基本初等函数与初等函数 (2).ppt

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1、关于基本初等函数与初等函数 (2)现在学习的是第1页，共22页1.1.邻域邻域: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).,(aU记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 . ),(axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 记记一些概念现在学习的是第2页，共22页说明: 记号记号f和和f(x)的区别的区别: 前者表示自变量前者表示自变量x和因变量和因变量y之间的对应法之间的对应法则则, 而后者表示与自变量而后者表示与自变量x对应的函数值对应的函数值. 说明: 说明: 函数的记号还可用

2、函数的记号还可用“g”、“F”、“ ”等等, 此时函数就记作此时函数就记作y g(x)、 y F(x)、y (x)等等. 同一题中同一题中, 不同的函数应用不同的记号不同的函数应用不同的记号. 设数集设数集X、Y为两个非空实数集合，对任意为两个非空实数集合，对任意X中的元素中的元素x，按照某一对应规则，按照某一对应规则f ，Y中都有唯一的一个数中都有唯一的一个数y与之对应，则与之对应，则称规则称规则f : X Y为定义在为定义在X上的函数上的函数, 通常简记为通常简记为 y f(x), 其中其中x称为自变量称为自变量, y称为因变量称为因变量, X称为定义域称为定义域, 记作记作Df, 即即D

3、f X. 2.函数概念 定义 下页现在学习的是第3页，共22页 (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函数取整函数 y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x表示不超过表示不超过x 的最大整数的最大整数现在学习的是第4页，共22页 若若存在数存在数K1, 使对任一使对任一x X, 有有f(x) K1, 则称函数则称函数f(x)在在X上有上有上界上界. 函数的有界性 若若存在数存在数K2, 使对任一使对任一x X, 有有f(x)

4、K2, 则称函数则称函数f(x)在在X上上有下界有下界. 若若存在正数存在正数M, 使对任一使对任一x X, 有有|f(x)| M, 则称函数则称函数f(x)在在X上有界上有界; 如果如果这样的这样的M不存在不存在, 则称函数则称函数f(x)在在X上无上无界界. 下页3.3.函数的性质函数的性质: :单调性、奇偶性、周期性、有界性单调性、奇偶性、周期性、有界性现在学习的是第5页，共22页例、判断函数的奇偶性.11ln21. 1xxy ) 1ln(. 22 xxy2. 4xxeey 2. 3xxeey xxysin. 53 1、奇，2、奇，3、偶，4、奇，5、偶，6、偶xxxycos)|(|.

5、62 函数的性质函数的性质: :单调性、奇偶性、周期性、有界性单调性、奇偶性、周期性、有界性4323xx或 62xx712x例、例、 求函数求函数y=+arcsin的定义域的定义域.。， 现在学习的是第6页，共22页3.基本初等函数基本初等函数1）幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy2）指数函数）指数函数)1, 0( aaayx3）对数函数）对数函数)1, 0(log aaxya4）三角函数）三角函数 与反三角函数与反三角函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三三角函数和反三角函数统称为角函数统称为基本初等函数基本初等函数.oxy)1 , 1(112xy xy x

6、y1 xy 现在学习的是第7页，共22页2）指数函数）指数函数)1, 0( aaayx3）对数函数）对数函数)1, 0(log aaxyaxay xay)1( )1( axyalog xya1log ) 1( a现在学习的是第8页，共22页4）三角函数）三角函数正弦函数正弦函数xysin 与反三角函数与反三角函数-1,1，值值域域：定定义义域域：R:2,2,sin的的反反函函数数求求 xxyarcsinxy 22,1 , 1 yx值域值域定义域定义域arcsinyx 反反正正弦弦函函数数xycos 余弦函数余弦函数反反余余弦弦函函数数:, 0,cos的的反反函函数数求求 xxy yx0,1 ,

7、 1值值域域定定义义域域arccosyx 现在学习的是第9页，共22页xycot arc:), 0(,cot的的反反函函数数求求 xxy yx0),(值值域域定定义义域域cotyarcx xycot 余切函数余切函数R，值值域域：定定义义域域： kx 反反余余切切函函数数22 正切函数正切函数xytan R2，值值域域：定定义义域域： kx :)2,2(,tan的反函数的反函数求求 xxyarctanyx 反反正正切切函函数数22),( yx值域值域定义域定义域现在学习的是第10页，共22页(1)cot2xy ,uy ,cotvu .2xv 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数

8、复合由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.*分段函数不是初等函数分段函数不是初等函数*2sin (31)(2)xye 例：分析下列复合函数的结构例：分析下列复合函数的结构uye ，2,uv sin,vw 31wx 4.复合函数与初等函数复合函数与初等函数定义定义:,自变量x,中间变量u,因变量y2xxeex2xxeexxxxxeeeechxshxxxxxxeeeeshxchxx双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦sh, 双曲余弦双曲余弦ch,双曲正切双曲正切th, 双曲余切双曲余切ct

9、h等都是初等函数等都是初等函数.现在学习的是第11页，共22页例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x现在学习的是第12页，共22页,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx ).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxx

10、exfx 求求设设例例1 1现在学习的是第13页，共22页双曲函数与反双曲函数2xxeeshx双曲正弦chxyshxy),(: D奇函数奇函数.2xxeechx双曲余弦),(: D偶函数偶函数.1、双曲函数、双曲函数xey21 xey 21现在学习的是第14页，共22页xxxeeeechxshxthxx双曲正切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,现在学习的是第15页，共22页双曲函数常用公式双曲函数常用公式;)(shychxchyshxyxsh;)(shyshxchxchyyxch; 122xshxch;22chxshxxsh.222xshxchxch现在学习的是第16页，共22页2、反

11、双曲函数、反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在arshxy) 1ln(2xxarshxy反双曲正弦现在学习的是第17页，共22页.), 1内内单单调调增增加加在在 ), 1 :Darchxy反双曲余弦).1ln(2xxarchxyarchx y现在学习的是第18页，共22页.11ln21xx )1 , 1(: D奇函数奇函数,.)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切artharthxyxarthx y现在学习的是第19页，共22页例例1 已知函数 ,求 . 1) 2(xxf)1(xf解解 321) 2(xxxf例例2 已知函数 ,求 . 2

12、1111xxf xf2112112111111222xxxxxxf解解 , 1|, 1, 1|, 0, 1|, 1)(xxxxfxexg)()()(xfgxgf和0, 10, 00, 1)(xxxxgf1, 1,1, 111,)(1xxexxexfg或，求，求， 例例3现在学习的是第20页，共22页._)(,0,0, 0)(,0, 00,)(2 xfxxxxxxxxf 则则例、例、20,0 ( ),0 xfxxx 0)(, 00)(),()(xxxxf 解：解：时时：0)()2( x 000)(,0 xxx 时时当当时：时：0)()1( x 00)(,02 xxxx 时时当当不成立不成立时时当当 00)(,0 xx 不不成成立立时时当当 0)(,02xxx 现在学习的是第21页，共22页感谢大家观看现在学习的是第22页，共22页