学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总(共15讲)(147页).doc

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1、-学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总(共15讲)-第 142 页学而思2011年秋季北京四年级超常123班难题汇总第一讲 整数与数列找规律、记公式是本讲的主要内容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接触，需要有个理解消化的过程。1、一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于：_，从这列数的第_个数开始，每个都大于2007。【难度级别】【解题思路】找规律。第1个：3第2个：632第3个：18(3+23)23(1+2)2332322第4个：54(3+6+18)2(3+32+332)2(33+332)2(333

2、)2332第n个：3n-12这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每个数是其前面数的3倍(第1、2个数除外)，前8个数是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。由公式，第6个数：352486。由3n-12 2007，得3n-1 1003.5，n=8（其实，第6个数是486，第7个数就是48631458，第8个数1458343742007）。【答案】486，8。2、【例5】计算：1119 + 1218 + 1317 + 1416计算：199 + 298 + 397 + + 4951【难度级别】【解题思路】此题没有难度，就是平方差公式的应用，列在这里是想说一下如何找中间数。2

3、个数的中间数2个数的和除以2，或者小的数 + 2个数的间隔的一半（大的数 - 2个数的间隔的一半）。例如11和19的中间数是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2和98的中间数是50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。计算题中平方差的应用主要是找准中间数。另外，项数要数对了，例如第2道计算题是49项，而不是50项。(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+(502-1

4、2)=50249-(492+482+472+12)=250049-4950996=82075【答案】870，82075。3、【学案4】计算：24 + 46 + 68 + + 2830【难度级别】【解题思路】此题不难，主要是考一下孩子要先提取公因式，再继续往下做，用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6。每个乘积的2个数分别提取个2，224，相等于提取4。24 + 46 + 68 + + 28304（12 + 23 + 34 + + 1415）括号内的，例题讲过，通用的方法是：n（n + 1）= n2 + n这样构成了2个数列，一个平方和，一个等差

5、数列（连续自然数）。4（12+1 + 22+2 + 32+3 + + 142+14）4（12+22+32+142+）+（1+2+3+14）4（1415+296 + 15142）4480【答案】4480。4、【学案1】我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555是否是两个连续奇数的乘积？【难度级别】【解题思路】这道题，直接证明不太容易，尝试拆分是可做的。当然本题考孩子的是找规律。先说一下不找规律，看看用尝试法如何做，以下分拆过程是大家容易想到的。11111555551111100000 + 5555511111100000+11111511111（100000+5）11111

6、100005（因100005比11111大，想办法变小）11111200015（先考虑是5的倍数）11111666753（再看到20001是3个倍数）3333333335从11111666753这个式子可以看出来，111113得到3万多，66675也得到3万多，这样两两组合应该可以得到比较接近的两个数（当然也是尝试法）。找规律，方法如下：1个1，1个5，15352个1，2个5，115533353个1，3个5，111555333335n个1，n个5，11155553333335(都是n位数)所以，5个1，5个5，11111555553333333335【答案】可以，111115555533333

7、33335。5、【学案2】47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？【难度级别】【解题思路】此题，孩子可能无从下手。先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数。要想奇数最多，肯定越小越好，所以从1、3、5开始考虑，从1、3、5一直加到多少会接近2000呢？假设有n个奇数，第n个奇数是2n-1。1+3+5+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2n=44时，n2=1936；n=45时，n2=2025所以n最大为44，47443，偶数最多3个。给出一例：2000=1+3+5+85+87+(2+4+58)，保证3个偶数和为64即可（2000-1936=64）。【答案】最少有3个

8、偶数。9_【难度级别】【解题思路】这道题，将9变成(10-1)也不是太复杂，当然本题考孩子的是找规律。12=1112=1211112=1232111112=1234321数如果是n个1(1=n=9)，平方就是1n1。911111111129111111111999999999111111111(10000000001)7、【作业3】非零自然数的平方按照从小到大的顺序连续排列，是：149162536，则从左向右的第16个数字是_。【难度级别】【解题思路】这道题，难度也就一星，但是如果问第160个数字数多少，难度就有3星了。因为第16个数字再写几个就出来了，但是如果第160个就写不出来只能计算了。

