复合函数的极限运算法则.ppt

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1、复合函数的极限运算法则现在学习的是第1页，共37页,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx 则则 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx BA 定理定理 2.5 若若(1) )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx BA (2)若若 B0 , 则有则有 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxxBA (3)一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则现在学习的是第2页，共37页证证200 xx时时,有有.2)( Bxg , ,min21 取取,00 xx则当则当时时,有有)()(BAxgx

2、f )()(BxgAxf ,22 当当(1)由由可知可知, 0 , 0, 021 使得当使得当100 xx时时,有有,2)( Axf,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx 因此因此 )()(lim0 xgxfxx,BA ).(lim)(lim00 xgxfxxxx B)x(gA)x(f 现在学习的是第3页，共37页ABxgxf )()(2)ABxBfxBfxgxf )()()()(Bxgxf )()(AxfB )(Axfxx )(lim0, 0 使得使得时时，有有当当100 xx Axf)(01 由由ABxgxfxx )()(lim0需需证证： 及及 定理定理2.2 知，知，, 0

3、M 及及 及及Mxf )(上有界上有界在某在某)()(0 xUxf现在学习的是第4页，共37页时时，当当100 xx, 0 01 Mxf )( Axf)(有有Bxgxx )(lim0 又由又由 知知,使得当使得当时，时，200 xx Bxg)(, 02 , ,min21 取取则则ABxgxf )()(Bxgxf )()(AxfB )( BM对于上述对于上述 0,有有 ? / 2C因此因此 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx BMC2C2CCCC22 , 00 xx时时, 有有当当C2/ 其中其中 .,maxBMC AB现在学习的是第5页，共37页(3)0(

4、)()(lim0 BBAxgxfxx需需证证：Bxgxx )(lim0 由由 及及 定理定理2.2 知，知，, 0 , 0 M 及及0 使得当使得当 00 xx时时, 有有 )()(lim0 xgxfxx,)(1)(lim0 xgxfxx 由于由于 MBBxg )( 及及,)(1Mxg 所以所以 Bxg1)(1BxgxgB )()(11 MBMB1由由(2), 需证当需证当B0时时)(lim11)(1lim00 xgBxgxxxx 因此因此.)(lim11)(1lim00 xgBxgxxxx 从而从而(3)式成立式成立.现在学习的是第6页，共37页若若,lim,limByAxnnnn 则有则有

5、)(lim)1(nnnyx nnnyx lim)2(,0)3(时时当当 BBAyxnnn limBA BA 注注运算法则运算法则 , 有相应的结论有相应的结论 .及及 x时函数极限的四则时函数极限的四则例如例如, 对于数列极限对于数列极限,对于数列极限对于数列极限有以下结论有以下结论: 数列是一种数列是一种 特殊的函数特殊的函数, 故此结论可故此结论可 由由定理定理2.5直直 接得出接得出 .现在学习的是第7页，共37页,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx )()(lim0 xgxfxx )(lim)(lim00 xgxfxxxx BA (极限运算的线性性质极限运算的线性性质) 若

6、若 以上运算法则对以上运算法则对有限个有限个函数成立函数成立.推论推论 和和是常数，是常数， 则则 于是有于是有nxxnxxxfxf)(lim)(lim00 幂的极限等于极限的幂幂的极限等于极限的幂现在学习的是第8页，共37页求求).52(lim22 xxx 解解)52(lim22 xxx5limlim)(lim22222 xxxxx52)lim(222 xx例例1极限运算的极限运算的线性性质线性性质 结论：结论： )(lim1100nnnxxaxaxa nnnaxaxa 10100 幂的极限幂的极限等于极限等于极限的幂的幂53222 现在学习的是第9页，共37页.531lim232 xxxx

7、解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx.37 3123 例例2商的极限等商的极限等于极限的商于极限的商)53(lim)1(lim2232 xxxxx现在学习的是第10页，共37页一般地，一般地， 设有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR 其中其中)(, )(xQxP都是多项式都是多项式 ,，则，则若若0)(0 xQ)(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx )()(00 xQxP )(0 xR 注注 若若,0)(0 xQ不能直接用商的

