用向量方法解立体几何题老师用.doc
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1、用向量方法求空间角和距离在高考立体几何试题中,求角与距离是常考查问题,其传统“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习难点向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题1 求空间角问题空间角主要有:异面直线所成角;直线和平面所成角;二面角()求异面直线所成角设、分别为异面直线a、b方向向量,则两异面直线所成角=()求线面角设是斜线l方向向量,是平面法向量,则斜线l与平面所成角=()求二面角法一、在内,在内,其方向如图,则二面角平面角=法二、设是二面角两个半平面法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则
2、二面角平面角=2 求空间距离问题构成空间点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离求法,象异面直线间距离、线面距离;面面距离都可化为点面距离来求()求点面距离法一、设是平面法向量,在内取一点B, 则 A到距离法二、设于O,利用和点O在内向量表示,可确定点O位置,从而求出()求异面直线距离法一、找平面使且,则异面直线a、b距离就转化为直线a到平面距离,又转化为点A到平面距离法二、在a上取一点A, 在b上取一点B, 设、分别为异面直线a、b方向向量,求(,),则异面直线a、b距离(此方法移植于点面距离求法)例如图,在棱长为正方体中,E、F分别是棱中点 ()求异面直线所成角;(II)求和面EFB
3、D所成角;(III)求到面EFBD距离解:()记异面直线所成角为,则等于向量夹角或其补角,(II)如图建立空间坐标系,则,设面法向量为由得又记和面EFBD所成角为则 和面EFBD所成角为(III)点到面EFBD距离等于向量在面EFBD法向量上投影绝对值,设计说明:作为本专题例,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系多面体正方体为载体,来说明空间角和距离向量求法易于学生理解解决(1)后,可让学生进一步求这两条异面直线距离,并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难(不必多讲,高考对公垂线作法不作要求)完成这道小题后,总结:对于易建立空间直角坐标系立几题,无论求角、距离还是证明平行、垂直(是前者特殊情
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