（约= 0.01, p（C） = 0.02,假如只要有一种奖券中奖此人就肯 定赚钱，那么此人赚钱的概率约为（）(A) 0.05(B) 0.06(C) 0.07(D) 0.08(3)设随机变量X的密度函数为了(X),且/(X)= /(X)，/(X)是X的分布函数, 那么对任意实数。成立的是()(A)(C)(A)(C)/(_q) = 1_Jo

13、 f(x)dxF(-a)=尸(B)(D)1 iF(-a)=2Lf(x)dxF。)= 2 /一1(4)X N(,42),y N(4,52),p1=PX4_4,p2 = Py、4 + 5,那么(A)对任意实数Pi =2(B)对任意实数，Pi 2 (D)只对4的个别值，才有P1=2(5)二维随机变量(X,Y)听从二维正态分布，那么X+Y与X-Y不相关的充要条件为()(A) EX = EY(B) EX2+EX2=EY2+EYf(C) EX2 = EY2(D) EX2-EX2=EY2-EY2二、填空题(本大题5小题，每题4分，共20分)(1) P(A) = 0.4 P(B) = 0.3 P(A uB)

14、= 0.4 那么 P(AB) =4I, 0xl设随机变量X有密度 V县匕，那么使P(X。)= P(X a)的常数=设随机变量 X N(2,),假设 p0 V X 4 = 0.3，那么 PX 0 =(4) x 即”),且E(X) = 8,D(X) = 4.8,那么*.N(l，)设两个相互独立的随机变量X和Y均听从 5 ,假如随机变量X-aY+2满意条件 D(XF + 2) =a(X_qF + 2)2,那么。=三、解答题(共65分)(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的 25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次

15、品率(2)假设任取一件产品觉察是次品，此次品是乙车间生产的概率是多少？1. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为k(6 -x-y),0x2,0y4|0 ，其它求：（1）常数攵（2） P（X + y4）2. （8分）设随机变量X的概率密度为:1 _ij/（x） = e -oo x oo2,求:X的分布函数.3. （8分）设随机变量X具有概率密度函数0 x 4;其他，求：随机变量y = e-1的概率密度函数.4. （10分）设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为小(%)=小(%)=0%1; 其它.力（y） =y0; y WO.求:随机变量z = X + Y的概率密度函数.5

16、. （10 分）设 X N（0,l）,y N（0,l）,且相互独立U = X-Y + 1,V = X + Y + 1求：（1）分别求u,v的概率密度函数；（2）U,V的相关系数奴；6. （9分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，假设一 周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润。元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？概率论与数理统计试卷（4）标准答案和评分标准一、选择题（5X3分）题号12345答案DBBAD二填空题（5X4分）11、0.12、啦 3、0.354、205、3三、计算题

17、（65分）1、解：A为大事“生产的产品是次品”，Bi为大事“产品是甲厂生产的，B2为大事“产品 是乙厂生产的”，B3为大事“产品是丙厂生产的”易见g,2,区是。的一个划分_（1）由全概率公式，得P(A) = p(AB) =) = 25%x5% + 35%x4% + 40%x2% = 0.0345.Z=1 分(2)P(B2A) =由P(AB2)P(B2)Bayes 35% x 4%83方尸（胭）尸（瓦）0,03451=1231。分2、解:（1）由于分X, y)dxdy = 1,所以Wk(6-x- y)dy = 1,可得k=i10J tirj (6一=(|x2-6x + 16)tk = 1分3、解

18、:x0,F(X)= 当1 f.V1F(x) = efdt = el2 L2 当F(x) = j e!dt + eldt = l- - el4.解：丫= i的分布函数片(y)FY(y) = P(Y y) = P(ex -ly) = P(X ln(y+ 1) = f 皿)fx (x)dxJ-82分4.解：丫= i的分布函数片(y)FY(y) = P(Y y) = P(ex -ly) = P(X ln(y+ 1) = f 皿)fx (x)dxJ-82分0,-ln2(y + l),loLy 0;0 j -1;e4 y.ln(y+ 1)力(y) = Jy(y) = 8(y+ 1)于是y的概率密度函数1，

19、8分-6分0 ye4 -1;其他.5解：由卷积公式得+8fz(z)= fx,z-x)dxJ-oo/4-00又由于X与Y相互独立，所以心=LfY（z-x）dx当 Z V 0 时 fz (z)=匚/x (x)/y (z-x)dx = 0;分当0zl时，勿2）=匚4（3代%）小-% = 1-e：fz (z)=匚/x MfY(z-x)dx =( e(zA)dx = ez(e-l);/z(z)=f fx(x)fY(z-x)dx=J-8/z(z)=f fx(x)fY(z-x)dx=J-80l-e-ze-z(e-l)z 00 z l10分6、解：(1)由于x N(o,i),y n(o,i),且相互独立，所以