8、运算法则不能直接用商的运算法则 .请看下例请看下例: 结论：结论： )(lim0 xRxx)(0 xR )0)(0 xQ现在学习的是第11页，共37页解解)32(lim21 xxx, 0 商的极限法则不能直接用商的极限法则不能直接用321lim21 xxxx称称31lim1 xx.41 例例3.321lim21 xxxx求求由极限定义由极限定义x1，x1, 0)1(lim1 xx又又为为.00型极限型极限321lim21 xxxx约去无穷小因子法约去无穷小因子法型型）（00)1)(3(1lim1 xxxx现在学习的是第12页，共37页“ 抓大头抓大头”.147532lim2323 xxxxx求

9、求分析分析)(型型 147532lim2323 xxxxx.72 可以先用可以先用 x3 同时去除分子和分母同时去除分子和分母, 然后再取极限然后再取极限.)147(lim)532(lim33xxxxxx 例例4. .分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子,分子,时,时, x33147532limxxxxx 解解现在学习的是第13页，共37页结论：结论：为非负常数为非负常数 )nmba,0(00 mn 当当mmmxaxaxa 110limnnnbxbxb 110,00ba,0, mn 当当mn 当当消去无穷大因子法消去无穷大因子法: : 以分母中自变量的最高次幂以分母中自变量的最高次幂

10、除分子除分子, 分母分母, 以消去无穷大以消去无穷大 因子因子, 然后再求极限然后再求极限.现在学习的是第14页，共37页.81221lim32 xxx求求例例5解解分析分析型，先通分，再用极限法则型，先通分，再用极限法则. 原原式式)42)(2()2)(4(lim22 xxxxxx424lim22 xxxx.21 812)42(lim322 xxxx882lim322 xxxx)00()(型型 现在学习的是第15页，共37页例例6解解.21lim32323 nnnnn求求 原原式式)12)(1(611lim3 nnnnn nnn1211lim61.31 无穷多项无穷多项和的极限和的极限公式求

11、和变公式求和变为有限项为有限项现在学习的是第16页，共37页定理定理上有界上有界在在设设。),()(10 xUxf证证的的无无穷穷小小，即即，0)(lim0 xgxx. 0)()(lim0 xgxfxx(有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小)则则，使使得得常常数数0 M时时，当当100 xx恒有恒有.)(Mxf 时时是当是当上有界，上有界，在在设设。010)(),()(xxxgxUxf现在学习的是第17页，共37页MM , ,min21 取取, 0 )()(xgxf)()(xgxf 时时使使得得当当2020, 0 xx.)(Mxg 恒恒有有恒有恒有则当则当, 00 xx

12、. 0)()(lim0 xgxfxx0)(lim0 xgxx又又例如，例如，xxx1sinlim0= 0)11sin, 0lim(0 xxx现在学习的是第18页，共37页二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理2.6 设设,)(lim0axxx 当当100 xx时时,)(axu 又又,)(limAufau 则有则有 )(lim0 xfxx Aufau )(lim注注1 定理定理2.6中的条件：中的条件：),(,)(10 xUxax 不可少不可少. 否则，否则，定理定理2.6 的结论的结论不一定不一定成立成立.原因：原因：.)()(lim无无关关是是否否存存在在与与afuf

13、au现在学习的是第19页，共37页反例反例0)(,0, 10, 0)( xuuuf 设设. 0,0 aRx取取, 0)(lim0 xxx 00lim)(lim00 uuuf，但但由由于于1)( xf )(a 虽然虽然所以所以1)(lim0 xfxx . 0)(lim0 ufu现在学习的是第20页，共37页，且，且或或若若)(lim()(lim0 xxxxx ，且且若若)()(lim)(lim0afufaxauxx 则则 )(lim0 xfxx 2 定理定理2.6的其他形式的其他形式(1)(2),)(limAufu 则有则有 )(lim)(0 xfxxx 或或.)(limAufu ).()(li

14、mafufau 现在学习的是第21页，共37页由定理由定理2.6，知，知)(lim ufau )(lim0 xfxx 在求复合函数极限时在求复合函数极限时,可以作变量代换，得到可以作变量代换，得到且代换是双向的，即且代换是双向的，即)(lim ufau .)(lim0 xfxx )(xu ux )( 现在学习的是第22页，共37页例例7 求求解解 令令.93lim23 xxx93)(2 xxxu 于是于是ux3lim61 从而从而 原式原式 =uu61lim 61 .66 )3)(3(3lim3 xxxx从左向右用从左向右用式式 )(lim0 xfxx Aufau )(lim93lim23 x