9、，所以第16个数字是1。计算过程如下：平方数是1位的，有1、2、3，共3个。平方数是2位的，有4、5、9，共6个。平方数是3位的，有10、11、12、31，共22个。平方数是4位的，有32、33、34、99，共68个。因为，31的平方961（3位最大的）32的平方1024（4位最小的）99的平方9801（4位最大的）100的平方10000（5位最小的）13+261513+26+3228113+26+322+468272从这个结果知道，16-15=1，第16个数字是“平方数是3位”的第1个数字，即：10的平方（100）中1。1608179，第160个数字是“平方数是4位”的第79个数字，7941

10、93，即：第20个“平方数是4位”的左数第3个，32+20-1=51，51的平方2601，左数第3个是0。所以地160个数字是0。【答案】1。8、【作业4】对于每个不小于1的整数n，令an表示1+2+3+n的个位数字。例如a11，a23，a40，a55，则a1+a2+a3+a2007_。【难度级别】【解题思路】题目不难，但孩子不一定能做出来。这种题目一看，肯定是周期问题，一定会循环的，此题的关键是，看能否坚持下去，因为到20才出现周期。n1234567891011121314151617181920an13605186556815063100题目求的是2007个数字的和。2007201007周

11、期内的20个数字的和70，周期内前7个数字的和24要求的结果10070+247024【答案】7024。第二讲 巧求面积求面积时需要头脑灵活，但是有些题目方法确实不好想，需要摸索、体会和领悟。21、【例7】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？【难度级别】101010102134【解题思路】此题，1010100平方米，这个不一定容易看到。周长相差40米，边长相差10米。如图，(3)为小试验田，则(1)的面积是100平方米，这是关键点。40410，1010100，220100120，120260，60106，6636【答案】3

12、6平方米。22、【作业8】在图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。【难度级别】【解题思路】此题问题的关键是如何使用条件“阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米”，如果考虑到填补的方法，问题就变得简单了。都补上梯形EGCB后，阴影就变成了“平行四边形ABCD”，三角形EFG就变成了“三角形EBC”。根据差不变性质，这2部分的面积差还是10平方厘米，而三角形EBC是个直角三角形面积可求（二个直角边已知）。108240，40+1050。【答案】50平方厘米。EC

13、FADB23、【作业1】如图所示，从一个直角三角形中剪去一个面积为15cm2的长方形后剩余部分是两个直角三角形。已知AD长为3cm，求CE长是多少？【难度级别】GADECFB123456F【解题思路】看到此题，作为家长的我，是真的没做出来，关键是这种巧妙的方法不是很好想的。如图做辅助线，构成一个大长方形ABCG。由对称知道，三角形AGC和三角形ABC面积相等，又3和1面积相等，4和2面积相等，所以6和5面积相等，为15cm2。因为6的面积15cm2，宽AD3cm，所以，长15/35cm，CE5cm。【答案】5cm。AEFBGDCO24、【例8】如图，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长

14、方形，求BCO与EFO的面积差。【难度级别】【解题思路】此题的难点在于不好理解求的“BCO与EFO的面积差”，为什么要求2个的面积差？不好下手。如果使用高中知识，可知BCO与EFO是相似，BC=2EF，可得CO=2EO，所以CO=2，EO=1（因为CE=3），结果是：24/2-12/2 = 3。HAEFBGDCO小学知识，就得从要求的“BCO与EFO的面积差”考虑，这2个都不好求，添一个什么图形能好求呢？！延长BC，BCO与EFO都添加一个梯形CHFO，就变成了求BHF与长方形EFHC的面积差了。36/2-323。【答案】面积差是3。25、【学案3】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的

15、公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【难度级别】【解题思路】此题不好考虑如何做辅助线，如何把花瓣拼凑成规整图形。如图虚线，在一个圆内作一个正方形，此正方形与中间的正方形大小是相等的。在虚线的正方形内空白的2个花瓣，正好可以用“圆和虚线正方形之间2个阴影”补上，凑成一个正好的正方形。所以阴影部分的面积就是4个小正方形的面积。本题的第二个难点就是，如何求一个小正方形的面积。小正方形的对角线正好是直径2厘米。使用“正方形面积对角线平方2”来求。（222）48平方厘米。【答案】8平方厘米。AEFCBGDO26、【学案4】如图， E、F、G都是正方形A

