含绝对值的不等式(25页).doc
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1、-含绝对值的不等式-第 25 页含绝对值的不等式 学习要求 (1)理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号,转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)来解。 (2)弄懂去绝对值符号的理论依据,掌握去绝对值符号的主要方法,会解简单的含有绝对值的不等式。重点难点1实数绝对值的定义:|a|=这是去掉绝对值符号的依据,是解含绝对值符号的不等式的基础。2最简单的含绝对值符号的不等式的解。若a0时,则 |x|a -axa xa。注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的,即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。3常用的同解变形|f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x)
2、 f(x)g(x);|f(x)|g(x)| f2(x)g2(x)。4三角形不等式: |a|-|b|ab|a|+|b|。例题选讲:第一阶梯 例1:实数绝对值的涵义是什么? 探路:实数绝对值的定义是分类给出的。 解:正数的绝对值就是它本身;负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。 即: 评注:绝对值的概念是分类定义的,因此,在解决这类问题时,必须要分类讨论。例2:型如:|x|a,(其中a0)不等式的解法。 探路:利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。 解:当a0时, |x|ax2a2 axa x2a2 xa或xa;其几何意义为 评注: 解:型如|x|0)和|x|a,(a0)的不等式,可以利用平方
3、法化为关于x的二次不等式来解;也可以利用定义法来解,均可求得它们的解集。今后,要熟记|x|0)的解集为axa,(a0)的解集为xa或xa是十分重要的。 例3:由定理“|a|b|a+b|a|+|b|”导出定理:“|a|b|ab|a|+|b|” 探路:利用“代换法” 证明:由定理一可知,|a|b|a+(b)|a|+|b|,即|a|b|ab|a|+|b| 评注:关于和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商,有下面性质。 (1)|ab|=|a|b|;(2) ,(b0); (3)|a|b|a+b|a|+|b|;(4)|a|b|ab|a|+|b| 例4:不等式| |1的解集是( ) (A)x|5x1
4、6;(B)x|6x18 (C)x|7x20;(D)x|8x22探路: 根据不等式的性质|f(x)|a af(x)0)求解。 解: 1 1 31 2 4 4x216 6x18, 即x|6x4 探路: 含多个绝对值符号的不等式,利用零点、分区间、讨论法。 解:由3x+2=0,得x= ;由x-2=0,得x=2, 原式或 或 或 或 x1或02 x0故原不等式的解集为x|0评注: 解含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,一般采用零点、分区间、讨论法;即先求出使每个含绝对值符号的解析式值等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出来,它们把序轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上
5、的符号,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值的不等式去解。 分类讨论思想、 解关于x的不等式,若对x讨论,所求不等式的解集是各种情况所得解集的并集。 第二阶梯 例1:解下列不等式 (1)| -2|3;(2)|x2-3x|4 探路:当a0时,有|f(x)| a af(x)a;|f(x)|af(x)a或f(x)4或x2-3x 0或x2-3x+40,得x4;解x2-3x+40,得x 原不等式的解集是x|x4。 评注: 依据a0,xR时,有|x|a axa xa或xa 可知,去掉绝对值符号的主要方法,为 |f(x)|aaf(x)0);|f(x)|af(x)a或f(x)0) 例2.解下列不等式 (i)|x2
6、9|x+3; 探路:根据实数绝对值的意义,即|a|=去掉绝对值符号,再行解之。 解:原不等式(I)或(II) 不等式组(I)x=3或3x4; 不等式组(II)2x3; 原不等式的解集是x|x=3或2x4。 探路(2):根据不等式的性质|f(x)|g(x) g(x)f(x)g(x)去掉绝对值符号,再行解之。 解:原不等式 (x+3)x29x+3 x=3或2x4。 原不等式的解集为x|x=3或2x4。 评注: 解含绝对值符号不等式的基本方法是去掉绝对值符号,然后再解;去绝对值符号的常用手段有三种,即根据实数绝对值的意义,去绝对值符号;根据不等式性质:去绝对值符号,在这里不必考虑g(x)的符号问题;
7、也可以根据|a|2=a2,(aR),将不等式两边平方,此时要注意不等式两边平方的条件。 (ii) 2x; 探路: |f(x)|g(x) f(x)g(x)或f(x)2x或 2x,得x; 由2x,得x; 原不等式的解集为x|x 评注:熟练应用“|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)3,此不等式恒成立;x3 (ii)当x-3时,原不等式化为|-x-3+x-3|3,此不等式恒成立,x-3 (iii)当-3x3, 求(i)、(ii)、(iii)的并集,得原不等式的解集为第三阶梯 例1:设集合,若AB,求实数a的取值范围。 探路:分别解绝对值不等式,分式不等式,化简集合A,B,再将集合的包含关系转
8、化为与之等价的不等式组,求a的取值范围。注意此时应包括端点。 解:|x-a|2-2x-a2a-2xa+2, A=x|a-2xa+2;1 -10 0(x+2)(x-3)0-2x3 B=x|-2x3; AB, 于是0a1。 评注: 本题考查的方向是求满足条件实数a的取值范围;考查的知识点为:绝对值不等式,分式不等式的解法以及集合的知识;考查数形结合的数学思想,必须指出的是集合的包含关系,可直观地解释为数轴上区间的覆盖关系,从而将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组,求得a的取值范围。 例2:求证: 探路: 用综合法不易得手时,可从结论分析入手,逐步寻找使前一个不等式成立的充分条件或充要条件。 成
9、立,原不等式成立。 评注: 本题考查用分析法证明不等式,是对课本P27。例4,证明方法的挖潜,每一个不等式都是前一个不等式成立的充分条件或充要条件,因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头“”(表示后一个不等式是前一个不等式成立的充分条件),或用双向箭头“”(表示后一个不等式是前一个不等式成立的充要条件)连结。也可以用“需证”、“即证”等语句连结。通过练习,落实数学思想和方法。 例3:已知| a | 1, | b | 1,试比较| a+b | + | a-b | 与2的大小。 探路: 要比较大小的对象含有绝对值符号,可联想算术平方根,对其进行变形,再利用不等式的性质进行放缩处理。评注: 对于含有绝
10、对值符号的比较大小问题,可视为绝对值不等式的证明,要结合绝对值不等式的性质,利用放缩等方法解决问题。 探路:本题也可以按a+b与a-b的符号分类讨论,解答问题。 解: (i) 当a+b与a-b同号时,有 (ii)当a+b与a-b异号时,有 (iii)当a+b与a-b至少一者为零时,结论显然 综上所述:|a+b|+|a-b|0,且a1,解关于x的不等式 探路:利用“同底法”。 解: 原不等式 (i)当0a1时 不等式组(),无解,原不等式的解集为 评注: 本题是含字母系数a的对数不等式,参数a的作用有两个:一是由0a1来决定对数函数的单调性;在对数不等式变换为代数不等式时,决定不等号的方向是否改
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