15、xx)(lim61ufu型型）（00现在学习的是第23页，共37页内容小结内容小结1. 极限运算法则极限运算法则(1) 极限四则运算法则极限四则运算法则(2) 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法0)1xx 时时, 用代入法用代入法( 分母不为分母不为 0 )0)2xx 时时, 对对00型型 , 约去零因子约去零因子 x)3时时 , 分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“ 抓大头抓大头”(2) 复合函数极限求法：复合函数极限求法：设中间变量，变量代换设中间变量，变量代换.或先有理化后约

16、分或先有理化后约分现在学习的是第24页，共37页 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg)()(limxgxf (1)是否一定不存在？为什么是否一定不存在？为什么?(2)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？(3) 又加条件：又加条件：, 0)(lim Axf)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？思考题思考题?321lim2222 nnnnnn2.现在学习的是第25页，共37页答：答： 一定不存在一定不存在存在，存在，假设假设)()(limxgxf 存在存在)(limxf

17、由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()(lim)(limxfxgxfxg 必存在，必存在，这与已知矛盾，这与已知矛盾，故假设错误故假设错误思考题解答思考题解答)()(limxgxf (1)是否一定不存在？为什么是否一定不存在？为什么? 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg现在学习的是第26页，共37页答：答：不一定不一定.反例：反例：xxgxxf1sin)(,)( 不不存存在在，但但)(lim, 0)(lim00 xgxfxx .01sinlim)()(lim00存存在在 xxxgxf

18、xx，xxgxf1sin)(, 1)( .)()(lim0不不存存在在xgxfx(2)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg现在学习的是第27页，共37页答：答：一定不存在一定不存在.（可用反证法证明）（可用反证法证明）(3) 又加条件：又加条件：, 0)(lim Axf)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(l

19、imxg?321lim2222 nnnnnn2.解解原式原式22)1(limnnnn )11(21limnn .21 现在学习的是第28页，共37页备用题备用题例例3-1解解.42lim4 xxx求求42lim4 xxx)2)(4(4lim4xxxx xx 21lim4先有理化先有理化 再约去再约去无穷小无穷小 .41 型型）（00现在学习的是第29页，共37页例例3-2, 0)0(2 BA. 2 A从从而而, 01)1(3lim21 xxBAxx已知已知.的的值值，试试求求常常数数BA解解0)1(3lim21 xBAxx因为上式极因为上式极限存在限存在现在学习的是第30页，共37页 0于于是

20、是1)1(3lim21 xxBAxx1)1(23lim21 xxBxx)123(lim21Bxxx 2132lim()1xxBBBx 11234)3(lim221 xxxx11231lim221 xxxx231lim21 xxx.21 现在学习的是第31页，共37页解解)(型型 13lim242 nnnnn. 0 可以先用可以先用4n同时去除分子和分母同时去除分子和分母,然后再取极限然后再取极限.)131(lim)11(lim4232nnnnxn 例例4-1.13lim242 nnnnn求求. .分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子, ,时时, , n423213111limnnn

21、nn 现在学习的是第32页，共37页例例4-2)(xf设设解解根据前一极限式可令根据前一极限式可令bxaxxxf 2322)(再利用后一极限式再利用后一极限式 , 得得xxfx)(lim30 可见可见0,3 ba是多项式是多项式 , 且且,22)(lim23 xxxfx,3)(lim0 xxfx求求. )(xf)(lim0 xbax 故故xxxxf322)(23 )22(lim20 xbaxxx 现在学习的是第33页，共37页例例5-1已知已知0)11(lim2 xxxx试确定常数试确定常数., )11()(2 xxxxf解解1)1()()1(2 xxx 0)(lim xfx 分子的次数必比分

22、母的次数低分子的次数必比分母的次数低故故即即. 1, 1 )(型型 01 现在学习的是第34页，共37页例例6-1解解.11311211lim222 nn求求 原原式式 nnn1111311311211211lim.21121lim nnn无穷多个无穷多个因子的积因子的积的极限的极限变为有限项再变为有限项再求极限求极限现在学习的是第35页，共37页)11(1)1(lim0 xxxx例例7-1解解.11lim0 xxx 求求xxx11lim0 )11()11)(11(lim0 xxxxx先有理化先有理化 型型）（00)1(lim1lim11 uuu.21 再约去再约去无穷小无穷小 111lim0 xx11lim1 uu令令1+ x =u 现在学习的是第36页，共37页感谢大家观看现在学习的是第37页，共37页