16、BCD三条边的中点，OEG比ODF大10平方厘米，那么梯形OGCF的面积是多少平方厘米？【难度级别】AEFCBGDOHIJ【解题思路】此题较难，成人也不太容易做出来，第一：题目给的“OEG比ODF大10平方厘米”不知道如何使用，第二：不知道该怎么做辅助线。如图从G点向上作一条垂线，从O点向下作一条垂线。需要证明O是HF的中点。对长方形IGCD，DG是对角线经过长方形的中心，HF是长方形的对称轴也经过长方形的中心，所以O是长方形IGCD的中心点，所以O是HF的中点，所以OGH和ODF形状大小完全相同面积相等。这样，题目给的条件“OEG比ODF大10平方厘米”就用上了，HEG的面积就是10平方厘米

17、。再根据E、F、G都是边上的中点，知道HEG的面积是正方形ABCD面积的1/8，正方形ABCD面积是80。四边形HGCF面积是1/4，80/4=20平方厘米，OHG的面积是1/16，80/16=5平方厘米，梯形OGCF的面积是：20515平方厘米。也可以不求出正方形ABCD面积80，HEG的面积1/8等于10平方厘米，OHG的面积1/16就是1/8的一半5平方厘米，四边形HGCF面积1/4就是1/8的2倍20平方厘米，20515就是梯形OGCF的面积。【答案】15平方厘米。第三讲 火车过桥问题火车过桥问题，情况比较多，老师逐一进行了讲解，如头头、头尾等，还分相遇或者追及，个人认为记住这些比较困

18、难，最好记住分析的方法和原理就行了，遇到具体问题再去分析是“慢车长”还是“快车长”、是“车长+车长”还是“车长-车长”。方法就是，车头插红旗或者车尾插红旗，看看题目中的两者（或者多者）具体走的距离。解题主要考虑3个量：距离、速度、时间，距离一般使用距离和或者距离差，速度一般使用速度和或者速度差。31、【例8】有一条东西向的铁路桥，一只小狗在铁路桥中心以西5米的地方。一列火车以每小时60千米的速度从西边驶过来，火车头距离铁路桥的西桥头还有2个桥长的距离。如果小狗迎着火车跑过去，它恰好能在火车头据西桥头还有1米的时候逃离铁路桥；如果小狗以同样的速度向东跑的话，小狗会在据东桥头还有0.25米的地方被

19、火车追上。铁路桥长多少米？小狗的速度为每小时多少千米？【难度级别】【解题思路】此题题目较长，需要画图和列表来帮助解题，要让孩子有耐心去读题、分析题。51小狗和火车相同时间走的距离：小狗火车小狗向西半桥-52桥-1小狗向东(+)从表格看出，5桥-1.25=5(1桥-0.25)，说明在相同时间内火车走的距离恰好是小狗的5倍，火车的速度是小狗的5倍，小狗速度60512千米/小时。由5倍关系，2桥-15(半桥-5)，求得：桥=48米。其实，可以列成二元方程来：(2S-1)/60 = (S/2-5)/V(3S-0.25)/60 = (S/2+4.75)/V这个二元方程是分数方程，最后变成S的一元二次方程

20、，有2个解。一个解：V12，S48是正解，另外一个解S=0.25(V585)不符合题意。但是这个方程，对于小学孩子是无法解的。这仅仅是想说明，此题如果不是整数倍，也是有解的，当然给孩子出题不会这么难的。【答案】铁路桥长48米,小狗的速度为每小时12千米。32、【例7】现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车。快车每秒行18米，慢车每秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，求当快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的时间。【难度级别】【解题思路】此题不难，列在这里，想说两件事情，一是如何分析问题如何考虑使用哪个车长，二是此题有简便算法。其实火车过

