向量解题的思维模式(4页).doc

《向量解题的思维模式(4页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量解题的思维模式(4页).doc（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-向量解题的思维模式-第 4 页向量解题的思维模式归结课本,向量有三种语言模式,即图形语言符号语言坐标语言.三种语言相互联系,相互转化.每种语言构成一种思维模式和解题方略.在解题过程中,若能善于抓住本质,提高认知辨析能力,合理地选择语言模式,就能有效地解决问题.“形”为依托,数形结合,突出向量的几何特征.向量可以用有向线段表示,向量的加减数乘向量数量积等运算皆可以“作图”垂直等位置关系可以转化为向量的运算关系,夹角距离可以利用向量的夹角模来刻划.因而向量运算与几何图形息息相关,这是向量运算的重要特征.例1 是平面上一点,是平面上的不共线三点,动点满足,则点的集合构成的图形一定过的( )(A)外

2、心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心解析:设,则均为单位向量.如图1,而,所以,而以为邻边的平行四边形是菱形,其对角线向量平分,因向量与向量共线,即与的平分线向量共线,所以点的集合是的平分线,故答案应选(B).例2如图2,已知LMN分别为的边BCCAAB上的点,且,若,求证:.解析:如何应用条件是解题的关键,考虑从边向量与的关系入手.由于涉及的向量较多,可选定两个边向量为基底,将其它向量表示为基底向量的线性形式.设,且与不平行,则而,所以.又,同法可得,代入中得因为与不平行,所以,即.“符号语言”为载体,突出向量数性化的符号运算简捷的特点.向量的符号语言,提供了向量的加减数乘向量数量积等运算

3、的符号法则,而这些运算法则和实数代数结构中的加减乘法运算有许多共同之处.在解决问题时,有时不需考虑向量的几何背景,而直接利用符号简单的运算特点,反而会使解答过程简捷明了.例3设向量满足求的值.解析:此题构造图形难度较大,因而选用符号语言直接进行运算.,只需求出的值即可. 又两端平方可求得,故=.例4已知向量满足+,|=|=|=1,求证:是正三角形.解析:此题虽然涉及几何图形,但利用符号语言运算,思考简单,效果更好.要证是正三角形,由于|=|=|=1,因而只需证明即可,由向量夹角公式可知应有+,两端平方得,同理可推,即成立,则是正三角形可得证.“坐标语言”为主线,内联外延,突出向量运算法则及性质

4、的应用坐标法是几何问题向量代数化的重要思想方法,坐标语言是联系其它知识的桥梁,是数学问题横向转化的一个切入点,在函数不等式几何中具有较强的渗透作用.例5已知向量两两所成的角相等,并且|=1,|=2,|=3,求向量+的长度及与向量的夹角.解析:建立直角坐标系,设且.因为两两所成角相等.若方向相同时,=(2,0),=(3,0),则+=(6,0),|+|=6;与向量的夹角为.若时.,.则+,求得|+|=.因为+),由夹角公式得,=.即两向量的夹角为.例6已知为正数,求函数的最小值.解析:观察式子与的结构特征和向量的模的结构形式相同,考虑利用向量模的性质求解.构造向量,则,由向量加法的几何性质得,即函数的最小值为