数学思想方法分类思想.ppt

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1、 思考：思考： 求方程求方程 x2 3x 5的解。的解。 数学思想方法数学思想方法数学思想方法数学思想方法分类讨论思想分类讨论思想分类讨论思想分类讨论思想 分类讨论思想分类讨论思想 人们面对比较复杂的问题，有时人们面对比较复杂的问题，有时无无法通过统一研究或者整体研究解决法通过统一研究或者整体研究解决，需，需要把研究的对象按照一定的标准进行分要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题其实

2、质是把问题“分而治之、各个击破、分而治之、各个击破、综合归纳综合归纳”。 分类规则和解题步骤是：分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准）根据研究的需要确定同一分类标准 ；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类）恰当地对研究对象进行分类，分类后的后的所有子项之间既不能所有子项之间既不能“交叉交叉”也不也不能能“从属从属”，而且所有子项的外延之和，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，就是必须与被分类的对象的外延相等，就是要做到要做到“既不重复又不遗漏既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。）综合概括、归纳得

3、出最后结论。分类讨论思想分类讨论思想例例1 1：学校建花坛余下学校建花坛余下2424米漂亮的小围米漂亮的小围栏，经总务部门同意栏，经总务部门同意，六年级五班，六年级五班的同的同学准备在自己教室后的空地上建一个一学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多你设计一下，使花圃的长比宽多3 3米，米，求出花圃的面积是多少？求出花圃的面积是多少？ 分类讨论思想分类讨论思想 分类讨论既是解决问题的一般的思分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域问题较

4、常用的思想方法。也是数学领域问题较常用的思想方法。 从知识的角度而言，把知识从宏观从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想还是概良好的认知结构。分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。率与统计知识的重要基础。 分类讨论思想的意义分类讨论思想的意义例例2 2：同时：同时抛掷抛掷3 3枚普通的硬币一次，问枚普通的硬币一次，问得到得到“两正一反两正一反”的概率是的概率是多少？多少

5、？分类讨论思想分类讨论思想思想思想方法方法知识知识点点应用举例应用举例 分类分类讨论讨论 分类分类 一年级物体的分类一年级物体的分类数的数的认识认识数可以分为正数、数可以分为正数、0、负数、负数有理数可以分为整数和分数有理数可以分为整数和分数整数整数的性的性质质整数可以分成奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数正整数可以分为正整数可以分为1、素数和、素数和合数合数分类讨论思想在小学数学中的应用分类讨论思想在小学数学中的应用 分分类类讨讨论论 图形图形的认的认识识平面图形中的多边形分为：三角形、平面图形中的多边形分为：三角形、四边形、五边形四边形、五边形三角形按角可以分为：锐角三角形、三角形按角可以分

6、为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形直角三角形、钝角三角形三角形按边可以分为：不等边三角三角形按边可以分为：不等边三角形、等腰三角形形、等腰三角形四边形按对边是否平行可以分为：四边形按对边是否平行可以分为：平行四边形、梯形和两组对边都不平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形平行的四边形统计统计 数据的分类整理和描述数据的分类整理和描述分类讨论思想在小学数学中的应用分类讨论思想在小学数学中的应用分类讨论思想的教学应注意：分类讨论思想的教学应注意： 第一，在分类单元的教学中，注意第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想，渗透分类思想，一方面是一般物体的分一方面是一般物体的分类类，如柜台上的

7、商品、文具等；，如柜台上的商品、文具等；另一方另一方面要注意从数学的角度分类面要注意从数学的角度分类，如立体图，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。形、平面图形、数的认识和运算等。分类讨论思想分类讨论思想 第二，在平时教学中注意经常性地第二，在平时教学中注意经常性地渗透分类思想，如平面图形和立体图形渗透分类思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。的分类、数的分类。 第三，注意从数学思维和解决问题第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、概率的计算、抽屉原理抽屉原理等问题经常运用等问题经常运用分类讨论思想解决。分类讨论思

8、想解决。分类讨论思想分类讨论思想抽屉原理：有抽屉原理：有n+1个元素放到个元素放到n个集个集合中去，其中必定有一个集合里至少合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。有两个元素。例例3：任意给出：任意给出4个两两不等的整数，个两两不等的整数，请说明：其中必有两个数的差是请说明：其中必有两个数的差是3的的倍数。倍数。分类讨论思想分类讨论思想分析：分析：任意一个整数除以任意一个整数除以3，余数只有，余数只有三种可能：三种可能：0、1和和2。运用分类思想，。运用分类思想，构造这样的三个抽屉：除以构造这样的三个抽屉：除以3余数分别余数分别是是0、1和和2 的整数。根据抽屉原理，的整数。根据抽屉原理，

9、必有一个抽屉里至少放了两个数。这两必有一个抽屉里至少放了两个数。这两个数除以个数除以3的余数相等，设这两个数分的余数相等，设这两个数分别为别为3m+r和和3n+r（m、n都是整数都是整数），他们的差），他们的差=3（m-n），必是），必是3的的倍数。倍数。 分类讨论思想分类讨论思想 第四，在统计与概率知识的教学中，第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。现实生活中数据丰富渗透分类的思想。现实生活中数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据进多彩，很多时候需要把收集到的数据进行分类整理和描述，从而有利于分析数行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。据和综合地做出推断。 第五，