21、桥问题，主要是考虑车长、桥长。此题第一种情况，同向，头头齐。同向，是追及问题，用到的是距离差、速度差，当然，相遇类问题就用到距离和、速度和。头头齐，同向行进，可以让孩子在车头插红旗，用示意图画一下开始两车头齐，之后快车尾和慢车头齐，红旗走的距离就是这个车走的距离。这样可以看出来快车走的正好比慢车多了一个“快车车长”。此题第二种情况，同向，尾尾齐。尾尾齐同向行进，可以让孩子在车尾插红旗，用示意图画一下开始两车尾齐，之后快车尾和慢车头齐，红旗走的距离就是这个车走的距离。这样可以看出来快车走的正好比慢车多了一个“慢车车长”。此题第三种情况，同向，快车头慢车尾齐，之后是快车尾慢车头齐。可以让孩子在快车

22、头、慢车尾插红旗，红旗走的距离就是这个车走的距离。这样可以看出来快车走的正好比慢车多了“慢车车长+快车车长”。这种方法，孩子就不需要记各种各样的情况下是哪个车长，学会画图即可。解题就简单了，第一种情况，求出快车车长：12(18-10)=96米，第二种情况，求出慢车车长：9(18-10)=72米，第三种情况，两车行进的距离差是“慢车车长+快车车长”，距离差/速度差，就是要求的时间，(96+72)/(18-10)=21秒。列出此题的第二个目的是，此题有简便算法，想一下，多走一个快车的时间是12秒，多走一个慢车的时间是9秒，第三种情况就是多走2个车，所以时间是：12+9=21秒。【答案】21秒。33

23、、【例4】李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒。已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米。问货车行驶的速度是多少？【难度级别】【解题思路】此题不难，帮助分析。车厢长、车头长、车厢间距，这些仅仅是为了求货车的车长。此题可以等同于火车过人问题，只是人不是静止的是有速度的（火车的速度），所以此题火车没有用处可以忽略。因是迎面，是相遇问题，使用的是距离和、速度和。此题涉及单位换算，题做完后知道，换成米/秒是小数，换成千米/小时是整数。30520米。车头和车厢之间是有

24、间距的，所以1.2不要算29个要算30个。距离和520米，速度和520米/18秒=(520/1000)/(18/3600)千米/小时104千米/小时。货车速度104-60=44千米/小时。【答案】44千米/小时。34、【例3】铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时。这时，有一列火车从他们身后开过来，火车通过行人用了22秒，通过骑车人用了26秒。这列火车的车身总长是多少？【难度级别】【解题思路】此题不难，帮助分析。火车过人问题，追及，使用距离差、速度差。很明显，距离差火车车长。3.6千米/时1米/秒，10.8千米/时3米/秒

25、。22(V-1) = 26(V-3)V=14米/秒22(V-1)=286米【答案】286米。35、【学案4】在双轨铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥，10时1分24秒完全通过铁桥，后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行驶的货车。求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？【难度级别】【解题思路】火车过桥和追及问题，需要把时间弄清楚。货车速度：54千米/小时15米/秒列车速度：72千米/小时20米/秒货车过桥时间84秒，S货+S桥84151260米列车过桥时间53秒，S列+S桥53201060米货车离

26、开桥到列车超过用了47分32秒2852秒，走的路程：28521542780米列车离开桥到超过货车用了36分3秒2163秒，走的路程：21632043260米分析：从车尾离开桥到列车追上货车，“桥到追上地点的距离”是本题孩子不容易搞明白的地方。货车车尾离开桥、列车车尾离开桥不是在同一时间，课堂上讲的头头、尾尾、头尾等等情况都是在同一时刻。事实上给孩子讲清楚：货车走的慢先走的、列车走的快后走的，但是最后追上了；不管是列车走还是货车走，也不管是先走还是后走，“桥到追上地点的距离”是不变的；在车尾插红旗，列车走的路程是“桥到追上地点的距离”，货车走的路程比“桥到追上地点的距离”少了一个“货车车长”，所

27、以：货车路程+货车车长列车路程。42780+S货43260，得到：S货480米由前面的S货+S桥1260米，得到：S桥1260-480=780米由前面的S列+S桥1060米，得到：S列1060-780=280米【答案】货车长480米，列车长280米，桥长780米。36、【学案3】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？【难度级别】【解题思路】此题不难，帮助分析。相向，相遇问题，使用距离和、速度和。坐在快车上，距离和=慢车长=385，速度和=385/11=35米/秒。坐在慢车上