20、u = x y+i,v = x + y+i 都听从正态分布，EU = E(X-Y + ) = EX-EY + E = DU = D(X -Y + 1) = DX + DY = 23分fu () , e 4所以。N(l,2),所以历同理 EV = E(X + Y + 1) = EX +EY + E1 = 1ou = o(x + y + i)= ox + oy=21 -fy (w) = e 4所 以VN(l,2), 所 以历5分(2)ec/v = E(x-y+ i)(x + r + i)= e(x2-y2 + 2X + 1)= EX2 -EY2 +2EX+1 = DX +(EX)2-(DY+ (E

21、Y)2) + 2EX+ 1=18分EUV - EUEV 八Puv =/ i= 0所以y/DUy/DV10分PX=k=O.2%O.850 = O,L,57、解由条件知X3(5，。2),即让)分10,5, y = g(x)=u，-2,X =0; x=l;X = 2; X3 分9.随机变量序列,X，依概率收敛于常数。是指对任意 o, 有 =1成立三、计算题（3X6分+4X7分+1X9分）：1 .设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占94%、3%、2%、1%,四个等级的发芽率 依次为,0.98, 0.95, 0.9, 0.85求这批麦种的发芽率。假设取一粒能发芽，它是二等品的概率 是多少？2 .离散

22、型随机变量X的分布函数0x -10.4-1 x 1F（x） =0.7lx3、1x-3,求X的分布列3 .设随机变量X的概率密度函数为：/（x） = /I -oo x +oo求：1）X的概率分布函数，2） X落在（-10,15）内的概率;4.设随机变量（x，y）的概率密度为0xl,0yx其他求：1）A；(1P X -,Y-2) I42 J3)凤x-y)5 .设随机变量x与y的密度函数如下，且它们相互独立1,0 x 0fxM = L 甘人（）=八 /八0,其匕0,y1 nmP-YXi-a = l8、229、1三、计算题（3x6分+4x7分+1x9分）1、解:3 = 能发芽/=取的是第i等品 i =

23、 1,234易见4,4,4,A是c的一个划分2分P(A1) = 0.94, P(A2) = 0.03,尸(4) = 0.02, P(A4) = 0.01P(B I A) = 0.98, P(B I A?) = 0.95, P(B | 4)=0.9, P(B | AJ = 0.854分4P（B） = ZP（A）P（B |4）= 0.9754由全概率公式，得 i6分2、解：由题意知：离散型随机变量X的可能取值是：-1, 1, 3, 2分/=Z Pi由于离散型随机变量的分布函数，得4分(0.4 0.3 0.3 J3、解:x 0,当I rOpx .1.F(x) = J e 力+ 工 e dt = 1

24、- 2分4分图(1)图(2)P(-10 X 15) = F(15)- F(-10) = 1 -,022分(见图(D)(见图(D)1 = J二匚/(%，y)dxdy = AMMy = *. A = 31 1 c-d 1P(X,Y)= 4 3xdxdy =(2)42 J。J。询(见图)分Qx0其它E(X-Y) = U 匚( - y)f(x, y)dxdy = x-yxdxdy = |f。，y) = fxMfy(y) =5、解：由X和Y独立，得分尸Z(z) = P(z z) = P(X + y z) = j j /(x, y)dxdyx+yzz-xnz-x _ ,)ey dxdy-z-l + e-z

25、 eydxdy = 1 - ez + ez分1-2-Zz 00z 1z 050zl2 )( 012 y6、解： 3 U.易EX =1.1, EY = .33分0.4J(0.3 0.1 0.6J知：EX2 =1.9 EY2 =2.5DX =EX2 -(EX)2 =0.69 同理 DY = 0.SCOV(J力)=Erj - E&E = E(aX - )3Y)(aX + /?/) - E(aX - /3Y)E(aX + /?/)=E(a2X2 - 2y2) - aEX - /3EY)aEX + J3EY) = a2EX2 -俨 EY? 2(EX)2-J32(EY)2二 a2DX-/32DY = 0.

26、69 6r2-0.81 仍7分7 解.X(即/)区(100,0.05)1分EX = np = 5, DX = np(l -p) = 4.753分由中心极限定理，得P(X-5 1) = P(4 X 6) = P(， J - 6Tlpynp(l p) Ynp(l - p) YnpQ - p)1X np1、不/1、不/ 1、 r 不/ 1、 iP(一一/= /= !) = P( /) 一 (1)(一= 20( ) -17分8、解:7分8、解:V455 版(”) V455V4775V4775V477555口工看=P，=， (1 - p) ，=155口工看=P，=， (1 - p) ，=1(1) Xj