10、注意让学生体会分类的目的第五，注意让学生体会分类的目的和作用，和作用，不要为了分类而分类不要为了分类而分类。如对商。如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购，品和物品的分类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法进行分类，是为了更对数学知识和方法进行分类，是为了更深入地研究问题、优化解决问题的方法。深入地研究问题、优化解决问题的方法。分类讨论思想分类讨论思想例例4 4：某服装厂生产一种西装和领带。：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价西装每套定价200200元，领带每条定价元，领带每条定价4040元，厂方在开展促销活动期间向顾客提元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一

11、套西装供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定送一条领带，方案二：西装领带均按定价打价打9 9折（两种优惠方案不可同时采用）折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买某店老板要去厂里购买2020套西装和若干套西装和若干条领带（超过条领带（超过2020条）请帮店老板选择一条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？种较省钱的购买方案？ 分类讨论思想分类讨论思想 第六，注意有关数学规律在一般条第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说有些数学规律在一般情况下成也就是说有些数学规律在一般情况下成立，在

12、特殊情况下不成立；而这种特殊立，在特殊情况下不成立；而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。容易造成学生思维的片面性。分类讨论思想分类讨论思想例如：在小学里的判断题：如果例如：在小学里的判断题：如果5a5a2b2b，那，那么么a:b=2:5a:b=2:5；对吗？；对吗？ 严格来说，这道题是错的，因为这里没严格来说，这道题是错的，因为这里没有规定有规定a a和和b b不等于不等于0 0。之所以产生分歧，是因。之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成文的规定：在讨为在小学数学里有一个不成文的规定：在讨论整数的性质时，一般情况下

13、不包括论整数的性质时，一般情况下不包括0 0。这种。这种约定是为了避免麻烦，有一定道理；但是这约定是为了避免麻烦，有一定道理；但是这样就造成了在解决有关问题时产生分歧，而样就造成了在解决有关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学生进入初中后的学习中，经常会因为解决问生进入初中后的学习中，经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。 分类讨论思想分类讨论思想集合思想集合思想 集合的概念集合的概念: 把指定的具有某种性质的事物看作一个把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合，其中每个

14、事物叫做该整体，就是一个集合，其中每个事物叫做该集合的元素。给定的集合，它的集合的元素。给定的集合，它的元素必须是元素必须是确定的确定的，即任何一个事物是否属于这个集合，即任何一个事物是否属于这个集合是明确的。如是明确的。如“学习成绩好的同学学习成绩好的同学”不能构不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而而“语文和数学的平均成绩在语文和数学的平均成绩在90分及以上分及以上的同学的同学”就是一个集合。一个给定集合中的就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即元素是互不相同的，即集合中的元素不重复集合中的元素不重复出现出现。只要两个集合的元素

15、完全相同，就说。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。这两个集合相等。集合思想集合思想判断以下各题：判断以下各题：1、我们班上所有的姓氏组成集合。、我们班上所有的姓氏组成集合。2、所有面积较大的正方形组成集合。、所有面积较大的正方形组成集合。3、由太平洋、大西洋、印度洋组成、由太平洋、大西洋、印度洋组成的集合与印度洋、太平洋、大西洋的集合与印度洋、太平洋、大西洋组成的集合相等。组成的集合相等。 集合的表示法一般用集合的表示法一般用图示法图示法、列举列举法法和和描述法描述法。列举法就是把集合的元素。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用大括号一一列举出来，并用大括号“”括起括起来表示

16、集合的方法。描述法就是在花括来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。描述法便体现出了优越性。集合思想集合思想思考：用适当的方法表示下列集合思考：用适当的方法表示下列集合 大于大于10的所有自然数组成的集合；的所有自然数组成的集合； 24与与30的所有公约数组成的集合；的所有公约数组成的集合； 方程方程x

17、24 = 0的解的集合。的解的集合。集合思想集合思想例例1 1：某小学举办学生画展，展出的画某小学举办学生画展，展出的画中有中有1616幅不是六年级的，有幅不是六年级的，有1515幅不是五幅不是五年级的，现知道五、六年级共展出年级的，现知道五、六年级共展出2525幅幅画，那么其他年级展出的画有多少幅画，那么其他年级展出的画有多少幅? ? 集合思想集合思想 一一对应一一对应是两个集合之间元素是两个集合之间元素（不一定是数）的一对一的对应，也（不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合就是说集合A中的任一元素，在集合中的任一元素，在集合B中都有唯一的元素中都有唯一的元素b与之对应；并且在与之对应；并