28、，距离和=快车长=280，速度和不变，时间=280/35=8秒。【答案】280(38511)=8秒。37、【学案2】铁路与公路平行。公路上有一行人，速度是3.6千米/小时，公路上还有一辆汽车，速度是16米/秒，汽车追上并超过这个行人用了2.4秒。铁路上有一列火车与汽车同向行驶，火车追上并超过行人用了6秒，火车从车头追上汽车车尾到完全超过这辆汽车用了48秒。求火车的长度与速度。【难度级别】【解题思路】仅从字面“追上并超过”理解，感觉象“人与汽车同向”，但是个人认为题目没有说人和汽车的方向，需要考虑人的方向有2种可能。(1). 人与汽车同向追及问题，使用距离差、速度差。3.6千米/小时1米/秒。(

29、16-1)=36米火车追人得到，火车长6(V-1)火车追汽车得到，火车长+汽车长48(V-16)48(V-16)6(V-1)+36V19米/秒火车长6(V-1)6(19-1)108米(2). 人与汽车相向人与汽车、人与火车相遇，火车与汽车追及。48(V-16)6(16+1)火车长6(V+1)6【答案】长108米，速度19米/秒，或：长122.4米，速度19.4米/秒。第四讲 加乘原理综合应用此讲没有新内容，是对以前学过的加乘原理的应用，但是有些题目确实挺有难度的。41、【作业4】一次考试的选择题有A、B、C、D四个选项，允许选一项或者多选（可以全选，但不能都不选），问这个选择题有多少种不同的答

30、案？【难度级别】【解题思路】此题不难，列在这里是想说另一种方法。大家常用的方法是：选1个4种，选2个6种，选3个4中，选4个1种，共4+6+4+115种。另一种方法就是：每个选项选或不选有2种可能，2222-115。【答案】15种。42、【作业3】有一个四位数，它与它的逆序四位数的和为9999，例如7812+2187=9999,3636+6363=9999,那么这样的四位数一共有多少个？【难度级别】【解题思路】此题不算太难，但是孩子可能读不太懂“它与它的逆序四位数的和”，即便读懂了也不知道如何考虑。的逆序是，因a+d=9,b+c=9,a和d不能等于0也就不能等于9，所以a可以选择除0和9以外的

31、8个数字，a选好后，d就确定了，b可以选择10个数字，b选好后，c就确定了。81080。【答案】80个。43、【例7】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工电工都会。从7人中挑选4人完成此项工作，共有多少种方法？【难度级别】【解题思路】此题难度不大。分两种情况考虑就可以了：不选“多面手”、选“多面手”。给孩子讲清楚，3选23选13种。不选“多面手”，需要2名钳工，3名钳工选2名钳工，3种，需要2名电工，3名电工选2名电工，3种，339种。选“多面手”，又分2中情况：“多面手”当钳工、“多面手”当电工。“多面手”当钳工，还需要1名钳工，3名钳工选1名钳工，3

32、种，需要2名电工，3名电工选2名电工，3种，339种。“多面手”当电工，需要2名钳工，3名钳工选2名钳工，3种，还需要1名电工，3名电工选1名电工，3种，339种。9+9+927种。【答案】27种。44、【例8】用四种颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不学奥而数思同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。问：共有多少种不同的染色方法？【难度级别】【解题思路】这道题不太难，就是在然最后2个的时候要分情况。这道题好象是某个杯赛的1道题目，原题是对5个国家染色。假设染色顺序为：学奥而思数。前3个：学奥而，432，“思”有2种情况：与“学”相同、与“学”不同。“思”与“学”相同：“数”有2种，“思

33、”与“学”不同：“数”只有1种，所以：2+13，432（2+1）72种。【答案】72种。45、【例2】如图，讲1、2、3、4、5分别填入图中15的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大。共有 种不同的填法。【难度级别】【解题思路】此题先要考虑黑格能填多少，可能容易想到4和5，但是3和5也是可以填的，这一点未必想到。黑格填4和5（21），白格填1、2、3，因1、2、3比4、5都小，所以1、2、3在白格可以任意填（321），2132112种。黑格填3和5（21），白格填1、2、4，因4只能填在黑格5的最外侧，所以4没有选择（1），1、2在白格可以任意填（21），211214种。12 + 4