27、Ml,p), 123,4,5 样本的联合分布列：P(X =%,X2 =%2，X5 =%5)= fjP(X,=为)=立，%(1 ，尸, z=li=xi = 0,1 = 1 53分(2)样本均值:样本方差:521一 121 53 26宜(X, 一幻=二区-工)= z=l- i=lJ655之七一方七7(3)由 得：似然函数以)= (1一055In L(p) = Z 匕 ln( )+ 5 Z X,)1n(1 一 P) 对数似然函数I对求导并令其为0：对求导并令其为0：din L(p)dp七1 一5(_匕)=0/=1得9分得9分即为P的极大似然估量概率论和数理统计试卷(2)一、选择题(6X3分):设X

28、N(22)/(0xv4) = O5,那么 P(X0)=()(A) 0.65(B) 0.45(C) 0.95(D) 0.252,设0P(A)l,0P(B)l,P(A|8) + P(才 | 豆) = 1,那么()(A)尸(A3)wP(A)P(B)(b# = X(c)P(AB) = P(A)P(B) (D)3.设X的分布函数为M%),那么y = 3X + l的分布函数G(y)为()Ji _ nz(A) 13y 3)(B) F(3y + 1)(C)3/)+ 1)与一54,设 X N(0,l),令 y = x-2,那么 丫 ()(A) N(2,l)； 7V( 2,1) (C) N(2,l)； MO)；.

29、5 .假如X，y满意D(X + Y) = D(X -y),那么必有()(A)x 与y独立(B)dy = o(C)x 与y不相关 (D)dx=o.设随机变量X%a= 1，2)相互独立，具有同一分布, %=6DXk =，,且成；存在，攵=1,2,对任意0,正确地为()1工lim( -a2 ,)1(A)“ k=l1工lim( -a2 ,)1(A)“ k=llimj oo(C)(C)limjX； / 8 n 77lim( -cr2 0,有=0成立三、计算题（3X6分+4X7分+1*9分）：1.设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占94%、3%、2%、1%,四个等级的发芽率 依次为,0.98, 0.9

30、5, 0.9, 0.85求这批麦种的发芽率。假设取一粒能发芽，它是二等品的概率 是多少？2.离散型随机变量X的分布函数X 1-1 X 11 W x 3x-3 ，求X的分布列3.设随机变量（x）的概率密度为0.40.80 x 1,0 y x其他求A；（3）凤x y）4.设随机变量X的概率密度函数为：/（%） = -oo x +oo求：（1）X的概率分布函数，（2） X落在（-10,15）内的概率;6.设随机变量x与y的密度函数如下，且它们相互独立1,0 x 0其它加打寸。，4。求随机变量Z = X + Y的概率密度函数。7.设随机变量（XI）的概率分布列为求4 = 乂_匕 =乂 +匕求4和77的

31、协方差YX01200.100.2100.10.220.200.28.设一批产品的次品率为0.05,从中有放回的取出100件，求取出的次品数与5之差小于1的概率.9.设总体X3（1,）,其中是未知参数,（,、2/3,*4，、5）是总体的样本,求（1）样本的联合概率分布列（2）假设样本观测值为0, 1, 0, 1, 1,求样本均值和样本方差（3）求的极大似然估量概率论与数理统计试卷（2）标准答案和评分标准一、选择题（6X3分）题号123456答案DCABCC二、填空题（9X3分）:_k 0.52、327、几 8、 X253.371(X-3)25、未必有 6、9、I lim P-YXi-as = 0

32、 n ,=1三、计算题(3x6 分+4x7 分+1*9 分)I、解.5 = 能发芽 4 = 取的是第i等品 i = 1,2,3,4易见A, 4，4, A4是。的一个划分2分P(A) = 0.94, P(A2) = 0.03, P(A3) = 0.02, P(A4) = 0.01P(B | A) = 0.98, P(B | 4) = 0.95, P(B A.) = 0.9, P(B | A4) = 0.854分4P（B） = EP（A）P（B I 4） = 0.9754由全概率公式，得 国6分2、解：由题意知：离散型随机变量X的可能取值是：-1, 1, 3, 2分由于离散型随机变量的分布函数4分

33、/(%)= E PiXjX(-13、X(。4 0.4 0.2)6 分r+QC p-KOpl 产A1=/(x, y)dxdy = Axdxdy =一 x o3、解：(1)JoJo3A = 3(见图)2分图(1)11r- rxP(X -,/-) = 3xdxdy =分 (f+oo f-KX)E(X-y)= J f (x-y)f(x,y)dxdy : J-OO J007分4 到F(、)=r4.解：(1 )J8当1 11x 0, F(x) =edt + edt = 1-分(图(2)J_64(见图(2) 53)=(”y)3尤公小=w2分242)P(-10X15) = F(15)f5、解：由X和Y独立，得 分Fz(z) = P(Zz) =0pz rz-x=J Jo eydxdy = z -1 + eydxdy = l-elTT /1 f11510-r (10) = 1ee226 分(x, y) - /x(x)/y(y) - 彳八甘10其匕2P(X + Yz)= j j f (x, ydxdy x+yz z 0 Z0z 15分