18、且在集合集合B中的任一元素中的任一元素b，在集合，在集合A中也中也有唯一的元素与之对应。有唯一的元素与之对应。集合思想集合思想 例如正奇数集合和正偶数集合之例如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。其他集间的元素可以建立一一对应。其他集合之间也可以建立一一对应，如五合之间也可以建立一一对应，如五（1）班有）班有25个男生，个男生，25个女生，个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对那么这两个集合之间可以建立一一对应。应。 集合理论是数学的理论基础，从集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体集合论

19、的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。领域的知识。集合思想集合思想例例2：乒乓球比赛有：乒乓球比赛有16人参加人参加A组的小组的小组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛。一共要进行多少场比赛？参加决赛。一共要进行多少场比赛？ 分析：下面用一一对应的思想来分析：分析：下面用一一对应的思想来分析：因为每次比赛淘汰一个人，有一场比赛就淘因为每次比赛淘汰一个人，有一场比赛就淘汰一个人，没有比赛就不淘汰人，要想淘汰汰一个人，没有比赛就不淘汰人，要想淘汰一个人就必须有一场比赛，也就是说一个人就必须有一场比

20、赛，也就是说比赛的比赛的场数与被淘汰的人数是一一对应的场数与被淘汰的人数是一一对应的。在小组。在小组参赛的参赛的16人中，最后只有一人得第一名，要人中，最后只有一人得第一名，要淘汰淘汰15人，所以比赛的场数为人，所以比赛的场数为15场。场。 集合思想集合思想 集合思想在小学数学中的具体应用：集合思想在小学数学中的具体应用： 集合思想在小学数学的很多内容集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。如在学习公因数和公中进行了渗透。如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了

21、公因数个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。和公倍数的概念。集合思想集合思想 在小学数学中还经常用集合图表示在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合；把锐角为一个整体，看作一个集合；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合自看作一个集合。集合思想集合思想质数质数 01合数合数自然数自然数自然数自然数奇数奇数偶数偶数81 2 4 3 6 128的约数的约数 12的约数的约数8和和12的公约数的公约数 4 8 16 20 12 24 6 18 30 4的倍数的倍数 6

22、的倍数的倍数 4和和6的公倍数的公倍数平行四边形平行四边形长方形长方形正方形正方形三角形三角形锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形三角形三角形等边三角形等边三角形等腰三角形等腰三角形例例3：六（：六（1）班举办文艺活动，演出）班举办文艺活动，演出歌舞节目的有歌舞节目的有9人，演出小品等节目的人，演出小品等节目的有有12人，两类节目都参加的有人，两类节目都参加的有5人。人。该班共有多少人参加这两类节目的演该班共有多少人参加这两类节目的演出？出？集合思想集合思想例例4：有一学校由：有一学校由50名同学参加的球名同学参加的球类运动队中，喜欢打篮球的有类运动队中，喜欢打篮球的有

23、38人，人，喜欢打排球的有喜欢打排球的有41人，喜欢踢足球的人，喜欢踢足球的有有27人。既喜欢打篮球又喜欢打排球人。既喜欢打篮球又喜欢打排球的有的有32人，既喜欢打排球又喜欢踢足人，既喜欢打排球又喜欢踢足球的有球的有21人，既喜欢踢足球又喜欢打人，既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有篮球的有20人。问同时喜欢这三类球人。问同时喜欢这三类球的有多少人的有多少人? 集合思想集合思想分析分析：设同时喜欢三类球的有：设同时喜欢三类球的有X人，则人，则只喜欢打篮球的有：只喜欢打篮球的有：(38-32-20+x)人，只喜欢打排球的有：人，只喜欢打排球的有：(41-32-21+x)人，只喜欢踢足球的有：人，只喜欢踢

24、足球的有：(27-21-20+x)人。人。集合思想集合思想集合思想的教学：集合思想的教学：第一，应正确理解有关概念。第一，应正确理解有关概念。第二，正确把握集合思想的教学要求。第二，正确把握集合思想的教学要求。集合思想虽然在小学数学中广泛渗透，集合思想虽然在小学数学中广泛渗透，但是集合的知识并不是小学数学的必学但是集合的知识并不是小学数学的必学内容；因而应注意把握好知识的难度和内容；因而应注意把握好知识的难度和要求，尽量使用通俗易懂的语言渗透集要求，尽量使用通俗易懂的语言渗透集合思想。合思想。集合思想集合思想 第三，集合思想的教学要贯穿小学数学第三，集合思想的教学要贯穿小学数学的始终。如上所述，集合思想在一年级的始终。如上所述，集合思想在一年级学习之初，学生在学习人数和分类等知学习之初，学生在学习人数和分类等知识中就已经有所接触，一直到高年级学识中就已经有所接触，一直到高年级学习公因数和公倍数、三角形和四边形的习公因数和公倍数、三角形和四边形的分类、数的分类（正数、分类、数的分类（正数、0、负数）等、负数）等等，不同年级和不同知识领域都有所渗等，不同年级和不同知识领域都有所渗透。因此集合思想的渗透不是一朝一夕透。因此集合思想的渗透不是一朝一夕的事情，而是坚持不懈的长期的过程。的事情，而是坚持不懈的长期的过程。集合思想集合思想