34、16种【答案】16种。46、【学案2】从1到500的所有自然数中不含数字4的自然数有多少个？【难度级别】【解题思路】此题容易算错，而且容易把百位是4的忽略。此题孩子可能考虑先算含4的，实际上含4的也很多，和直接算不含4的方法一样。不含4的1位数：有8个，1、2、3、5、6、7、8、9。不含4的2位数：有8972个。不含4的3位数：百位可以选择：1、2、3，十位9种，个位有9种，399243个，外加1个500。8+72+243+1324个。【答案】324个ABCDEFG47、【学案4】给图中7个圆圈染色，有5种不同的颜色可选，要求线段相连的两个圆圈不能同色，那么共有 种不同的染色方法。（不考虑图

35、形翻转）【难度级别】ABEFCDG【解题思路】将图形进行如下转换，转换后的图形就和例8差不多了，而且比例8还简单，不用分情况。图形转换是难点。假设染色顺序为：A-E-F-B-C-D-G，54333334860。【答案】4860种。48、【例1】红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2、2、3、3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？【难度级别】【解题思路】此题对孩子难度不小，首先要分情况，取三面小旗有如下3种情况：只取一种颜色、取两种颜色、取三种颜色，其次再每种情况去计算。分情况的思路孩子未必能够想到。(1)取一种颜色，只能取

36、蓝或白，有2种，其他两种不足三面不能取。(2)取两种颜色，有3种排列可能：、413+431+43112+12+1236取两种颜色，老师给出了另一种求法：4取2（无顺序）有6种，2色3面旗有2种可能：2A1B或者1A2B，而3面小旗选好以后有三种排列方式：、，所以：62336。(3)取三种颜色，43224。所以，2+36+2462白旗不能打头的，按照反向考虑，先求出白旗打头的： 白 、 ？ 、 ？ ，14416。621646就是白旗不能打头的。【答案】共可以表示62种不同的信号，白旗不能打头有46种。49、【例4】用0、1、2、3、7、8六个数字可以组成 个能被9整除的没有重复数字的四位数。【难

37、度级别】【解题思路】此题的难点在于：能被9整除。能被9整除有个性质就是：数字之和是9的倍数。从六个数字中选择4个数字，而这4个数字的数字和是9的倍数。0+1+2+3+7+821，所以4个数字的数字和可能是9也可能是18。因不能重复，0、1、2、3之和为6，不够9，所以必须有7或者8，但是有7或者8后0、1、2、3选择3个和7或者构成和为9是不可能的（7缺2，0、1、2、3选3个数字和为2不可能，8缺1，0、1、2、3选3个数字和为1不可能），所以4个数字的数字和是9不可能，只能是18。4个数字的数字和是18，7和8必须都选，因为选1个剩下的0、1、2、3四个数字之和才6，8+614，得不到和1

38、8。7和8都选，7+815，还缺3，2个数字的数字和是3，可能是1+2，也可能是0+3，所以所选的四个数字是1、2、7、8或者0、3、7、8。当然，如果孩子不会使用上面的方法分析，也可以从6个数字选4个相加，用枚举法来尝试，看看哪些是9的倍数，枚举的结果也只有这2种组合。对1、2、7、8，有432124种。对0、3、7、8，有332118种。24+1842种。【答案】42种。4A、【例6】有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点，将三个骰子放在桌面上，向上的一面点数之和为奇数的有多少种情形。【难度级别】【解题思路】此题的难点之一是如何分析“点数之和为奇数”，另外老师说此题有

39、二义性，老师说骰子相同和不同结果不一样，我个人认为题目没有二义性，因为：题目问“有多少种情形”没有问“有多少个不同的奇数”。先分析3个数之后为奇数。3个数组合最多有4种可能：(奇、奇、奇)，(奇、奇、偶)，(奇、偶、偶)，(偶、偶、偶)。而这4种里，只有(奇、奇、奇)和(奇、偶、偶)3数相加得奇数。此分析是此题的关键。对(奇、奇、奇)，奇有1、3、5三种可能，所以33327种，其实这27种里面数有重复的，例如1+3+3和3+1+3和3+3+1，既然认可了这属于3种情形，也就认可了3个骰子是有顺序的（或者说是不同的），所以老师说的二义性就不存在了。对(奇、偶、偶)，奇有1、3、5三种可能，偶有2

40、、4、6三种可能，所以33327种，这是指：第1个骰子取奇数、第2个骰子取偶数、第3个骰子取偶数。当然，第1个骰子取偶数、第2个骰子取奇数、第3个骰子取偶数，即：（偶、奇、偶）也是不同的情形。（偶、偶、奇）也是不同的情形。因此有3个27，273。27+273108种。大家有不同意见，我们可以进行探讨。老师认为，骰子不同是108种，骰子相同是54种(27+27)，这样2个答案。个人考虑，如果认为(奇、偶、偶)27种就是一种情形（此观点意味着1+2+4、2+1+4、2+4+1是一样的），那么就需要思考(奇、奇、奇)中的1+3+3、3+1+3、3+3+1是不是也只能算一种情形了？这种观点下，(奇、奇

41、、奇)就不是27种，就只有10种了（111、113、115、133、135、155、333、335、355、555），答案就应该是10+2737。其实37也不对，因为(奇、偶、偶)也没有27种那么多，因为1+2+4、1+4+2在27种中算2种，如果算1种，就只有3（22、24、26、44、46、66）3618种了，10+1828种，正确答案就是28种了。所以，我对老师说的如果骰子相同答案是：(奇、奇、奇)27种+(奇、偶、偶)27种54种，持保留意见，我认为是28种。根据我的这个分析，我个人认为，题目考察的还是108这个答案。老师下次课明确了，此题答案是108种，并给出了简便方法。第1个骰子有

42、6种可能，第2个骰子也有6种可能。第1个骰子+第2个骰子之和，如果是奇数，要想总和为奇数，第3个骰子只能选偶数，有(2/4/6)3种可选，如果是偶数，要想总和为奇数，第3个骰子只能选奇数，有(1/3/5)3种可选。也就是说，不管什么情况，第3个骰子都是有3种可选，所以663108种。【答案】108种。4B、【学案3】求满足下列两条件的所有八位数的个数：(1)每个数位的数字为1至9中某一个；(2)任意连续三个数位组成的三位数都能被3整除。【难度级别】【解题思路】将1至9分成3组：(1、4、7)，(2、5、8)，(3、6、9)。由题目的第2个条件可以知道，第1位与第4位第7位相差0/3/6，第2位

43、与第5位第8位也相差0/3/6，第3位与第6位也相差0/3/6；也就是说第1、4、7位在一起考虑，第2、5、8位在一起考虑，第3、6位在一起考虑，一起考虑的只能使用上面分组中的同一组数字。如果第1位取1，则第4位第7位只能取(1、4、7)中1个，如果第1位取2，则第4位第7位只能取(2、5、8)中1个，如果第1位取3，则第4位第7位只能取(3、6、9)中1个，其他类推。第1位：9种，第4位：3种，第7位：3种。第2位：9种，第5位：3种，第8位：3种。对于第2位的9种情况，分3种可能：(1、4、7)，(2、5、8)，(3、6、9)。假设第1位n=5。 第2位取(1、4、7)之一，n+16，由3

44、位相加是3的倍数，不缺，知道第3位只能取(3、6、9)之一，第6位与第3位同组，33。 第2位取(2、5、8)之一，n+27，由3位相加是3的倍数，缺2，知道第3位只能取(2、5、8)之一，第6位与第3位同组，33。 第2位取(3、6、9)之一，n+38，由3位相加是3的倍数，缺1，知道第3位只能取(1、4、7)之一，第6位与第3位同组，33。也就是说，不管第2位取任何数，因相加是3的倍数的原因被限制了，第3位都只能取三组分组中的一组，有3个数字可选，3种情况，第6位也就跟着3种。按位序(147)(258)(36)，有：(933)(933)(33)59049种。此解法做复杂了，老师给出了答案： 如果一个三位数的前2位确定了，则前2位之和3的余数有3种可能：0、1、2，如和是